数分高代考研试题

4.1. 极值原理 4.2. 第一边值问题解的惟一性和稳定性 4.3. 第二边值问题解的惟一性
4.1.
n
极值原理
考虑 R 中有界连通区域 内的方程：
Lu n u bi ( x1 x2 xn )u xi c( x1 x2 xn )u f ( x1 x2 xn )
(4.1)的解 u 不能在 的内点上达到其非负最大值. 证 用反证法. 若 u 在某点 M 0 达到非负最大值，则有
u ( M 0 ) 0
于是
u 2u ( M 0 ) 0 2 ( M 0 ) 0 i 1 2 n xi xi
n u ( M 0 ) bi ( M 0 )
u1 u2
这就说明 Dirichlet 内问题的解,连续地依赖于所给的边界条件 ( x y z ) . 定理证毕. 定理 6.10 如果 Dirichlet 外问题(4.15)的解存在, 则它必是惟一的,且连续地依赖于所给
这些点处应有
( u ) n
0 ,即 u 0 n
定理证毕.
4.2.
第一边值问题解的惟一性和稳定性
利用上面所讲的极值原理及其推论,可对 Laplace 方程或 Poisson 方程的 Dirichlet 问题 (即第一边值问题),建立惟一性和稳定性的论断. 设 是三维空间的一个闭曲面,它将空间分成两个区域,用 表示由 所围的有界区域, 表示 外的无界区域.我们把在有界区域 上所提的定解问题
§4
【知识点提示】
极值原理、惟一性与稳定性
椭圆型方程的极值原理，惟一性和稳定性。 【重、难点提示】 掌握椭圆型方程极值原理的证明思想，并由此证明解的惟一性与稳定性。 【教学目的】 掌握椭圆型方程极值原理的证明思想， 能熟练的证明第一边值问题解的惟一 性和稳定性，第二边值问题解的惟一性。 【教学内容】 第四节 极值原理、惟一性与稳定性
(4.8)
(3)沿着球 K 的半径方向的方向导数
2 dv 2are ar 0 dr
从而在球面 S 上,有
v dv cos( r ) 0 dr
我们再引进函数
(4.9)
w( M ) u ( M ) v( M ) u ( M 0 )
其中 是充分小的正数,于是在区域 D 内,有
u u 0 0
证
(4.6)
我们仅对最小值的情形证明. 不妨设球心就是坐标原点,由条件(4.5)知,在点 M 0 有
u 0
我们要证明的是上式中的等号不能成立.为此,引进如下辅助函数
v( M ) e ar e aR
其中 a 是一个待定常数, r 是点 M 到原点的距离,并设 (1)在球面 S (r R) 上, v 0
正最小值(如果存在的话)必在 上达到. 证 在方程(4.1)中令 v u , 由定理 6.6 即可证明推论 6.2. 进一步, 如果我们假设在 上 c( x1 x2 xn ) 0 , 则由定理 6.5 及定理 6.6 的证明过程
可得如下结论. 推论 6.3 若在 上 f ( x1 x2 xn ) 0 , 则方程(4.1)的解 u 的最大值必在 的边界
等于常数,根据强极值原理它不能在 的内点取得最小值.所以函数 u 在 K M 0 的所有内点上
u 的值大于它在点 M 0 处的值,故由定理 6.7 知,只要外法向导数 n 存在,就必有
u M 0 0 n 对于函数 u 在边界上取得最大值的那些点处,函数 u 就取得最小值.因此如上所证, 在
2
2
(4.7)
R r R .显然函数 v 具有如下性质: 2
(2)在区域 D :
R2 x2 y 2 z 2 R2 内 4
3v (6a 4a 2 r 2 )e ar
由于 r
2
R ,所以总可选取适当大的正数 a ,使在区域 D 内有 2
3v 0
设函数u1和u2分别是定解问题?3u0??3u0??和?u??1u???2????的解且对任意小的正数?函数?和?在边界?上处处满足12????????12记则函数在区域内调和在uu??uu??上取值????因为在?上有1212???u???????12所以由推论63知在区域?内亦有???u?u???12这就说明dirichlet内问题的解连续地依赖于所给的边界条件?x?y?z
bi c C () , 则方程(4.1)的解 u 的非负最大值(如果存在的话)必在 的边界 上达到.
证 使得 用反证法. 若 u 在 上的非负最大值不在 的边界 上达到，则存在点 M 0
u ( M 0 ) sup u ( M )
M
对任意的 0 a 0 ,作辅助函数
a 2 sup b1 ( x1 x2 xn ) a sup c( x1 x2 xn ) 0

则方程(4.4)在点 M 1 处产生矛盾. 因此, 定理得证. 推论 6.2 若在 上 c( x1 x2 xn ) 0 f ( x1 x2 xn ) 0 , 则方程(4.1)的解 u 的非
称为 Dirichlet 外问题, 其中 是定义在曲面 上的已知函数, r 定理 6.9
(4.15)
x2 y 2 z 2
如果 Dirichlet 内问题(4.13), (4.14)的解存在,则它必是惟一的,且连续地依赖
于所给的边界条件 ( x y z ) . 证 设定解问题(4.13), (4.14)有两个解 u1 和 u2 ,则它们的差 u u1 u2 满足定解问题
i 1
n
u ( M 0 ) c( M 0 )u ( M 0 ) 0 xi
而 f ( M 0 ) 0 ,这样一来，(4.1)在点 M 0 处产生矛盾. 由此定理得证. 定理 6.6 (弱极值原理) 设在 上 c( x1 x2 xn ) 0 f ( x1 x2 xn ) 0 且
3
u 0 ( x y z )
பைடு நூலகம்
(4.13)
和
u ( x y z ) ( x y z )
称为 Dirichlet 内问题. 而将无界区域 上所提的定解问题
(4.14)
u 0 ( x y z ) 3 u ( x y z ) ( x y z ) lim u 0. r
3
(4.10)
w 3 v 0
由推论 6.3 知函数 w 在 D 内不能取得最小值. 在 D 的边界上,当 r R 时,由(4.10), v 的性质及 M 0 是 u 在球 K 上的最小值知
w( M ) u ( M ) u ( M 0 ) 0
而当 r
(4.11)
R 时,由(4.10)及(4.5)知，可取 足够小,使得 w( M ) u ( M ) v ( M ) u ( M 0 ) 0 2
成立. 又由于 M 0 S , 所以 w( M 0 ) 0 . 从而推得在区域 D 内, 恒有
w( x y z ) 0 w( x0 y0 z0 )
因此函数 w 在点 M 0 取得最小值,故在 M 0 点沿方向 ,有
w M 0 0
即
w v u M0 M 0 0
的解,且对任意小的正数 ,函数 1 和 2 在边界 上处处满足
1 2
记 u u1 u2 ,则函数 u 在区域 内调和,在 上取值 1 2 因为在 上有
u 1 2
所以由推论 6.3 知,在区域 内亦有
w( x1 x2 xn ) u ( x1 x2 xn ) eax1
由于 是有界的, 故对任意正常数 a ,总可以将 取得充分小, 使得
(4.2)
u ( M 0 ) sup w( M )
M
即
w( M 0 ) u ( M 0 ) sup w( M )
数 u ,如果在边界点 M 0 ( x0 y0 z0 ) 处取得最小(大)值,则只要在点 M 0 的外法向导数 就必有
u 存在, n
u u M0 0 M0 0 n n
证
(4.12)
由假设条件知,在点 M 0 可作一个球 K M 0 ,使其所有内点都属于 ,由于函数 u 不恒
M
这表明 w( x1 x2 xn ) 亦在 内部某点 M 1 取到非负最大值( M 1 不一定与 M 0 相同). 于是
w( M 1 ) 0
但另一方面, 由于
w 2w ( M 1 ) 0 2 ( M 1 ) 0 i 1 2 n xi xi
上达到; 若 f ( x1 x2 xn ) 0 , 则 u 的最小值必在 上达到; 若 f ( x1 x2 xn ) 0 ,
则 u 的最大值与最小值都必在 的边界 上达到. 此外, 若 f ( x1 x2 xn ) 0 , 则 u 的最 大值不能在 内达到; 若 f ( x1 x2 xn ) 0 , 则 u 的最小值不能在 内达到. 注 1 与抛物型方程的极值原理(第五章§3)相比较, 椭圆型方程的极值总在区域边界上 达到, 而抛物型方程的极值则在一“U"型区域的底边与侧边上达到. 注 2 上面研究极值原理的方法可以推广到更一般的二阶椭圆型方程. 注 3 定理 6.6 为弱极值原理, 事实上, 更强的结论也是成立的. 为了研究问题的简洁起见, 我们以三维调和方程为例加以说明. 定理 6.7 (Hopf 引理) 设函数 u ( x y z ) 在半径为 R 的球 K 内调和,在闭球 K 上连续,
在球面 S 上某点 M 0 ( x0 y0 z0 ) 处取最小(大)值,且对球 K 内的一切点 M ( x y z ) ,都有
u(M ) u(M 0 ) u(M ) u(M 0 )
(4.5)
那么函数 u 若在点 M 0 沿着 方向的导数存在(方向 与球的内法线方向相交成锐角),则
3 u 0 ( x y z ) u 0 ( x y z )
由推论 6.3 知
u 0
即 u1 u2 ,所以 Dirichlet 内问题的解是惟一的. 下面再证稳定性.设函数 u1 和 u2 分别是定解问题
3 u 0 3 u 0 和 u 1 u 2
n
(4.3)
n w bi ( x1 x2 xn )
i 1
w c( x1 x2 xn ) w xi
(4.4)

选取 a 足够大, 使得
f e (a ab1 ( x1 x2 xn ) c( x1 x2 xn ))
ax1 2
由(4.9)即得
u v M 0 M 0 0
定理证毕. 定理 6.7 讨论了区域为球时的极值原理， 下面我们将这一结论推广到具有内部球条件的 区域上. 一个区域 称为具有内部球条件, 如果在区域 的边界 上任一点 P 都可作一个 属于 的球 K P ,且使 K P 与 在点 P 相切. 定理 6.8 设 为具有内部球条件的区域,在 上连续且在 内不恒等于常数的调和函
i 1
n
(4.1) 其中 bi ( x1 x2 xn ) c( x1 x2 xn ) f ( x1 x2 xn ) 都是 上的连续函数, 是
的边界.
定理 6.5 (强极值原理) 设在 上 c( x1 x2 xn ) 0 f ( x1 x2 xn ) 0 , 则方程