高等量子力学习题

高等量子力学习题
† 量子力学中的对称性
1、 试证明：若体系在线性变换Q
ˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Q
ˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z
e
的矩阵表示。

3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n
转θd 角，在此转动下，
态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。

试导出转动算符),(θd n U
的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U
下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。

5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。

6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。

7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π
-=。

8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。

† 角动量理论
1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定
义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。

2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。

3、 定义角动量升降算符y
x J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。

4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。

5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J
相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量
量子数j 的取值情况。

6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：
1
13
3222
22
21
133111
12
2332
2332
2111
1212)1(1
212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=
7、 已知在3ˆs
表象中，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=01102ˆ1 s ，⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=002ˆ2i i s ，问在1ˆs 表象中2ˆs 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=
1
13
32
2112211|||m m m j m j m j m j m j C
jm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，
1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。

试证明：∑>>=
>jm
m j m j m j jm C
m j m j |||3
32
2112211
9、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为nlj E ，试证明：无论这两个粒子是玻色
子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数J 必为偶数。

† D 函数
1、 设坐标系xyz O -绕空间任意轴n
转n d θ角，到达'''z y x O -。

在该转动下角动量算符J
的本征函数)(τψjm 变为)()'(τψτψθjm J n d i jm n e
⋅-=。

试证)'(τψjm 是2
J 和'
ˆz J 的共同本征函数，这里'
ˆz J 为J
在'z 轴上的投影。

2、 证明转动算符J n d i n e
⋅-θ可表为z y z n J i J i J i J n d i e
e
e
e
ˆˆˆγβαθ
---⋅-=，其中α、β、γ为欧拉角。

3、 证明d 函数>=<-jm e
jm d
y J i j
mm ||')(ˆ'
ββ
具有如下的对称性：
)()()()1()('''''ββββj m m j m m j m m m m j m m d d d d ---=-=--=
4、 试利用D 函数的幺正性，给出∑='
'')()()'(m jm j
m m jm D
τψαβγτψ的逆变换关系式。

5、 对于无穷小转角δϕ，求证：
1'1''')1()1()(2
1
)1()1()(2
1)1()(-+--++-+-+---=m m y x m m y x m
m z j
m m m m j j i i m m j j i i m i D δδϕδϕδδϕδϕδδϕδϕ
6、 对于自旋为2/1和1的态函数，计算相应的D 函数的矩阵表示。

7、 证明两个D 函数的乘积满足如下关系
∑++++=j
j m m m jm m j m j l l l j m j m D C C D D 21212
12
2112132211222111μμμμμμμμ 8、 试利用上题结果及D 函数与球谐函数的关系，推导出三个球谐函数的积分公式：
3
32211321112233000321*
)
12(4)12)(12()()()(μμμμμμπΩθϕθϕθϕl l l l l l l l l C C l l l d Y Y Y +++=
⎰
9、 试证明∑=
m
lm lm Y Y
I )()(2211*ϕθϕθ是坐标系转动下的不变量，进而证明球谐函数加法定
理：∑+=
m
lm lm l Y Y l P )()(124)(cos 2211*
ϕθϕθπθ。

† 不可约张量算符
1、 称按规律
∑==-'
'
'1)(ˆ)()'(ˆ)()(ˆ)(m lm l m m lm n lm n T D T d n U T d n U ταβγτθτθ 变换的12+l 个算符),,1,)((ˆl l l m T lm
--= τ为l 阶不可约张量算符，试证明这个定义 与不可约张量算符的Racah 定义是等价的。

2、 设)(ˆ)(ˆ2
12211ττm l m l T T 和分别为1l 阶和2l 阶不可约张量算符，求证由下式定义的算符)(ˆ2
1ττLM T 为L 阶不可约张量算符： ∑=2
122112
211)(ˆ)(ˆ)(ˆ212
1m m m l m l LM
m l m l LM T T C
T ττττ。

3、 微观粒子间的相互作用位能，一般包含张量力项12ˆ)(S r V T ，其中12
ˆS 为张量算符，其表达式可写为
∑--=-⋅=⋅-⋅⋅=m
m
m m S Y S
r r S r r r S 2222
2
1212
2112ˆ)(2)
(6)
())((3ˆ
σσσσ 其中∑+---+---=μ
μμμμm m
m m
S S C S ˆˆˆ21,12。

试证明12ˆS 的这三个定义是等价的。

4、 设∑=
mM
jm LM JM jmLM
JM T C
J J )()(ˆ)(τψττψ，其中)(ˆτLM
T 为不可约张量算符，)(τψjm 为角动量本征函数。

试证如此定义的)(τψJ JM 一定是角动量的本征函数。

5、 求约化矩阵元?||||'>=<l Y l L ，?||ˆ||'>=<j J
j 6、 一阶不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可按以下公式计算
211)1(|)ˆ(ˆ|'|ˆ|'
+>⋅<>=<j j jm T J J jm jm T jm M M ， 称为一阶张量投影定理，试证明这一定理，进而证明这一定理的另一表达式
2
11)1(|)ˆ(||ˆ|'|ˆ|'
+>⋅><<>=<j j jm T J jm jm J jm jm T jm M M 7、 试利用投影定理计算微观粒子的磁矩（即磁矩在>jm |态上的平均值），磁矩算符为
)(0S g L g S L
+=μμ，其中0μ为微观粒子的玻尔磁子。

8、
† 多个角动量耦合
1、 试证明三个C-G 系数乘积的求和公式
∑=12
322323113312122323
332212122211);(2312321m m m jm m j m j jm m j m j m j m j m j m j m j m j C j j jj j j U C C C。

2、 试证明两个Racah 系数乘积的求和公式
∑++++++-=23
312312321);();()1();(312313223123211231213j j j j j j j j j j jj j j U j j jj j j U j j jj j j U
3、 试计算矩阵元>⋅<2121|)2(ˆ)1(ˆ|''j jmj T T j jmj L L 和><2
121|)1(ˆ|''''j jmj T j j m j LM
4、 试证明一个角量子数为零的j -9符号可化简为
⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧++-=⎪⎭
⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧+++243
43423224
3
344322)12)(12()1(0
342432j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j
† 二次量子化方法
1、 给定算符a a n
a a +
+
=ˆ，，，且满足1},{=+a a ，02
2==+a a ，试证：1）n n ˆˆ2
=；n ˆ的本征值只能取1和0。

2）在n
ˆ对角化表象中，给出a a ，+
和n ˆ的矩阵表示。

2、 设0}ˆ,{}ˆ,ˆ{1}ˆ,ˆ{===+++a a a a
a a ，，令a a n ˆˆˆ+
=，证明 >->=>+->=+1||ˆ1|1|ˆn n n a
n n n a
3、 令αααa a n
ˆˆˆ+
=，证明无论对玻色子还是费米子，均有 ααααααa a n
a
a n ˆ]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[-==+
+
其中α为量子态标记。

4、 考虑一玻色子体系，其哈密顿量具有如下形式
∑∑≠=+=N
N
V T H )(,1
21βαβααβαα 其中2
22αα∇-=m
T 为单粒子动能算符，|)(|βααβr r V V -=为两粒子相互作用能。

选取 箱归一化的动量本征函数r p i p e L r
⋅-=2/3)(ψ作为单粒子波函数。

试证明，哈密顿量H
在二次量子化表象中可写成如下形式
i k m l k k p p p p lmki i l p p k k a a a a p p L a a m
p H ++-+∑∑-+=)(2123
2ν，
式中q d e
q V p q
p i ⋅-⎰=|)(|)(ν，第二项求和是在条件k i m l p p p p +=+限制下作出的。

5、 某费米子体系的每个单粒子能级都是二重简并的，属于单粒子能级με的两个简并态用
νν、标记，相应的产生、消灭算符记为ννννa a a a 、、、++。

定义
+++=νννa a S ，ννννa a S S ==++)(， νννννa a a a n
+++=ˆ )(ννS S +是能级με上产生（消灭）一对粒子的算符，νn
ˆ是能级上的粒子数算符。

证明 μνννμδ)ˆ1(],[n S S -=+， μνννμδ++=S S n
2],ˆ[， μνννμδS S n
2],ˆ[-=。

6、 证明由表达式
>>=
++0|)()(!!1|2
1212121
n n a a n n n n ，
和12)()(|0!!1
|122121n n a a n n n n
<=
<
定义的多粒子体系的基矢（对费米子和玻色子同样适用）满足对称化要求，即它是交换
算符ij
P ˆ的本征态矢，相应的本征值对玻色子为+1，对费米子为-1。

7、 均匀外场ε中质量为m ，所带电荷为e -，频率为ω的一维谐振子体系。

引入玻色子 算符
,2/)ˆˆ(ˆωω m p i x m a
+= ωω m p i x m a
2/)ˆˆ(ˆ-=+， 试证明可将哈密顿量表成
)ˆˆ()2
1ˆˆ(ˆa a a a H
+++=++λω ， 并将其对角化。

式中ω
ε
λm e 2
=。

† 相对论量子力学
1、 已知μμαα=+
，μνμννμδαααα2=+，试在βα=4为对角的表象中建立μα的矩阵表
示。

2、 对于自由电子，证明|)|/(p p e e
=⋅σ是守恒量，并求出其本征值。

3、 试证明矢量算符
e e O
⋅-+=∑β∑β)1(
满足角动量算符的对易关系，而且与自由电子的哈密顿量对易。

进而求出i
O ˆ的本征值。

4、 中微子是自旋为1/2，静质量为0的基本粒子。

试仿照建立自由电子Dirac 方程的方法，
建立中微子的相对论性波动方程。

［参见曾谨言《量子力学》（卷II ）］ 5、 求狄拉克粒子在深为0V 、宽为a 的一维方势阱中的能级。

6、 设在0=t 时，电子的归一化态矢量为
/11)0,(pz e d c b a V x ⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=ψ， 其中d c b a ,,,与t x ,
无关，而且满足
1||||||||2222=+++d c b a 。

试求出电子处于态：0>E ，自旋向上；0>E ，自旋向下；0<E ，自旋向上；0<E ，自旋向下的几率。

† 路径积分方法
1、证明传播子)'',""(t r t r K
所满足的组合规则。

2、试在薛定谔图象下计算三维自由粒子的传播子。

3、试在薛定谔图象下计算一维谐振子的传播子，并推广到三维情况。

4、试利用路径积分的方法计算一维自由粒子的传播子［参见曾谨言《量子力学》（卷II ）］。

高等量子力学习题（补充）
† 量子力学中的算符
1、试证复数共轭算符K 为反幺正算符，并求解其本征问题。

† 量子力学基本原理
1、 试证由关系式
⎰⎰<>=dtds t t s k s F |),(|
定义的算符是线性厄米算符，其中核),(t s k 是实函数。

2、 设λ是一个小参量，算符A
ˆ存在逆算符，求证 +++=---------111121111ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ)ˆˆ(A B A A B A A B A A B A
λλλ † 角动量理论
10、
已知在2ˆL 、z L ˆ表象中，1=l 时，x L ˆ和y
L ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=010*******ˆ x L ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000002ˆi i i i L y ，
a) 求x L ˆ、y
L ˆ的本征值和本征函数； b) 求在)(11θϕY 态上测量x
L ˆ能得到哪些值？相应的测量几率是多大？ 11、
已知位置空间中绕y 轴转π角的转动),2(πC 映射到电子的自旋态空间有转动算
符y
S i
y e e U ˆ),(ππ-= ， 证明：（１）y y i e U σπ
-=),(
（２）x
S i x S i S e S e
y
y
ˆˆˆ
ˆ
-=-ππ
12、
定义角动量升降算符y
x J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。

两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为nlj E ，试证明：无论这两个粒子是玻色子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数J 必为偶数。

快速搞懂量子力学的形式体系和核心概念的建议
------量子力学闲谈
2008-01-28 03年前，考研结束后，哥们儿在太傻发了一篇文章：《献给……》，我想对于考物理的同学来说量子是必须的。

我一直在想可能是国内流行的一些教材的失误造成了大多数人对着门学科的难以掌握，就算你能解题，也基本上是概念茫然，当然，有时连题目都不知道什么意思，更不知如何下手，有时，算着算着突然不知道意思了，……其实这些都不是咱们的错。

想起当年本人上课时，量子老师（老牛人）说，“现在教量子的那些人那里懂量子呀！”哥们当时只是笑。

现在才明白果然不错。

其实，目前而言，在下对量子也是刚入点门而已，不过，对于国内的考研量子力学题我现在是把握全部搞定的，要是当初就这么猛就好了.我把一些想法写下来算是抛砖引玉了！
一、选书的建议
对于量子力学最重要的是概念的清晰把握，只有明白了量子力学的形式体系和核心概念才会觉得的量子好神秘啊！才会在解题时不至于找不到北。

真正的掌握它的概念需要学习Hilbert空间的知识和Dirac符号体系，又以后者最为重要。

愚蒙认为：
第一，优秀的量子力学书的最重要的标准是：深入浅出的讲解Hilbert空间和大量篇幅，
透彻的讲授Dirac符号.
第二，应该明确指出量子力学的5到6 条基本原理或假设。

第三，关键性的步骤或概念一定要指出。

下面就以上原则分析一下国内的流行教科书
1 曾谨言《量子力学导论》
2 周世洵《量子力学》
3 尹鸿钧《量子力学》
4 苏汝鏗《量子力学》
首先，我想说得是国内没有一本面向初等量子力学的教科书把概念说明白的，尤其，以
北大的曾谨言先生《量子力学导论》为首，此书发行量巨大，我上本科时就是用它的。

坦白说。

它的错误很少,但这决不是好书的标准，对于Dirac符号就写了两页，而且语焉
不详，关键地方几乎没有说。

我想，就算P A M.Dirac亲临也估计看不太明白。

：），至
于曾老师的《量子力学》第一。

二卷，的确详细，不过缺点仍然一样，作为研究生教材
，没有完整的理论体系，当字典用到行，可以作参考书，不适合当教材。

复旦的周世洵先生写的《量子力学》相比而言比曾谨言的强了不少，虽然年代久了点，
但讲解较为透彻，步骤也详细点，。

当然对付考研也不用与时俱进，老一点没什么问题。

科大的尹鸿钧先生编的《量子力学》是面向本科和研究生的教材，对于本科来说难了点,
关于Hilbert空间和Dirac符号都写的比较多，但没形成主线，比较可惜。

另外编排有点乱，印刷太差，不知第二版有无改进？我想如果修改一下使之完全面向初等量子力学倒也不错。

复旦大学，苏汝鏗先生的《量子力学》在以上几本书中算是最好了，讲解很是透彻，覆
盖面也很广。

最近，我在书店看到了高教版的苏先生的《量子力学》，这本书包括研究
生课的内容，对于Dirac符号倒也多说了一些，不过，仍不令人满意，想以此书弄懂量子
力学基本上也是做梦。

到目前为止我所看过的最好的初等或高等量子力学入门书是法国Cohen等人著的《Quantum
Mechanics》英文版，第一卷第一分册有中译本，刘家莫，等译。

全书厚度惊人，英文版的上下两册有半尺厚，不过看起来很爽，全书行文流畅，且有助于英文写作的提高，呵呵。

且正文与补充文章分列，初学者可以选择阅读，整个内容以初等量子开始，在第二章就详尽地，深入浅出的讲述了量子力学的主要数学工具Hilbert空间的知识和Dirac符号，注意：学懂量子力学原理的最重要的工具。

我想是：Hilbert空间的形象化与Dirac符号的熟练运用。

把原理与数学统一起来就基本明白了量子力学。

把这本书搞懂《高量》就几乎不用学了。

注：Cohen是个很厉害的物理学家，NOBEL PRIZE 获得者，1997年与朱隶文等一起获奖，而且，他几十年前错过了一次获奖机会，不然就两次了。

最后，我想补充的是想学明白量子力学，看“初量”是没有前途的，也是不可能的，因
为初量基本不涉及Hilbert空间的知识和Dirac符号体系。

如果把看初量的精力花在一部
优秀的高量书上会使你迅速掌握其精髓。

说实在的看书还是看经典原著最好。

我觉得Hilbert空间的知识和Dirac符号并不是很抽象也并不难懂，鉴于它们对于量子力
学的理解如此重要，希望教育部老师们重新修改本科生量子力学的教学大纲，将其纳入
初量中，详细讲述。

下面谈谈高量方面的书籍,
高量方面名著很多，大多是国外的。

流传的量子四大名著是：Neumann的，Heisenberg的，Pauli的，Dirac的。

又以Dirac的《The Principles of Quantum Mechanics》最有名
，号称王者之声。

也是我唯一看过的一遍的。

其中第四版有中译本，陈咸亨译，只有三
百多页，建议大家找一找，复印一下。

书中的精华是建立了量子物理的形式体系，统一了不同绘景,表象的形式表述，强调了物理思想的形成过程。

其实看过了这本书我才体会到学习物理是为了修改它,更好的表达这个宇宙的运动规律，超越人类意识经验的束缚。

另外著名的教材有：
朗道和Lifshitz著的《Quantum Mechanics,Non-relativistic Theory.》，
Schiff的《Quantum Mechanics》有中译本，
朗道的书，超级名著，复印了还没看，很难的说，
席夫的量子力学也是名著，讲的很广，中规中矩的，看之欲睡。

国内的高量教材似乎比初量的强多了。

比如，
北师大喀兴林先生，著的《高等量子力学》，
复旦倪光炯先生，陈苏卿先生合著的《高等量子力学》，
北大张启仁先生的《量子力学》，
北大曾谨言先生的《量子力学》两卷
杨泽森先生的《高等量子力学》
张永德先生的《量子力学》，
徐在新先生的《高等量子力学》。

等
下面大概评价一下其中几本，
喀兴林先生著的《高等量子力学》，本人推许为中国第一高量教材，全书数学讨论非常
严谨，逻辑清晰无比，第一章和第二章分别讨论Hilbert空间与量子力学的理论结构，更
是将Dirac符号置于Hilbert空间的数学基础之上，进行严格分析，几乎将我对量子力学
概念的所有疑惑都一扫而空,那种感觉真是奇爽无比！！喀先生是全国高校量子力学研究
会理事长，可见其在国内地位,真是名副其实。

如果要说缺点的话，我觉得这本书更适合
作为物理研究生学习高量的第二次教材，而第一次学习时应选一本数学讨论不那么严格的，可读性较强的高量教材。

然后，通读喀先生的《高等量子力学》以全面梳理概念和
体系。

喀先生对于算符代数有很大发展，使全书看起来十分优美，为了追求形式和逻辑
之间的统一，喀先生甚至没有将费曼的路径积分写进书中，有点遗憾。

不过，费曼曾经
写过一本论述路径积分的专著而且通俗易懂，大家可以直接看此书。

复旦倪光炯先生，陈苏卿先生合著的《高等量子力学》,论述较为前沿，用墨好省啊，
限制了她的可读性，说不准也是哥们道行不够。

该书的包含了大量现代量子力学前沿课题，并对很多问题有自己独特见解，是其很大优点。

总体来说，不宜作为教科书自学。

徐在新先生的《高等量子力学》讲解深入浅出，通俗易懂，行文流畅，只是散射和相对
论量子力学方面有些不够，总体而言，很好的入门书籍，尤其是第一章（量子力学的一
般描述）讲的极好，可迅速掌握Dirac符号精髓。

杨泽森先生的《高等量子力学》，早就听说写的无比复杂，尤其是散射一章，没人看的
懂。

哥们本来不信，找来一看，果然名不虚传。

曾谨言先生的《量子力学》一二卷哥们前文说过了，不错的工具书。

其他的书，我只是见过，没看过，大家可以参考其他文章。

比如，Fang的http://fangwu
.org/index.shtml
二、量子力学的形式体系与基本概念浅议
重要概念：
一.Hilbert空间
1．量子力学中强调的态矢量是所谓的Hilbert空间中的矢量，什么是Hilbert空间哪？相
信线形空间大家都明白，Hilbert空间就是在线形空间上加上内积运算，并且满足完全性
条件的内积空间。

量子力学所用的Hilbert空间是复数域上的Hilbert空间。

2．Hilbert空间可以是有限维，无限维，连续或分立维，甚至是无理数维。

3．简单说描述态矢的坐标系就是所谓的表象，而描述态矢随时间的演化就是绘景，比如说：薛定谔绘景，海森堡绘景，狄拉克绘景（相互作用）。

不同的绘景在不同的表象中
来表达就形成了不同的方程，比如说，薛定谔绘景在坐标表象中的表述就是著名的Schro dinger 方程。

同一态矢在不同表象中有不同的表达，但是他们都是Hilbert空间中的同一矢量，就像是
欧几里得空间中同一矢量在不同坐标系中有不同的表示，不同的表象（坐标系）之间存
在表象（坐标）变换。

即所谓的么正变换。

而力学量在不同表象中是相似变换的关系。

4．所谓波函数，我发现初量书都不区分波函数和态矢的概念。

而是混用之。

以曾谨言的
书为例，波函数Ψ(x)首先用来表示几率幅，它的模方正比于出现的几率。

所谓，几率幅
是个重要概念，表示态矢在一个表象的一个基矢上的投影的值。

（写到这里，我才发现
还没解释基矢，无奈啊！）几率幅的模方正比于力学量取该态矢本征值的几率。

而另一方面Ψ（x，t）又用来表示态矢量，即等价与一个右矢，所以，坐标表象中的一个本征矢用Ψ(x,t) |x>来表示才更确切。

以前学初量时我对此是有点迷糊的。

基矢就是一个或一组力学量的共同本征矢，并使之正交归一化。

一个或一组力学量所有
的基矢即在希尔伯特空间中张成一个表象，通俗点说就是一个坐标系。

力学量是希尔伯
特空间中的张量，一般是二阶的，即为矩阵。

二．狄拉克符号
把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。

用右矢|α>表示态矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|＝|α>＋。

<α|β>是内积，值是一个复数。

<α|α>大于等于0，称为模方。

所谓的归一化就是用
|α>除以<α|α>的平方根。

|β><α|是外积。

这是个算符。

用A,B,C等表示算符，(A|α>)+=<α|A+,如果A=A+,是厄米算符，
(<α|A|α>)+=<α|A+|α>=<α|A|α>,就是所谓的厄米算符的期望值（平均值）是实数。

注意的是：几种表示的意义：|α> 是右矢，<α|是左矢，A表示算符，A|α>表示一个
右矢，<α|A表示一个左矢，而且，A总是从左方作用于右矢，从有右方作用于左矢的。

<α|A|β>是一个复数，可以看成（<α|A|）|β>即一个左矢与一个右矢的内积；或者
<α|（A|β>），即一个右矢与一个左矢的内积。

这是一个定义了。

三．量子力学的基本原理：
原理一. 描写微观状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子德厄两个
矢量，描写同一状态。

原理二. 描写微观状态物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符；物理量所取的值是
相应算符的本征值；物理量A在状态|Ψ>中取各值ai概率，与态矢量|Ψ>按A的归一化本征矢量{|ai>}的展开式中|ai>的系数的复平方成正比，即与下式中ci的复平方成正比：
|Ψ>=∑|ai>ci ci=< ai|Ψ>
波包的坍缩：处于|Ψ>态的系统，如果测量物理量A得值ai 则该系统测量后进入A的本征态|ai>。

原理三. 微观系统的粒子在直角坐标下位置算符X，正则动量P满足对易关系：
[Xi Pj]=ih /2πδij
原理四. 微观状态随时间的变化规律是薛定谔方程。

原理五. 描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的变换是对称和反对称的，即为：波色子和费米子。

反映了全同粒子的不可分辨性。

所谓态叠加原理喀先生说得很好，既要强调叠加态与与每个分立态的联系，更要强调他
们的区别。

Dirac说：处于叠加态|Ψ>的系统，部分得处于|Ψ1>，部分的处于|Ψ2> …
…，也可以说，处于叠加态|Ψ>的系统，既不是|Ψ1>态，也不是|Ψ2>态，……，是一个新态。

就是这么多内容了，以上都是理解量子力学概念的数学工具和基本原理。

总结
明白了量子力学的形式体系后，还要学习很多具体的应用，技巧，思想方法，总是觉得
数学不够用，老是翻附录，找课本，无奈啊。