2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)试题(含参考答案)

绝密★启用前 试卷类型：A
深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试
数 学（理科） 2020.3
本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合}3 2 1 0{，，，
=A ，}032|{2<--=x x x B ，则A B =
A ．)3,1(-
B ．]3,1(-
C ．)3,0(
D ．]3,0(
2．设23i
32i
z +=
-，则z 的虚部为 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为
4．记
n S 为
等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为 5．若双曲
线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为 6．已知
tan 3α=-，则π
sin 2()4
α+=
7．
7
)2(x
x -的展开式中3x 的系数为
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
A ．25
B ．23
C
．12
D. 07
A ．36
B ．32
C ．28
D. 24
A
B C D. 2
A ．35
B ．35
-
C ．
45
D ．45
-
8．函数
()2ln |e 1|x f x x =--的图像大致为
9．如图，网格纸上小
正方
形的边长为1，粗线画出的是某四面体
的三视图，则该四面体的外接球表面积为 A ．
323π
3
B ．32π
C ．36π
D ．48π
10．已知动点M 在以1F ，2F 为焦点的椭圆2
2
14
y x +=上，动点N 在以M 为圆心，半径长为1||MF 的
圆上，则2||NF 的最大值为 11．著
名
数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+
D ．24AB AC HM MO +=-
12．已知定义在π
[0]4，上的函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的最大值为
3
ω
，则正实数ω的取值个数 最多为 二、填
空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．
A ．168
B ．84
C ．42 D. 21
A
B
C
D
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
A ．4
B ．3
C ．2
D. 1
（第9题图）
13．若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x ，则y x z 2-=的最小值为 ___________．
14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n -=2，则=6a ___________．
15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，
1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．
16．已知点1
(,)2M m m -和点1(,)2
N n n -()m n ≠，若线段MN 上的任意一点P 都满足：经过点P 的所有直线中恰好有两条直线与曲线2
1:2
C y x x =+(13)x -≤≤相切，则||m n -的最大值为___．
三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一
) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=. （1）求cos C ；
（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .
18．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形， 点M ，N 分别在棱1C C ，
1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.
（1）求证：1//NC 平面BMD ；
（2）若13A A =，22AB AD ==，π3
DAB ∠=， 求二面角N BD M --的正弦值.
19．（本小题满分12分）
已知以F 为焦点的抛物线2
:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB
中点，且OM OP OF λ+=.
（1）当3λ=时，求点M 的坐标； （2）当12OA OB ⋅=时，求直线l 的方程.
20．（本小题满分12分）
在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．
）是多少？ 附：
)
)()()(()(22
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.
21．（本小题满分12分）
已知函数()e ln(1)x
f x a x =--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；
（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a
-上不单调，证明：
111
a a a +>+.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=,sin ,
cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐
标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++= 证明： （1）
111
9a b c
++≥； （2）8.27
ac bc ab abc ++-≤
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试题类型：A
1 2
0 0
x 0 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1. B
2. B
3. C
4. A
5. C
6. D
7. B
8. A
9. D
10. B
11. D
12. C
12. 解析：当
ωπ - π > π
时，即ω> 8
时， f (x )
= 1 = ω
，解得ω= 3 ； 4 6 2
3
max
3
ω ω
当 ωπ - π ≤ π
时，即
0 < ω≤ 8
时， f (x ) = sin(
π - π
) = ，
4 6 2 3
max
4 6 3
令 g (ω) = sin(
ωπ - π
) ， h (ω) = ω
， 4 6 3
如图，易知 y = g (ω) ， y = h (ω) 的图象有两个交点 A (ω1 , y 1 ) ， B (ω2 , y 2 ) ，
ω
ω 所以方程 s in( π - π
) = 有两个实根ω，ω ， 4 6 3
又 g (8) = 1 > 8 = h (8) ，所以易知有ω < 8 < ω ，
3 9 3 1 3 2
所以此时存在一个实数ω= ω1 满足题设， 综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选 C. 二、填空题：
13.
- 3
14. 63
15.
4
15
4 16.
3
16. 解析：由对称性不妨设 m < n ，易知线段 M N 所在直线的方程为 y = x - 1
，
2
又 1 x 2 + x > x - 1
，∴点 P 必定不在曲线 C 上， 2 2
不妨设 P (t ,t - 1
) ， (m ≤ t ≤ n ) ，且过点 P 的直线 l 与曲线 C 相切于点 Q ( x
, 1
x 2 + x ) ， 2 ( 1 x 2
+ x
) - (t - 1 )
0 2 0 0
易知 y ' |x = x = k PQ ，即 x 0 + 1 = 2 2 ，整理得 x - 2tx - 1 = 0 ，
0 - t
0 0 2
x
0 0 （法一）显然 x ≠ 0 ，所以 2t = x -
1
， 0
令 f ( x ) = x -
1 ， x ∈[-1, 0) U (0,3]，
x
5 ⎪ ⎨-1 < t < 3 如图，直线 y = 2t 和函数 y = f ( x ) 的图象有两个交点，
又 f (-1) = 0 ，且 f (3) =
8
，
3
0 ≤ 2t ≤ 8
，即 0 ≤ t ≤ 4
， ∴
3 3 ∴ 0 ≤ m < n ≤
4 ，∴ | m - n | 的最大值为 4 ，故应填 4
．
3 3 3
（法二）由题意可知 -1 ≤ x 0 ≤ 3 ，令 f ( x ) = x - 2tx - 1 ，
∴函数 f ( x ) 在区间[-1, 3] 上有两个零点，
⎧ f (-1) = 2t ≥ 0
⎪ f (3) = 8 - 6t ≥ 0 则 ⎪
⎪⎩
V = 4t 2 + 4 > 0
，解得 0 ≤ t ≤ 4 ， 3 ∴ 0 ≤ m < n ≤
4
，∴ | m - n | 的最大值为 4 ，故应填 4
． 3 3 3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a
，b ，c ，△ ABC 的面积为 S ，a 2 +b 2 - c 2 = 2S . （1）求
c os C ；
（2）若 a c os B + b sin A = c ， a = ，求
b . 解：（1） S = 1
ab sin C ，a 2 + b 2 - c 2 = 2S ，
2
∴ a 2 + b 2 - c 2 = ab sin C ， …………………………………………………………………2 分 a 2 + b 2 - c 2 ab sin C sin C
在△ ABC 中，由余弦定理得 c os C = = =
， 2ab 2ab 2 ∴sin C =2cosC ，
…………………………………………………………………………4 分
又 sin 2
C +cos 2
C=1 ，
∴5cos 2C=1，cosC= ±
5 ，
5
由于 C ∈(0, π) ，则 s in C > 0 ，那么 c osC>0 ，所以 c osC=
5 . ………………………
6 分
5
（2）（法一）在△
ABC 中，由正弦定理得 s in A c os B + sin B sin A = sin C ，……………7 分 2
sin C= sin[π- (A + B)] = sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B ，………………………8 分∴sin A cos B + sin B sin A = sin A cos B + cos A sin B ，即s in B sin A = cos A sin B ，
5 5 ⨯ 2 5 5 ⨯ 2 又 A , B ∈(0, π) ，∴sin B ≠ 0 ， s in A =cosA ，得 A = π
.
……………………………9 分
4
sin B = sin[π - (A + C )] = sin(A + C ) ，
……………………………………………10 分
∴sin B = sin A cos C + cos A sin C = 2 ⨯ 5 + 2 ⨯ 2 5 =
3
10
， ………………11 分
2 5 2 5 10
a s in B 10 在△
ABC 中，由正弦定理得 b = =
= 3 . ……………………………12 分
（法二）
a cos B +
b s in A =
c ， 又
a cos B +
b cos A =
c ， sin A
2 2
∴ a cos B + b s in A = a cos B + b cos A ，
…………………………………………………8 分
即 s in A = cos A ，又 A ∈(0, π) ， ∴ A = π
. ……………………………………………9 分
4
a sin C 5 在△ ABC 中，由正弦定理得 c = =
= 2 .
………………………10 分
b = C cos A + a cos C ，
sin A
2 2
∴c = 2 ⨯ 2 + ⨯ 5
= 3 . ………………………………………………………12 分
2 5
（法三）求 A 同法一或法二
a sin C 5 在△
ABC 中，由正弦定理得 c = =
= 2 ， ………………………10 分
sin A
2 2
又由余弦定理 c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ，得 b 2 - 2b - 3 = 0 ，解得 b = -1 或 b = 3 . 所以 b = 3 .
……………………………………………………………………………12 分
（余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2b cos A ，得 b 2 - 4b + 3 = 0 ，解得
b = 1 或 b = 3 . 因为当 b = 1时， a 2 +b 2 -
c 2 = -2 < 0 ，不满足
c osC>0 (不满足 a 2 +b 2 - c 2 = -2 ≠ 2S )，故舍去，所以 b = 3 ） 【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三 角形
⨯ 3
2 2 2
问题，检验学生的数学知识运用能力.
18．（本小题满分 12 分）
如图，在直四棱柱 A BCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 A BCD 是平行四边形， 点 M ，N 分别在棱 C
1C ，
A 1 A 上，且 C 1M = 2MC ， A 1 N = 2NA .
（1）求证： N C 1 // 平面 B MD ；
A π （2）若 A 1 A = 3，A
B = 2AD = 2 ， ∠DAB =
，求二面角
3
M
N - BD - M 的正弦值.
解：（1）证明：（法一）如图，连接 A C 交 B D 于点
G
MG ．设 C 1M 的中点为 E ，连接 A E ．………2 分
G , M 是在△ ACE 边 C A ,CE 的中点，
∴ MG //AE ， ……………………………………3 分
又 C 1M = 2MC ，
A 1 N = 2NA ， A A 1 //CC 1 ， ∴四边形 A NC 1E 是平行四边形，故 N C 1 //AE ，
∴ NC 1 //GM ， …………………………………4 分 GM ⊂ 平面 B MD ，
∴ NC 1 // 平面 B MD . …………………………………5 分 （法二）如图，设 E 是 B B 1 上一点，且 B E = 2B 1E ，连接 E C 1 . 设 G 是 B E 的中点，连接
G M . ……………………1 分
BE = MC 1，BE //MC 1 ，
∴四边形 B EC 1M 是平行四边形，故 E C 1 //BM ， ……2 分
又 BM ⊂ 平面 B MD ，
∴ EC 1 // 平面 B MD ， …………………………………3 分
同理可证 N E //AG ， A G //DM ，故 N E //DM ，
2 ∴ NE // 平面 B MD ，
(4)
分 又 EC 1，NE ⊂ 平面 N EC 1 ，且 N E C 1E = E ，
∴平面 N EC 1 // 平面 B MD ，
又 N C 1 ⊂ 平面 N EC 1 ，所以 N C 1 // 平面 B MD .……………5 分
（2）（法一）设二面角 N - BD - M 为α，二面角
N - BD - A 为 β，根据对称性，二面角 M - BD - C
的大小与二面角 N - BD - A 大小相等，故α= π - 2β，
sin α= sin(π - 2β) = sin 2β.
下面只需求二面角 M - BD - C 的大小即可. ………7 分 由余弦定理得 B D 2 = AD 2 + AB 2 - 2AD ⋅ AB cos ∠DAB = 3 ，
故 AB 2 = AD 2 + BD 2 ，
A D ⊥ BD . (8)
分
四棱柱 A BCD - A 1B 1C 1D 1 为直棱柱，
∴ DD 1 ⊥ 底面 A BCD ，
D D 1 ⊥ BD ， ……………………9 分 又 AD , D 1D ⊂ 平面 A DD 1 A 1 ， A D D 1D = D ，
∴ BD ⊥ 平面
B DD 1B 1 ， …………………………………10 分
ND ⊂ 平面
A DD 1 A 1 ， ∴ND ⊥ BD ，
所以二面角 N - BD - A 的大小为 ∠NDA ，即 ∠NDA = β，
在 R t ∆NAD 中，
s in β = AN
= 1 ND = 2 ，
…………11 分 2
∴ β= π ，α= π
，
4 2
∴二面角N- BD - M 的正弦值为1 . …………………12 分
（法二）由余弦定理得B D2 = AD2 + AB2 - 2AD ⋅ AB cos∠DAB = 3 ，故
AB2 = AD2 + BD2 ，A D ⊥ BD . ……………………6分
以D为坐标原点O，以D A, DC, DD1 分别为x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意有 D (0,0,0) ， B (0, ,0) ， M (-1, ,1) ， N (1, ,1) ，
DB = (0, ,0) ， DM = (-1, ,1) ， D N = (1, ,1) ，……7 分
设平面 M BD 的一个法向量为 n = (x , y , z ) ，
⎧⎪n ⋅ DB = 0 ∴⎨ ⎧⎪ ， ∴⎨ 3y = 0 ， ⎪⎩n ⋅ DM = 0
⎪⎩-x + y + z = 0
令 x = 1 ，则 z = 1， y = 0 ，∴n = (1,0,1) ，……………9 分 同理可得平面 N BD 的一个法向量为 m = (1,0, -1) ，……10 分 所以 c os < m , n >=
m ⋅ n 0
= | m || n |
= 0 ， ……………11 分
所以二面角 N - BD - M 的大小为 π
，正弦值为1 . …12 分
2
【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力， 考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.
19．（本小题满分 12 分）
已知以 F 为焦点的抛物线 C : y 2 = 2 p x ( p > 0) 过点 P (1, -2) ，直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，M 为
AB 中点，且 O M + OP = λOF .
（1）当 λ=3 时，求点 M 的坐标；
uur u u u r
（2）当 O A ⋅ OB = 12 时，求直线 l 的方程.
解：（1）因为 P (1, -2) 在
y 2 = 2 p x 上，代入方程可得 p = 2 ， 所以 C 的方程为 y 2 = 4x ，焦点为 F (1, 0) ，
(2)
分 设 M ( x 0 , y 0 ) ，当 λ=3 时，由 O M + OP = 3OF ，可得
M (2, 2) ， ………………4 分 （2）（法一）设
A (x 1 , y 1 ) ，
B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ， 由 O M + OP = λOF ，可得 (x 0 + 1, y 0 - 2) = (λ, 0) ，所以 y 0 =2 ， y - y 所以 l 的斜率存在且斜率
k = 1 2
=
x 1 - x 2
4 = 2
y + y y
3 3 3 3 3 3
3 2 ⋅ 2
= 1，……………7分
⎧ y = x + b
可设l方程为y= x + b ，联立⎨
得x2 + (2b - 4)x + b2 = 0 ，
⎩ y2 = 4x
∆
=
（
2
b
-
2 - 4b2 =16 -16b > 0 ，可得b<1，………………………………9分
2
则 x 1 + x 2 = 4 - 2b ， x 1x 2 = b
， y 1 y 2 = x 1 x 2 + b (x 1 + x 2 ) + b = 4b ，
所以 O A ⋅ OB = x x + y y =b 2 + 4b = 12 ，
…………………………………11 分
1 2
1 2
解得 b = -6 ，或 b = 2 （舍去），
所以直线
l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分
（法二）设 l 的方程为
x = my + n ， A (x 1 , y 1 ) ， B (x 2 , y 2 ) ， M (x 0 , y 0 ) ， ⎧x = my + n 联立 ⎨ ⎩ y 2
= 4x
得 y 2 - 4my - 4n = 0 ， ∆ =16m 2 +16n > 0 ， ………………6 分
则 y 1 + y 2 = 4m ， y 1 y 2 = -4n ， x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2 ) + 2n = 4m
+ 2n ，
所以 M (2m 2 + n , 2m ) ，
…………………………………………………………7 分
由 O M + OP = λOF ，
得 (2m 2 + n +1, 2m - 2) = (λ, 0) ，所以 m =1， …………8 分 所以 l 的方程为
x = y + n ， 由 ∆ = 16 + 16n > 0 可得， n > -1，
……………………………………………9 分
( y 1 y 2 ) 2
由 y 1 y 2 = -4n 得 x 1 x 2 =
= n ，
16
所以 O A ⋅ OB = x x + y y =n 2 - 4n = 12 ， ………………………………………11 分
1 2
1 2
解得 n = 6 ，或 n = -2 （舍去），
所以直线
l 的方程为 y = x - 6 . ……………………………………………12 分
【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量 的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.
20．（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出
现反应或开始
呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000 名患者的 相关信息，得到如下表格：
2
2
2
（1）求这1000 名患者的潜伏期的样本平均数 x （同一组中的数据用该组区间的中点
（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否 超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述1000 名患者中抽取 200 人，得到如下列联表. 请将列联表补
充完整，并根据列联表判断是否有 95% 的把握认为潜伏期与患者年龄有关；
（3）以这1000 名患者的潜伏期超过 6 天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过 6 天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了 20 名患者， 其中潜伏期超过 6 天的人数最．有．可．能．（即．概．率．最．大．
）是多少？ 附：
2
n (ad - bc )2
K = ，其中 n = a + b + c + d .
(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )
解：（1） x =
1 1000
⨯（1⨯ 85 + 3⨯ 205 + 5⨯ 310 + 7 ⨯ 250 + 9 ⨯130 +11⨯15 +13⨯ 5）= 5.4 天.
……………………………………………………………………………2 分
（2）根据题意，补充完整的列联表如下：
则 K 2 = (65 ⨯ 45 - 55 ⨯ 35) ⨯ 200 =
25 ≈ 2.083 ， ………………………………………5 分
120 ⨯ 80 ⨯100 ⨯100
12
经查表，得 K 2 ≈ 2.083 < 3.841 ，所以没有
95% 的把握认为潜伏期与年龄有关. ……6 分
（3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为
400 = 2
， ……7 分 1000 5
设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为 X ，
则 X ~ B (20, 2) , P ( X = k ) = C k
k
⎪  ⎪
20-k
， k = 0 ，1， 2 ，…， 20 ， ………8 分
⎛ 2 ⎫
20
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5 2 3 2 3 得 5 2 3 2 3
20 20 ⎧ ⎝ ⎭ ⎛ 3 ⎫ ⎝ 5 ⎭
k 20-k ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ k +1 19-k
⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎪C k ⎪  ⎪
≥ C k +1 ⎪ ⎪ ⎧P ( X = k ) ≥ P ( X = k + 1) ⎪ 由 ⎨ ⎨ 20
⎝ ⎭ ⎝ 5 ⎭ 20 ⎝ 5
⎭ ⎝ 5 ⎭ ， …………10 分 ⎩P ( X = k ) ≥ P ( X = k -1) ⎪ k 20-k ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ k -1 21-k
⎛ ⎫ ⎛ ⎫ ⎪C k ⎪  ⎪ ≥ C k -1 ⎪ ⎪
⎩ ⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭
⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭
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0 ⎧3(k + 1) ≥ 2(20 - k ) 化简得 ⎨ ⎩
2(21 - k ) ≥ 3k ，解得 37
5 ≤ k ≤ 42 ,
5 又 k ∈ N ,所以 k = 8 ,即这 20 名患者中潜伏期超过
6 天的人数最有可能是 8 人.…12 分
【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概 率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x ) = e x
- a ln(x -1) .（其中常数 e =2.718 28 ⋅ ⋅ ⋅ ，是自然对数的底数）
（1）若 a ∈ R ，求函数 f (x ) 的极值点个数；
（2）若函数 f (x ) 在区间
(1,1+e -a
) 上不单调，证明： 1
+ 1
> a .
(x -1)e 解：（1）易知 f '(x ) =
x
- a a a +1
， x > 1 ，
………………………………………1 分
x -1
①若 a ≤ 0 ，则 f '(x ) > 0 ，函数 f (x ) 在 (1, +∞) 上单调递增，
∴函数 f (x ) 无极值点，即函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；
……………………2 分
②若 a > 0 ，
（法一）考虑函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) ，
Q y (1 + a ) = a e 1+a - a > a - a = 0 ，
y (1) = -a < 0 ，
∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 有零点
x ，且1< x <1+ a ， 0
Q y ' = x e x > 0 ，∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 为单调递增函数，
∴函数 y = (x -1)e x - a (x ≥ 1) 有唯一零点
x ，
∴ f '(x ) =
(x -1)e - a
亦存在唯一零点 x ， …………………………………4 分
x -1 0
x
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∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，
当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，
∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .
（法二）易知函数 y = e x 的图象与 y =
a
x -1
(a > 0) 的图象有唯一交点 M (x 0 , y 0 ) ，
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∴ e x
=
a x 0 -1
，且 x 0 > 1 ，…………………………………………………………………3 分
∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，
当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，
∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………4 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .
（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过 4 分）
（法三）对于 ∀a > 0 ，必存在 n ∈N *
，使得 n >
2 - ln a
，即 2 - na < ln a ，
a
Q e
- na
< 1 ，∴ e
1-na +e - na
- a < e 2 -na
- a < e ln a
- a = 0 ，
e -na e 1+e - na
- a ∴ f '(1+ e
-na
) = < 0 ， e -na
a e
1+ a
又 f '(1 + a ) = a - a =e 1+ a
-1 > 0 ， ∴函数 f '(x ) = (x -1)e x
- a 有零点，不妨设其为 x ，
x -1 0 显然 f '(x ) = e x
-
a x -1
(x > 1) 为递增函数， ∴ x 0 为函数 f '(x ) 的唯一零点， …………………………………………………………4 分
∴当 x ∈(1, x 0 ) 时，易知 f '(x ) < 0 ，即函数 f (x ) 在 (1, x 0 ) 上单调递减，
当 x ∈(x 0 , +∞) 时，易知 f '(x ) > 0 ，即函数 f (x ) 在 (x 0 , +∞) 上单调递增，
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∴ 函数 f (x ) 有极小值点 x 0 ，即函数 f (x ) 的极值点个数为1 ， ……………………5 分 综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为 0 ；当 a > 0 时，函数 f (x ) 的极值点个数为1 .
（2） Q 函数
f (x ) 在区间 (1,1+e -a
) 上不单调，
∴存在 x ∈
(1,1+e -a ) 为函数 f (x ) 的极值点， ……………………………………6 分
e -a ⋅ e 1+e - a
- a
∴由（1）可知 a > 0 ，且 f '(1+e -a
) =
> 0 ，即 e
1-a +e
e -a
> a ，
两边取对数得1 - a +e - a > ln a ，即1+e - a - ln a > a ， ………………………………7 分
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页
（法一）欲证
1 + 1 > a ，不妨考虑证
a a +1
1 + 1 ≥1+e -a - ln a ， a a +1 先证明一个熟知的不等式： e x ≥ 1 + x ，
令 g (x ) = e x - x -1，则 g '(x ) = e x -1，∴ g '(0) = 0 ， 不难知道函数 g (x ) 的极小值（即最小值）为 g (0) = 0 ，
∴ e x - x -1 ≥ 0 ，即 e x ≥ 1 + x ，
……………………………………………………8 分
（思路 1：放缩思想）∴ e -a = 1
≤ 1 ， 即 1 ≥ e -a
， ………………………9 分
1
-1
1
1- 1
e a a +1 1 a +1
1
又 e
a
≥ ，∴ e a
≤ a ，∴1- ≤ ln a ，即 ≥ 1- ln a ，
………………………11 分
∴ 1
+ a a
1
≥1+e -a
- ln a ，∴ 1 + 1
a > a . …………………………12 分 a a +1 a a +1
（思路 2：构造函数）令ϕ(a ) = 1 + ln a -1 ，则ϕ'(a ) = 1 - 1
= a -1 ，
a a a 2 a 2
不难知道，函数ϕ(a ) 有最小值ϕ(1) = 0 ，∴ϕ(a ) ≥ 0 ，
…………………………10 分
当 a > 0 时， 1
- e - a
= e
- a -1
> 0 ， …………………………………………11 分
a + 1 (a + 1)e a
∴ 1 + ln a -1 + 1 - e -a 1 1
> 0，即 + ≥1+e -a - ln a ， a
a +1
a a +1
∴ 1 + 1 > a .
…………………………………………………………………12 分
a a +1
（法二）令 F (x ) = 1+e - x - ln x - x ，则 F '(x ) = -e - x - 1 -1 < 0 ，
x
∴函数 F (x ) 为单调递减函数，
显然 F (2) < 2 - ln 2 - 2 < 0 ，且 F (a ) > 0 ，∴ 0 < a < 2 ，
①若 0 < a < 1 ，则
1 + 1 > 1 > a ，即
1 + 1
> a 成立； …………………………8 分 a a +1
a
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②若1≤ a < 2 ，只需证 1
+ a
a a +1 1
≥1+e -a - ln a ，
a a +1 1
1
14
14
不难证明 +
≥ a a +1 7a + 3
，只需证明 7a + 3
≥1+e -a - ln a ， …………………………9 分
令 G (a ) = 14 7a + 3
- e -a + ln a -1，1≤ a ≤ 2 ，则 G '(a ) = e -a + 1 - a 98 (7a + 3)2 > 1 - a 98 ， (7a + 3)2
当1≤ a ≤ 2 时， 1 - 98
=
49a - 56a + 9 ，
a (7a + 3)2 a (7a + 3)2
显然函数 y = 49a 2 - 56a + 9 在 [1, 2] 上单调递增，且 y (1) = 2 > 0 ，
2
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e
a
∴ G '(a ) > 0 ，即函数 G (a ) 为单调递增函数， ………………………………………10 分
∴当1≤ a < 2 时， G (a ) ≥ G (1) = 2 - 1 =
2e - 5
> 0 ，即 G (a ) > 0 ， ………………11 分
5 e 5e
∴
14 ≥1+e -a
- ln a ，即 1 + 1 > a ， 7a + 3 a a +1
1 1
综上所述，必有 +
> a 成立. …………………………………………………12 分 a a +1
（法三）同（法二）得 0 < a < 2 ，
1 1
1 1 1
①若 0 < a < 1 ，则 +
> > a ，即 + > a 成立； …………………………8 分
a a +1 ②若1≤ a < 2 ，只需证 1 +
a a a +1
1
≥1+e -a - ln a ， 令 G (a ) = 1 + 1
a a +1
- e - a + ln a -1 ，1≤ a ≤ 2 ，
a a + 1
则 G '(a ) = e -a
- 1 + a -1 ≥ e -a - 1
， (a +1)2 a 2 (a +1)2
下证当1≤ a ≤ 2 时，
e -a
-
1
(a +1)2
a > 0 ，即证 e a < (a +1)2
，即证 e 2
< a +1 ， ………9 分
a
令 H (a ) = e 2
- a -1，1≤ a ≤ 2 ，
则 H '(a ) = 1 e 2 -1，当 a = 2ln 2 时， H '(a ) = 0 ，
2
不难知道，函数 H (a ) 在 [1, 2ln 2) 上单调递减，在 (2ln 2, 2] 上单调递增，
∴函数 H (a ) 的最大值为 H (1) ，或 H (2) 中的较大值，
显然 H (1) =
- 2 < 0 ，且 H (2) = e - 3 < 0 ，
a
∴函数 H (a ) 的最大值小于 0 ，即 H (a ) < 0 ，亦即 e 2 < a +1 ，…………………………10 分
∴ e -a -
1 (a +1)
2
> 0 ，即 G '(a ) > 0 ，
∴函数 G (a ) = 1 + 1
- e - a + ln a -1 ，1≤ a ≤ 2 单调递增，
a a + 1
易知 G (1) = 1 - 1
> 0 ，∴ G (a ) > 0 ，即 1 + 1
≥1+e -a - ln a ，………………………11 分
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 14 页 共 16页
2 e
∴当1≤ a < 2 时，有 1 + 1
a a +1
> a 成立，
a a +1
1
1
综上所述， +
> a .
…………………………………………………………12 分
a a +1
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3 【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题 的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
⎪⎧x = -2 在直角坐标系 x Oy 中，直线 C 1 的参数方程为 ⎨
+ t
cos α,
（
t 为参数，α为倾斜角）， ⎪⎩ y = t sin α,
以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 2 的极坐标方程为 ρ= 4sin θ．
（1）求 C 2 的直角坐标方程；
（2）直线 C 1 与 C 2 相交于 E , F 两个不同的点，点 P 的极坐标为 (2
, π) ，若 2 EF = PE + PF ，
求直线 C 1 的普通方程．
解：（1）由题意得， C 2 的极坐标方程为 ρ= 4sin θ，所以 ρ2 = 4ρsin θ，………………1 分 又
x = ρcos θ, y = ρsin θ，………………2 分
代入上式化简可得， x 2 + y 2 - 4 y = 0 ，………………3 分 所以 C 2 的直角坐标方程 x 2 + ( y - 2)2 = 4 ．………………4 分 （2）易得点 P 的直角坐标为 (-2 ,0) ，
⎪⎧x = -2 将 ⎨ + t cos α,
代入 C 2 的直角坐标方程，可得
⎪⎩ y = t sin α,
t 2 - (4
∆ = (4 cos α+ 4sin α)t + 12 = 0 ，………………5 分
cos α+ 4sin α)2 - 48=[8sin(α+ π
)]2 - 48 > 0 ，
3 解得 s in(α+ π) > 3 ，或 s in(α+ π) < - 3
，
3 2 3 2
不难知道α必为锐角，故 s in(α+ π) >
3
， 3 2
所以 π <α+ π < 2π ，即 0 < α< π ,………………6 分
3 3 3 3
3
3
3
3 3
3
设这个方程的两个实数根分别为 t 1 ， t 2 ，则
t 1 + t 2 = 4 cos α+ 4sin α， t 1 ⋅ t 2 = 12 ，………………7 分
3 3 ) 所以 t 1 与
t 2 同号， 由参数
t 的几何意义可得，
PE + PF = t + t
= t + t
= 8 sin(α+ π) ， 1 2 1 2 3
EF = t - t = ，………………8 分 1 2
所以 2 ⨯
= 8 sin(α+ π ，
3
两边平方化简并解得 s in(α+ π ) = 1，所以α= π + 2k π ， k ∈ Z ,
3 6 因为 0 < α< π ，所以α= π ，………………9 分
3 6 ⎧ ⎪
⎪x = -2
+ t
, 2 所以直线 C 1 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = 1 t , ⎩⎪ 2
消去参数 t ，可得直线 C 1 的普通方程为 x - y + 2 = 0 ．………………10 分
【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的 几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养， 考察考生的化归与转化能力．
23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1. 证明：
（1） 1 + 1 + 1 ≥ 9 ； a b c
（2） a c + bc + ab - abc ≤ 8
.
27
3 3
⎝ ⎭
证明：（1）因为 1 + 1 + 1 = (a + b + c ) ⎛ 1
+ 1 + 1 ⎫
a b c = 3 + b + a + c + a + c + b
a b a c b c
a b c ⎪
3
≥ 3 + +
1
（当且仅当 a = b = c = 时，等号成立）. ………………5 分
3
（2）（法一）因为 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1， 所
以 c = 1 - a - b ，且1 - a > 0 ，1 - b > 0 ，1 - c > 0 ， 所
以 a c + bc + ab - abc
= (a + b - ab )c + ab
=
(a
+
b -
) 1- a - b ）+ ab = (b -1)(a -1)(a + b )
= (1- a )(1- b )(1- c )
≤ ⎡(1- a ) + (1- b ) + (1- c ) ⎤ = 8 ，
⎣⎢ 3 ⎦⎥ 27
所以 a c + bc + ab - abc ≤ 8
.
27
1
（当且仅当 a = b = c = 时，等号成立）. ………………10 分
3
（法二）因为 a , b , c 为正数，且满足 a + b + c = 1，
所以 c = 1 - a - b ，且1 - a > 0 ，1 - b > 0 ，1 - c > 0 ，
ac + bc + ab - abc = 1 - (a + b + c ) + ac + bc + ab - abc
= (1 - a ) + b (a - 1) + c (a - 1) + bc (1 - a )
= (1- a ) ⎡⎣1- (b + c ) + bc ⎤⎦
= (1- a)(1- b)(1- c)
⎡3 -(a + b + c) ⎤38≤ ⎢⎥ =
⎣ 3 ⎦27
所以a c + bc + ab - abc ≤ 8 .
27
1
（当且仅当a= b = c =时，等号成立）. ………………10 分
3
【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．。