《复变函数》第1章
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2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
2013-7-12
3 ) 4
《复变函数》(第四版)
第9页
(3) 三角表示法 z x iy r (cos i sin ) (4) 指数表示法 由欧拉公式 ei cos i sin 得 z re i z sin i cos 例 求 z cos i sin 和 3 3 3 3 的辐角主值. 解: z cos i sin cos( ) i sin( ) , arg z 3 3 3 3 3 z sin i cos cos( ) i sin( ) , 3 3 2 3 2 3 arg z 2 3 6
相等的点轨迹 : 连结2i 和－2 的线段的垂直平分线.
| x +(y－2)i | = | (x +2) + yi | x2 +(y－2)2 = (x +2)2 + y2 y = －x
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第14页
续上页例 4
解: 3) Im( i z ) 4 Im( i x yi ) 4 1－y = 4 y = －3
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第4页
z1 z 2 z1 z 2 . z1 z 2 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) ( x1 x2 y1 y 2 ) i ( x2 y1 x1 y 2 ) z1 z 2 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) ( x1 x2 y1 y 2 ) i ( x2 y1 x1 y 2 ) P.4 z1 z1 例1 设 z1= 5－5i , z2= －3 + 4i , 求 与 z2 z2 7 1 z1 i 解: 5 5 z2
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第11页
续上页例 1
解: 2)
z sin
5 5 3 3 cos i sin 10 10
i cos
cos(
) i sin( ) 2 5 2 5
3 3 三角式: z cos i sin 10 10
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第17页
§3 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
1
z1 r1e ,
2 1 2)
i 1
z2 r2 e
i 2
z1 z 2 r1e i r2 e i r1r2 e i (
Th1. | z1 z2 | | z1 | | z2 | ,
z2 | z2 | , z1 | z1 |
z 2 r2 i ( ) e z1 r1
2 1
Arg( z1 z2 ) Arg z1 Arg z2 (两端可能值相等,
即集相等 )
Th2.
z2 Arg Arg z2 Arg z1 z1 2013-7-12 《复变函数》
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第10页
书 P.7
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 1) z 12 2i 2) z sin i cos 5 5 解: 1) 12 2 r 12 4 4, z 4( i ) 4( 3 1 i ). 4 4 2 2 1 3 sin 5 . cos , 2 2 6 5 2 3 arctan (或 arctan 6 12 3 ∵ z 在第三象限 ) 5 5 ∴ 三角式: z 4 [cos( ) i sin( )] 6 6 5 i 指数式: z 4 e 6
复变函数
（第四版）
电 子 教 案
中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写
第一章 复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数． 复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 i — 虚数单位 i 2 =－1 复数：z = x + iy (或 z = x + yi ), x, y 为实数 实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z) 纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第16页
规定: | ∞| = +∞ α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞ α－∞ = ∞－α = ∞ α· =∞· =∞ ∞ α 0, , （ 中 可为） . 0 0
无特殊说明, 平面仍指有限平面. 注:1.在高等数学中, ∞可以分为+∞和－∞. 而在复 变函数中只有唯一的无穷远点∞. (这样才能 与复球面一一对应) 2. 引入唯一无穷远点∞在理论上有重要意义. ∞ 可以作为复平面的唯一的边界点. 在扩充的复 平面上, 直线可看成是一个圆.
指数式:
ze
3 i 10
例2. 见书 P.8 … ( 自阅 )
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第12页
平面图形与复数形式方程 例3 通过两点 z1= x1+iy1与z2= x2+iy2的直线的方程 解法一: 由过两点(x1, y1), (x2, y2)的直线的参数方程 z1 x x1 t ( x2 x1 ) z z2 y y1 t ( y 2 i 5 5 z2
2013-7-12
z1 5 5i ( ) z2 3 4i
《复变函数》(第四版) 第5页
1 3i , 求 Re(z), Im(z)与 z z . 例2 设 z i 1 i i 3i (1 i ) 3 3 3 1 i ( i) i 解: z i i (1 i )(1 i ) 2 2 2 2 3 1 Re( z ) , Im( z ) , 2 2
问: | z +3 | + | z +1 | = 4 中 z 的轨迹? 到定点 z = －3和 z = －1的距离和为常数—— 椭圆.
(左焦点) (右焦点)
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第15页
2. 复球面
任取一与复平面切于原点的球面, 原点称球面的南极, 过原点 且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极. 连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面 与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称 为复球面.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第2页
共轭复数： x iy x iy z=0 x=y=0 z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x 1 = x 2 , y 1 = y 2 注意：任意两个复数不能比较大小. 2. 复数的代数运算 z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , (1) 加(减)法: z1 ± z2 ( x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) = (2) 乘法: 按多项式法则相乘 z1 · 2 ( x1+ iy1 )( x2+ iy2 ) z = ( x1 x2 － y1 y2 ) + i( x2 y1+ x1 y2 ) =
x — 实轴 直角坐标平面 xoy 复平面. y — 虚轴
点与复数对应
P( x, y )
y
r
o x r x2 y2 模 z | OP | 由此: 复数的加减法可用向量的三角形法则和平
行四边形法则.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第7页
z z z z2 , 结论: z | z | , x z , y z , z1 z 2 z1 z 2 (两边之和大于第三边) z1 z 2 | z1 | | z 2 | (两边之差小于第三边)
得复数形式的参数方程
o
( t ) 解法二: 如图, z －z1与z2 －z1共线 z z1 t ( z2 z1 )
z z1 t ( z2 z1 )
即 z z1 t ( z2 z1 )
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第13页
1) | z + i | = 2 ; 例4 求下列方程所表示的曲线 3) Im( i z ) 4. 2) | z － 2i | = | z +2 | ; 解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i 的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆. 代数推导: 设 z = x + iy 则 | x + (y + 1)i | = 2 (见书P10 图1.5) x2 + (y + 1)2 = 4 解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
(第四版)
第18页
几何意义: z1·2 : z1 逆时针旋转一个角度arg z2 , 并伸长 z | z1| 到 | z2| 倍. 1 z2 : z2 顺时针旋转一个角度arg z1 ,并伸长 倍. | z1| z1 特别: i z1 ——对 z1 实行一次旋转变换, 旋转角 . 2
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
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3 ) 4
《复变函数》(第四版)
第9页
(3) 三角表示法 z x iy r (cos i sin ) (4) 指数表示法 由欧拉公式 ei cos i sin 得 z re i z sin i cos 例 求 z cos i sin 和 3 3 3 3 的辐角主值. 解: z cos i sin cos( ) i sin( ) , arg z 3 3 3 3 3 z sin i cos cos( ) i sin( ) , 3 3 2 3 2 3 arg z 2 3 6
相等的点轨迹 : 连结2i 和－2 的线段的垂直平分线.
| x +(y－2)i | = | (x +2) + yi | x2 +(y－2)2 = (x +2)2 + y2 y = －x
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第14页
续上页例 4
解: 3) Im( i z ) 4 Im( i x yi ) 4 1－y = 4 y = －3
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第4页
z1 z 2 z1 z 2 . z1 z 2 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) ( x1 x2 y1 y 2 ) i ( x2 y1 x1 y 2 ) z1 z 2 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) ( x1 x2 y1 y 2 ) i ( x2 y1 x1 y 2 ) P.4 z1 z1 例1 设 z1= 5－5i , z2= －3 + 4i , 求 与 z2 z2 7 1 z1 i 解: 5 5 z2
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第11页
续上页例 1
解: 2)
z sin
5 5 3 3 cos i sin 10 10
i cos
cos(
) i sin( ) 2 5 2 5
3 3 三角式: z cos i sin 10 10
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第17页
§3 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
1
z1 r1e ,
2 1 2)
i 1
z2 r2 e
i 2
z1 z 2 r1e i r2 e i r1r2 e i (
Th1. | z1 z2 | | z1 | | z2 | ,
z2 | z2 | , z1 | z1 |
z 2 r2 i ( ) e z1 r1
2 1
Arg( z1 z2 ) Arg z1 Arg z2 (两端可能值相等,
即集相等 )
Th2.
z2 Arg Arg z2 Arg z1 z1 2013-7-12 《复变函数》
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第10页
书 P.7
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 1) z 12 2i 2) z sin i cos 5 5 解: 1) 12 2 r 12 4 4, z 4( i ) 4( 3 1 i ). 4 4 2 2 1 3 sin 5 . cos , 2 2 6 5 2 3 arctan (或 arctan 6 12 3 ∵ z 在第三象限 ) 5 5 ∴ 三角式: z 4 [cos( ) i sin( )] 6 6 5 i 指数式: z 4 e 6
复变函数
（第四版）
电 子 教 案
中山大学公共卫生学院 刘素芳 邓卓燊 编写
第一章 复数与复变函数
复变函数——自变量为复数的函数. 复变函数研究的中心对象: 解析函数． 复变函数论又称为解析函数论．
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 i — 虚数单位 i 2 =－1 复数：z = x + iy (或 z = x + yi ), x, y 为实数 实部：x = Re(z) 虚部：y = Im(z) 纯虚数：z = iy ( y ≠ 0 )
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第16页
规定: | ∞| = +∞ α≠∞, α + ∞ = ∞ + α = ∞ α－∞ = ∞－α = ∞ α· =∞· =∞ ∞ α 0, , （ 中 可为） . 0 0
无特殊说明, 平面仍指有限平面. 注:1.在高等数学中, ∞可以分为+∞和－∞. 而在复 变函数中只有唯一的无穷远点∞. (这样才能 与复球面一一对应) 2. 引入唯一无穷远点∞在理论上有重要意义. ∞ 可以作为复平面的唯一的边界点. 在扩充的复 平面上, 直线可看成是一个圆.
指数式:
ze
3 i 10
例2. 见书 P.8 … ( 自阅 )
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第12页
平面图形与复数形式方程 例3 通过两点 z1= x1+iy1与z2= x2+iy2的直线的方程 解法一: 由过两点(x1, y1), (x2, y2)的直线的参数方程 z1 x x1 t ( x2 x1 ) z z2 y y1 t ( y 2 i 5 5 z2
2013-7-12
z1 5 5i ( ) z2 3 4i
《复变函数》(第四版) 第5页
1 3i , 求 Re(z), Im(z)与 z z . 例2 设 z i 1 i i 3i (1 i ) 3 3 3 1 i ( i) i 解: z i i (1 i )(1 i ) 2 2 2 2 3 1 Re( z ) , Im( z ) , 2 2
问: | z +3 | + | z +1 | = 4 中 z 的轨迹? 到定点 z = －3和 z = －1的距离和为常数—— 椭圆.
(左焦点) (右焦点)
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第15页
2. 复球面
任取一与复平面切于原点的球面, 原点称球面的南极, 过原点 且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极. 连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点, 又在平面上引入一个假想点∞与球面北极对应, 构成扩充复平面 与球面点的一一对应, 即复数与球面上的点的一一对应, 球面称 为复球面.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第2页
共轭复数： x iy x iy z=0 x=y=0 z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , z1 = z2 x 1 = x 2 , y 1 = y 2 注意：任意两个复数不能比较大小. 2. 复数的代数运算 z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , (1) 加(减)法: z1 ± z2 ( x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) = (2) 乘法: 按多项式法则相乘 z1 · 2 ( x1+ iy1 )( x2+ iy2 ) z = ( x1 x2 － y1 y2 ) + i( x2 y1+ x1 y2 ) =
x — 实轴 直角坐标平面 xoy 复平面. y — 虚轴
点与复数对应
P( x, y )
y
r
o x r x2 y2 模 z | OP | 由此: 复数的加减法可用向量的三角形法则和平
行四边形法则.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第7页
z z z z2 , 结论: z | z | , x z , y z , z1 z 2 z1 z 2 (两边之和大于第三边) z1 z 2 | z1 | | z 2 | (两边之差小于第三边)
得复数形式的参数方程
o
( t ) 解法二: 如图, z －z1与z2 －z1共线 z z1 t ( z2 z1 )
z z1 t ( z2 z1 )
即 z z1 t ( z2 z1 )
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第13页
1) | z + i | = 2 ; 例4 求下列方程所表示的曲线 3) Im( i z ) 4. 2) | z － 2i | = | z +2 | ; 解: 1) 几何上看 | z + i | = | z －(－i ) | = 2 : 与点－i 的距离为2的点轨迹, 即中心为(－i ),半径为2的圆. 代数推导: 设 z = x + iy 则 | x + (y + 1)i | = 2 (见书P10 图1.5) x2 + (y + 1)2 = 4 解: 2) | z － 2i | = | z +2 | —— 到点 2i 和－2 距离
(第四版)
第18页
几何意义: z1·2 : z1 逆时针旋转一个角度arg z2 , 并伸长 z | z1| 到 | z2| 倍. 1 z2 : z2 顺时针旋转一个角度arg z1 ,并伸长 倍. | z1| z1 特别: i z1 ——对 z1 实行一次旋转变换, 旋转角 . 2