二次根式化简的方法与技巧

二次根式化简的方法与技巧
二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简
②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式
ab b a =⋅ ()0,0≥≥b a
③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项．
⑤运算结果一般要化成最简二次根式．
化简二次根式的常用技巧与方法
所谓转化：解数学题的常用策略。

常言道：“兵无常势，水无常形。

”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。

二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。

现举例说明一些常见二次根式的转化策略。

一、巧用公式法
例1.计算
b a b a b
a b
a b a +-+
-+-2
分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为
a 与
b 成立，且分式也成立，故有,0,0>>b a )0(≠-b a 而同时公式：
()),)((,222222
b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以帮助我们将
b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

解：原式
()b
a b a b a b
a b a b a b
a b a 22)()()
)((
2
-=-+-=+-++
--=
二、适当配方法。

例2．计算：32163223-+--+
分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有321-+其分子必有含321-+的因式，于是可以发现()
2
21223+=+，且()
21363+=+，
通过因式分解，分子所含的321-+的因式就出来了。

解：原式
()(
)
2
1321)
21(3)21(3216
32232+
=-++-+=-++-+=
三、正确设元化简法。

例3：化简5326
2++
分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，
,6,3,5===ab b c 正好与分子吻合。

对于分子，我们发现222c b a =+所以
0222=-+c b a ，于是在分子上可加0222=-+c b a ，因此可能能使分子也有望化为含
有c b a ++因式的积，这样便于约分化简。

解：设,5,3,2c b a === 则,622=ab 且02
2
2
=-+c b a
所以：
()()()5
322222
222-+=
-+=++-+++=++-+=
++-++=
++=
c b a c
b a
c b a c b a c b a c b a c b a c b a ab c
b a ab
四、拆项变形法
例4，计算(
)()
76655627++++
分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。

通过约分化简，如转化成：
b
a a
b b a 1
1+=+再化简，便可知其答案。

解：原式
()(
)
(
)()
(
)(
)(
)(
)
7
665767
6656576657
665+
+++
+
++=
+++++=
5
76
756761651-
=
-
+
-=++
+=
五、整体倒数法。

例5、计算
(
)(
)
13251
33
5++++
分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：b
a a
b b a 1
1+=+，化简但还要通过折项变形，使其具有公因式。

解：设()(
)1
3251
335A ++++=
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
2
152
3
52
1
33
51
13113351
3351
33
513251
-=
-+
-=++
+=+++++=++++=A
则
2
1
51
52
A +=-=
所以 借用整数“1”处理法。

例6、计算
6
323
2231++-+
分析：本例运用很多方面的知识如： (
)(
)
()b a --+=
.232
31和×
()22b a b a -=+，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。

解：原式
(
)()()(
)
(
)
6
322
36232
36323
2232323++-+-+=
++-+-+=
2
3623)
623)(23(-
=
+++--=
六．恒等变形整体代入结合法
例7：已知 )57(21x +=
, )57(2
1
-=y ，求下列各式的值。

（1）2
2
y xy x +-; (2)
x
y
y x + 分析：本例运用整体代入把x+y 与xy 的值分别求出来，再运用整体代入法将x+y 与xy 代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y 与xy 的因式， 如xy y x y xy x 3)(2
2
2
-+=+-，然后再约分化简。

解：因为: )57(21x +=
，)57(2
1
-=y ， 所以：2
1
,7==+xy y x 。

2
112
1
3)7(3)(2222=⨯
-=-+=+-xy
y x y xy x
()12
2
12
1
2)7(
222
22=⨯
-=-+
=
+=
+xy
xy y x xy y x x y y x
七、降次收幂法：
例8、已知32+=x ，求7
25
232-+-x x x 的值。

分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。

如例题中把多项式
142-+x x 转化为4x －1，这样进行低次幂运算就容易了。

解：由32+=x ,得32=-x 。

3)2(2=-x 整理得：2
x = 4x －1。

所以：
3
10 222
)3
2(
10
5 2
)1 4(35
2 32
+ =
+ +
=
+
-
-
=
+
-
x x
x
x
3
3
2
7
)3
2(2
7
2-
=
-
+
=
-
x
所以原式
33
74 423
3 23
10 22
+ =-
-
=
二次根式的化简与计算的策略与方法
1．公式法
【例1】计算①；②
【解】①原式
②原式
【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．
2．观察特征法
【例2】计算：
【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可
以简解如下：
【解】原式．
【例3】把下列各式的分母有理化．
（1）；（2）（）
【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：
【解】①原式
【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：【解】②原式
3．运用配方法
【例4】化简
【解】原式
【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“”
4．平方法
【例5】化简
【解】∵
∴．
【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题，一般用平方法都可以进行化简
5．恒等变形公式法
【例6】化简
【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式，则使运算简化．
【解】原式
6．常值换元法
【例7】化简
【解】令，则：
原式
7．裂项法
【例8】化简
【解】原式各项分母有理化得
原式
【例9】化简
【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：
【解】原式
8．构造对偶式法
【例10】化简
【解】构造对偶式，于是没
，
则，，
原式
9．由里向外，逐层化简
【解】∵
而
∴原式
【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理．
10．由右到左，逐项化简
【例11】化简
【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简．
【解】原式
．
【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的．。