第12节 定积分的概念及简单应用

)பைடு நூலகம்
(A)1+cos 1 (B)cos 1
(C)1-cos 1 (D)2-cos 1
解析: 1 (sin x+2x)dx=(-cos x+x2)︱ 1 =-cos 1+1+cos 0-0=2-cos 1.
0
0
故选 D.
︱高中总复习︱一轮·理数
3.(2018·吉林省四平市高考模拟)定积分 1 x(2 x) dx 的值为( A ) 0
【跟踪训练4】 一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与 F(x)成30°方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时,F(x)做的功为( )
反思归纳
(1)定积分在物理上的应用主要是求做变速直线运动的质点所走过的路程和 求变力做功.在解题中把其转化为函数的定积分求解即可. (2)根据运动物体的运动方程求路程与位移时,要注意位移有正负,所以可以 直接根据运动方程求积分,而路程只有大小,因此运动方程为负值时要加绝 对值号.
︱高中总复习︱一轮·理数
︱高中总复习︱一轮·理数
(2) 2 |1-x|dx= 0
.
解析:(2) 2 |1-x|dx= 1 (1-x)dx+ 2 (x-1)dx=(x- 1 x2)︱ 1 +( 1 x2-x) ︱ 2 =
0
0
1
2
02
1
(1- 1 )-0+( 1 ×22-2)-( 1 ×12-1)
2
2
2
=1.
对点自测
1.(教材改编)已知质点的速率v=10t,则从t=0到t=t0质点所经过的路程是 (B )
(A)10 t02 (B)5 t02
(C)
10 3
t 02
(D)
5 3
t 02
解析:s= t0 0
vdt= t0
0
10tdt=5t2︱
t0 0
=5
t02
.
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2.定积分 1 (sin x+2x)dx 等于( D 0
x=b 之间的曲边梯形面积的代数和,其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时,一定要 分清面积与定积分是相等还是互为相反数;两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定 积分来求解.
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【跟踪训练3】 如图所示,阴影部分的面积是( )
定理所满足的条件
①f(x)是区间[a,b]上的连续函数;
② F′(x)
=f(x);
结论: b f(x)dx= a
F(b)-F(a)
.
记法: b f(x)dx= a
F(x)︱ b a
=F(b)-F(a).
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3.定积分在物理中的应用
变速 直线 运动
变力 做功
做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)
≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即 s=
b v(t)dt a
.
如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F(x)相同
b
的方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做的功为 a
F(x)dx.
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【重要结论】
设函数 f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有
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【跟踪训练 1】
(1)(2018·安徽淮南宿州联考)设
f(x)=
cos
x,
x

0, π
,
则
1, x (π, 2π
2π f(x)dx 等于( 0
)
(A)0 (B)π (C)-π
(D) π 2
解析:(1)由已知得 2π f(x)dx= π cosxdx+ 2π 1dx=sin x︱ π +x︱ 2π =π,
3
1
3
cos x) ︱ 1 =( 1 a-cos 1)-(- 1 a-cos 1)= 2 a,所以 2 a=1,a= 3 .
1 3
3
3
3
2
答案: 3
2
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反思归纳 若积分运算式中,被积函数或积分上、下限含参数,可根据积分性质求出定 积分后,建立关于参数的方程求参数.
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考点四 定积分在物理中的应用
【例4】 一物体沿直线做运动,其速度v(t)和时间t的关系为v(t)=2t-t2,在
t=1到t=3时间段内该物体行进的路程和位移分别是( )
(A)2,- 2 (B)2, 2
3
3
(C) 2 , 2 (D) 2 ,- 2 33 3 3
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解析:由定积分的几何性质可知,该物体行进的路程为 2 (2t-t2)dt- 3 (2t-t2)dt=
(1)若 f(x)是偶函数,则 a f(x)dx=2 a f(x)dx.
a
0
(2)若 f(x)是奇函数,则 a f(x)dx=0. a
(3)x∈(a,b),f(x)>g(x),则两函数图象及 x=a,x=b 围成的曲边梯形的面积 S=
b [f(x)-g(x)]dx. a
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反思归纳 (1)利用定积分求曲边梯形面积的步骤: ①画出曲线的草图. ②借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限. ③将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差. ④计算定积分,写出答案.
(2)一般情况下,定积分 b f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 y=f(x)以及直线 x=a, a
① b kf(x)dx= a
k b f(x)dx a
(k 为常数);
② b [f1(x)±f2(x)]dx=
b f1(x)dx± b f2(x)dx
a
a
a
;
③ b f(x)dx= a
c f(x)dx+ b f(x)dx
a
c
(其中 a<c<b).
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2.微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)
1
2
(t2- 1 t3)︱ 2 -(t2- 1 t3) ︱ 3 = 2 + 4 =2;该物体行进的位移为 2 (2t-t2)dt+
3
1
3
23 3
1
3 (2t-t2)dt=(t2- 1 t3)︱ 2 +(t2- 1 t3)︱ 3 = 2 - 4 =- 2 ,故选 A.
2
3
1
3
233 3
︱高中总复习︱一轮·理数
0
0
3
0
33
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考点二 根据积分运算求参数
【例 2】 (2019·四川省成都市高中毕业班摸底测试)若 1 (ax2+sin x)dx= 1
1,则实数 a 的值为
.
解析:因为( 1 ax3)′=ax2,(-cos x)′=sin x,所以 1 (ax2+sin x)dx=( 1 ax3-
.
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错解:令 y=-1,得到 A(-2,-1),B(-1,-1),C(1,-1),D(2,-1),则 S=2［ 2 [- x2 -(-x2)］
1
4
dx］=2( 2 3 x2dx)=2( 1 x3︱ 2 )= 7 .
14
4
12
易错分析:在求不规则图形面积时,可以对图形进行分割或补形,把不可求的
【跟踪训练 2】 若 a (2x+ 1 )dx=3+ln 2,则 a 的值是(
1
x
)
(A)6 (B)4 (C)3 (D)2
解析: a (2x+ 1 )dx=(x2+ln x)︱ a =a2-1+ln a=3+ln 2,所以 a=2.故选 D.
1
x
1
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考点三 应用定积分求平面图形的面积(易混易错) 【例3】 如图,由两条曲线y=-x2,4y=-x2及直线y=-1所围成的图形的面积为
转化为可求的,还可以变换积分变量,把y作为积分变量.
正解:令 y=-1 得到 A(-2,-1),B(-1,-1),C(1,-1),D(2,-1).设围成的图形的面积为 S,因
为 y 轴两边的阴影部分关于 y 轴对称,所以 S=2［ 0 2 答案: 4 3
x2
(- +1)dx-
0
4
1
(-x2+1)dx］= 4 . 3
2
2
2
因为 y=sin x 为奇函数,所以 2 sin xdx=0.又 2 4 x2 dx 表示半圆
2
2
x2+y2=4(y≥0)的面积.所以 2 4 x2 dx= 1 ×2×2×π=2π,所以
2
2
2 (sin x+ 4 x2 )dx=2π.故选 D. 2
答案:(1)D
(A) π 4
(B) π 2
(C)π (D)2π
解析:因为 y= x(2 x) ,
所以(x-1)2+y2=1 表示以(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆,
所以定积分 1 x(2 x) dx 所围成的面积就是该圆的面积的四分之一, 0
所以定积分 1 x(2 x) dx= π ,故选 A.
答案:(2)1
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反思归纳
(1)运用微积分基本定理求定积分时不但要熟记积分公式以及定积分的性质, 而且还要注意以下方法: ①对被积函数要先化简,再求积分. ②求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积 分再求和. ③对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号,再求积分. ④注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错. (2)若被积函数表示的函数图象可以作出,并且可以求面积,根据定积分的几何 意义,可利用面积求定积分.
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第12节 定积分的概念及简单应用
︱高中总复习︱一轮·理数
[考纲展示]
1.了解定积分的实际背景,了解定积 定积分的概念.
分的基本思想,了解
2.了解微积分基本定理的含义.
知识链条完善 考点专项突破
︱高中总复习︱一轮·理数
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.定积分
(1)定积分的相关概念 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区
围成的曲边梯形的面积.
②当f(x)在[a,b]上有正有负时,如图所示.
则定积分 b f(x)dx 表示介于 x 轴,曲线 y=f(x)以及直线 x=a,x=b(a≠b)之间各部分曲边梯 a
形面积的代数和,即
b
(x)dx
=
A1+A3-A2-A4
a
.
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(3)定积分的基本性质
n
间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式
f(ξi)Δx= n b a f(ξi),当 n
i 1
i1 n
→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
b f(x)dx,即 b f(x)dx= lim n b a f(ξ i),a 与 b 分别叫做 积分下限 与 积分上限 ,区间
0
0
π
0
π
故选 B.
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(2)(2018·江西高三年级阶段性检测考试(二)) 1 |x2-4|dx 等于( ) 0
(A)7 (B) 22 3
(C) 11 3
(D)4
解析:(2) 1 |x2-4|dx= 1 (4-x2)dx=(4x- 1 x3) | 1 =4- 1 = 11 .故选 C.
(A)2 3 (C) 32
3
(B)2-2 3 (D) 35
3
解析:直线 y=2x 与抛物线 y=3-x2 交点分别为(-3,-6)和(1,2).设阴影部分的面积为
S,则 S= 1 (3-x2-2x)dx=(3x- x3 -x2)︱ 1 = 32 ,故选 C.
3
3
3 3
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a
a
n n x i 1
[a,b]叫做 积分区间 ,函数 f(x)叫做 被积函数 , x 叫做积分变量, f(x)dx 叫做被积式.
︱高中总复习︱一轮·理数
(2)定积分的几何意义
①当 f(x)≥0 时,定积分 b f(x)dx 表示直线 a
x=a,x=b(a≠b),y=0
和曲线 y=f(x)所
0
23
06
答案: 1 6
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考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 定积分的计算
【例 1】 (1) 2 (sin x+ 4 x2 )dx 等于( ) 2
(A) π 2
(B)π+2cos 2
(C)2π+2cos 2
(D)2π
︱高中总复习︱一轮·理数
解析:(1)因为 2 (sin x+ 4 x2 )dx= 2 sin xdx+ 2 4 x2 dx,
0
4
︱高中总复习︱一轮·理数
4.曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为
.
y x2 , x 0, x 1,
解析:如图,阴影部分的面积即为所求.解

y

x,
得

y

0,
或

y

1,
则
A(1,1).故所求面积 S= 1 (x-x2)dx=( 1 x2- 1 x3)︱ 1 = 1 .