概率论与数理统计答案 浙江大学 张帼奋 主编

第一章 概率论的基本概念
注意： 这是第一稿（存在一些错误）
1解：该试验的结果有9个：（0，a ），（0，b ），（0，c ），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ）。

所以，
（1）试验的样本空间共有9个样本点。

（2）事件A 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。

即A 所包含的样本点为（0，a ），（1，a ），（2，a ）。

（3）事件B 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。

即B 所包含的样本点为（0，a ），（0，b ），（0，c ）。

2、解 （1）AB BC AC 或ABC ABC ABC ABC ；
（2）AB
BC
AC
（提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）； （3）ABC ABC ABC ；
（4）A
B C 或ABC ；
（提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生）
； 3（1）错。

依题得()()()()0=-+=B A p B p A p AB p ,但空集≠B A ，故A 、B 可能相容。

（2）错。

举反例 （3）错。

举反例
（4）对。

证明：由()6.0=A p ,()7.0=B p 知
()()()()()3.03.1>-=-+=B A p B A p B p A p AB p ,即A 和B 交非空，故A 和B 一定相容。

4、解
（1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为：
()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+
(2) A B ， 都不发生的概率为：
()1()10.90.1P A B P A B =-=-=；
（3）A 不发生同时B 发生可表示为：A B ，又因为A B ，不相容，于是
()()0.6P A B P B ==；
5解：由题知()3.0=BC AC AB p ,()05.0=ABC P .
因()()()()()ABC p BC p AC p AB p BC AC AB p 2-++= 得，
()()()()4.023.0=+=++ABC p BC p AC p AB p
故A,B,C 都不发生的概率为
()
()C B A p C B A p -=1
()()()()()()()()[]ABC p BC p AC p AB p C p B p A p +++-++-=1 ()05.04.02.11+--= 15.0=.
6、解 设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”} 若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：
810，抽不到红球的概率是：210
，则 （1）88
()0.641010
P A =
⨯=； （2）88
()210.321010
P B =⨯⨯-=（）；
（3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：
8
()0.810
P C =
= 若是不放回抽样，则
（1）2821028
()45
C P A C ==；
（2）11822
1016
()45C C P B C ==； （3）111187282
104
()5
A A A A P C A +==。

7解：将全班学生排成一排的任何一种排列视为一样本点，则样本空间共有!30个样本点。

（1）把两个“王姓”学生看作一整体，和其余28个学生一起排列共有!29个样本点，而两个“王姓”学生也有左右之分，所以，两个“王姓”学生紧挨在一起共有!292⋅个样本点。

即两个“王姓”学生紧挨在一起的概率为151
!
30!292=
⋅。

（2）两个“王姓”学生正好一头一尾包含!282⋅个样本点，故
两个“王姓”学生正好一头一尾的概率为4351!
30!282=
⋅。

8、解
（1）设A ={“1红1黑1白”}，则
1112323
712
()35
C C C P A C ==； （2）设B ={“全是黑球”}，则
33371
()35
C P B C ==
； （3）设C ={第1次为红球，第2次为黑球，第3次为白球”}，则
2322
()7!35
P C ⨯⨯=
=。

9解：设{}
号车配对第i i =A ,92,1i ，，
⋯=.
若将先后停入的车位的排列作为一个样本点，那么共有!9个样本点。

由题知，出现每一个样本点的概率相等，当i A 发生时，第i 号车配对，其余9个号可以任意
排列，故（1）
()!9!
8i =
A p 。

（2）1号车配对，9号车不配对指9号车选2~8号任一个车位，其余7辆车任意排列，共有
!77⋅个样本点。

故
()
727
!9!7791=⋅=
A A p .
(3)
()()
()
9191829821A A p A A A A p A A A A p =，
(
)9
182A A A A p 表示在事件：已知1号和
9号配对情况下，2~8号均不配对，问题可以转化为2~8号车随即停入2~8号车位。

记{}号车配对第1i +=i B ，
72,1i ，，⋯=。

则
()()
()
717191821B B p B B p A A A A p -==。

由上知，()71!7!6==
i B p ，()421!7!5==j i B B p ，（j i <），()2101
!7!4==k j i B B B p ，（k j i <<）
……
()!7171=B B p 。

则()
()∑=-=7
7
1!1i i
i B B p 故
()()
()()()∑∑==-=-==707091719821!1721!1!9!7i i
i i i i A A p B B p A A A A p 。

10、解 由已知条件可得出:
()1()10.60.4P B P B =-=-=；
()()()0.70.50.2P AB P A P AB =-=-=；
()()()()0.9P A B P A P B P AB =+-=；
（1）(())()7
(|=
=()
()9
P A
A
B P A P A A
B P A
B P A B =
）；
（2）()()()0.40.20.2P AB P B P AB =-=-=
()(+()()0.5P A B P A P B P AB =-=）
于是 (())()2
(|=
=5()()P A
A
B P AB P A A
B P A B P A B =
）；
（3）(())
()2
(|)()
()9
P AB
A B P AB P AB A B P A
B P A B =
=
=。

11解：由题知()5.0=A p ,()3.0=B p ,()4.0=C p ,()2.0=A B p ,()
6
.0=C B A p
则
()()()(
)()C
p C C B A p C p C C B A p C B A p +=
()(
)()C
p C B A p C p +=
()()()()
C p C B A p B A p C p -+=
()()()()()()
C p C B A p AB p B p A p C p --++=
()()()()()()()
C p C B A p A p A B p B p A p C p --++=
86.0=
12、解 设A ={该职工为女职工}，B ={该职工在管理岗位}，由题意知，
()0.45P A =，()0.1P B =，()0.05P AB =
所要求的概率为
（1）()1
(|)()9
P AB P B A P A =
=； （2）()()()1
(|)()()2
P AB P B P AB P A B P B P B -===。

13、解：
()()()()()()()
5522221122===++===+=====X p X Y p X p X Y p X p X Y p Y p
51
51514151315121510⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 30077=
14、解 设A ={此人取的是调试好的枪 }，B ={此人命中}，由题意知：
3()4P A =，3(|)5P B A =，1
(|)20
P B A =
所要求的概率分别是：
（1）37
()()(|)()(|)80
P B P A P B A P A P B A =+=； （2）()()(|)1
(|)()()37
P AB P A P B A P A B P B P B ===。

15
解：设{}年以内入市时间在11=A ，{}
年
年以上不到入市时间在412=A ，
{}
年以上入市时间在43=A ，{}
股民赢=1B ，{
}股民平=2B ，{}股民亏=3B 则
()1
.011=A B p ,
()2
.012=A B p ,
()7
.013=A B p ,
()2
.021=A B p ,
()3
.022=A B p ,
()5.023=A B p ,
()4.031=A B p ,
()4.032=A B p ,
()2
.033=A B p
(1)
()()()()()()()
3312211111A p A B p A p A B p A p A B p B p ++=
22.0=
（2）
()()()33131B p B A p B A p =
()()
()()()()()()
333223113113A p A B p A p A B p A p A B p A p A B p ++=
538.0137
≈=
16、解 设A ，B 分别为从第一、二组中取优质品的事件，C ，D 分别为第一、二次取到得产品是优质品的事件，有题意知：
10()30P A =
，15()20
P B = （1） 所要求的概率是：
1113()()()0.54172224
P C P A P B =
+=≈ （2）由题意可求得：13
()()24
P D P C ==
120101515
()0.21362302922019P CD =⨯⨯+⨯⨯≈
所要求的概率是：
()2825
(|)0.3944()7163
P CD P C D P D =
=≈。

17解：（1）第三天与今天持平包括三种情况：第2天平，第3天平；第2天涨，第3天跌；
第2天跌，第3天涨。

则
1
221331βαααγα++=p
（2）第4天股价比今天涨了2个单位包括三种情况：第2天平，第3、4天涨；第2、4天涨，第3天平；第2、3天涨，第4天平。

则
32
111322αααγα+=p 。

19(1)对。

证明：假设A,B 不相容，则()0=AB p 。

而()0>A p ，()0>B p ，即()()0>B p A p ，故()()()B p A p AB p ≠，即A,B 不相互独立。

与已知矛盾，所以A,B 相容。

（2）可能对。

证明：由()6.0=A p ,()7.0=B p 知 ()()()()()3.03.1>-=-+=B A p B A p B p A p AB p ,
()()42.07.06.0=⨯=B p A p ,
()AB p 与()()B p A p 可能相等，所以A,B 独立可能成立。

（3）可能对。

（4）对。

证明：若A,B 不相容，则()0=AB p 。

而()0>A p ，()0>B p ，即()()0>B p A p ，故()()()B p A p AB p ≠，即A,B 不相互独立。

18、证明：必要条件
由于A ，B 相互独立， 根据定理1.5.2知，A 与B 也相互独立，于是：
(|)()P A B P A =，(|)()P A B P A =
即 (|)(|)P A B P A B = 充分条件 由于()(|)()P AB P A B P B =
及()()()
(|)1()()
P AB P A P AB P A B P B P B -==-，结合已知条件，成立 ()()()
()1()
P AB P A P AB P B P B -=- 化简后，得：
()()()P AB P A P B =
由此可得到，A 与B 相互独立。

20、解 设i A 分别为第i 个部件工作正常的事件，B 为系统工作正常的事件，则()i i P A p = （1）所要求的概率为：
123
24
134234112312413423412341231241342341234
()()
()()()()3()3P B P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A P A A A A p p p p p p p p p p p p p p p p α===+++-=+++- （2） 设C 为4个部件均工作正常的事件，所要求的概率为：
1234
(|)p p p p P C B βα
==。

（3）22
3(1)C γαα=-。

21解：记
{}
次出现正面第i =i C ，⋯⋯=2,1i
（1）
()()()()
()()1
11111----===i i i i i i p p C p C p C p C C C p A p
()()(
)
()p p C C C C p C C C C p B p -=+=12
432143214 （2）()
()()()()
p p p p p A p A B p A B p -=-==112311414
（3）()()()()()p p p p p B p A B p B A p =--==112341441
22、解 设A ={照明灯管使用寿命大于1000小时}，B ={照明灯管使用寿命大于2000小时}，C ={照明灯管使用寿命大于4000小时}，由题意可知
()0.95P A =，()0.3P B =，()0.05P C =
（1） 所要求的概率为：
()0.051
(|)()0.9519
P AC P C A P A =
==；
（2）设i A 分别为有i 个灯管损坏的事件（0,1,2,3i =），α表示至少有3个损坏的概率，
则
[10
10
0()()(0.3)0.0000059P A P B ⎤===⎦ [91110()()(1())0.0001378P A C P B P B ⎤=-=⎦ [822210()()(1())0.0014467P A C P B P B ⎤=-=⎦
所要求的概率为：
0121()()()0.9984P A P A P A α=---=
23解：设{}系统能正常工作=A ，{}系统稳定=B ，{}
系统外加电压正常=C ，
则()99.0=C p ,()9.0=C B p ,()2.0=C B p ,()8.0=B A p ,()9.0=B A p
（1）()()()()()B p B A p B p B A p A p +=
()()()()()[]()[]()()()()[]C p C B p C p C B p B A p C p C B p C p C B p B A p +-++=1
()()()()[]01.02.0199.09.019.0101.02.099.09.08.0⨯-+⨯-⨯-+⨯+⨯⨯=
191=
（2）记
{}
个元件正常工作第i =i A ，则
()191i =
A p
()()
51511A A p A A p -=
()()
511A p A p -=
5
19111⎪
⎭⎫ ⎝⎛
--= 9984.0≈
第二章 随机变量及其概率分布
注意： 这是第一稿（存在一些错误）
1解：X 取值可能为2,3,4,5,6，则X 的概率分布律为： ()37
1235
p X ==
=
； ()37
8335p X ===
； ()37
9435p X ===
； ()37
8535p X ===
； ()37
167
p X ==
=。

2、解 （1）由题意知，此二年得分数X 可取值有0、1、2、4，有
(0)10.20.8P X ==-=， (1)0.2(10.2)0.16P X ==⨯-=， (2)0.20.2(10.2)0.032P X ==⨯⨯-=， (4)0.20.20.20.008P X ==⨯⨯=，
从而此人得分数X 的概率分布律为： X 0 1 2 4 P 0.8 0.16 0.032 0.008 （2）此人得分数大于2的概率可表示为：
(2)(4)0.008P X P X >===；
(3)已知此人得分不低于2，即2X ≥，此人得分4的概率可表示为：
(4)0.008
(4|2)0.2(2)0.0320.008
P X P X X P X ==≥=
==≥+。

3解：（1）没有中大奖的概率是(
)
71110
n
p -=-；
（2）每一期没有中大奖的概率是()
10
7
110p -=-， n 期没有中大奖的概率是
()
1072110n
n p p -==-。

4、解 （1）用X 表示男婴的个数，则X 可取值有0、1、2、3，至少有1名男婴的概率可表示为：
3(1)1(1)1(0)1(10.51)0.8824P X P X P X ≥=-<=-==--=；
（2）恰有1名男婴的概率可表示为：
123(1)0.51(10.51)0.3674P X C ==⨯-=；
（3）用α表示第1，第2名是男婴，第3名是女婴的概率，则
20.51(10.51)0.127α=⨯-=；
（4）用β表示第1，第2名是男婴的概率，则
20.510.260β==。

5解：X 取值可能为0,1,2,3；Y 取值可能为0,1,2,3
()()()()1230111p x p p p ==---，
()()()()()()()1232133121111111p x p p p p p p p p p ==--+--+--， ()()()()1231323212111p x p p p p p p p p p ==-+-+-， ()1233p x p p p ==。

Y 取每一值的概率分布为：
()10p y p ==， ()()1211p y p p ==-，
()()()123211p y p p p ==--， ()()()()1233111p y p p p ==---。

6、解 由题意可判断各次抽样结果是相互独立的，停止时已检查了X 件产品，说明第X 次抽样才有可能抽到不合格品。

X 的取值有1、2、3、4、5，有
1()(1),1,2,3,4k P X k p p k -==-=， 4(5)(1)P X p ==-；
（2）( 2.5)(1)(2)(1)(2)P X P X P X p p p p p ≤==+==+-=-。

7解：（1）()
()
()
3
4
5
3
2455
5
5
10.10.110.10.110.10.991α=
-+
-+
-=，
()()2
33445555510.210.20.210.20.20.942β=--+-+=。

（2）诊断正确的概率为0.70.30.977p αβ=+=。

（3）此人被诊断为有病的概率为()0.70.310.711p αβ=+-=。

7、解 （1）用X 表示诊断此人有病的专家的人数，X 的取值有1、2、3、4、5。

在此人有病的条件下，诊断此人有病的概率为：
3324455555(3)(3)(4)(5)
(10.1)0.1(10.1)0.1(10.1)0.991
P X P X P X P X C C C α=≥==+=+==-⋅+-⋅+-=
在此人无病的条件下，诊断此人无病的概率为：
0514232555(3)(0)(1)(2)
(10.2)(10.2)0.2(10.2)0.20.942
P X P X P X P X C C C β=<==+=+==-+-+-=
（2）用γ表示诊断正确的概率，诊断正确可分为两种情况：有病条件下诊断为有病、无病条件下诊断为无病，于是：
0.70.30.977γαβ=+=；
（3）用η表示诊断为有病的概率，诊断为有病可分为两种情况：有病条件下诊断此人为有病、无病条件下诊断此人为有病，于是：
0.70.3(1)0.711ηαβ=+⨯-=；
8、解 用A 表示恰有3名专家意见一致，B 表示诊断正确的事件，则
()0.7(3)0.3(2)0.112P AB P X P X =⨯=+⨯==
()0.7(32)0.3(23)0.1335P A P X X P X X =⨯==+⨯===或或
所求的概率可表示为：
()
(|)0.842()
P AB P B A P A =
=
9解：（1）由题意知，候车人数X k =的概率为()!
k
e p X k k λλ-==，
则()0p X e λ-==，
从而单位时间内至少有一人候车的概率为1p e λ
-=-，所以 4.511e
e λ
---=-
解得 4.5λ=
则() 4.54.5!
k
e p X k k -==。

所以单位时间内至少有两人候车的概率为()() 4.51011 5.5p p X p X e -=-=-==-。

（2）若 3.2λ=，则() 3.23.2!
k
e p X k k -==，
则这车站就他一人候车的概率为 3.2
3.2
1
p e =
-。

10、解 有题意知，()X t πλ，其中1
20
λ=
（1）10：00至12：00期间，即120t =，恰好收到6条短信的概率为：
()6
6
66
6()324(6)0.1616!6!5
t e e t P X e λλ---⋅-=====；
（2）在10：00至12：00期间至少收到5条短信的概率为：
4
4
6
(5)1(5)1()
()11115!k t k
k P X P X P X k e t e k λλ=--=≥=-<=-==-=-∑∑
于是，所求的概率为：
()
6
324
(6|5)5115P X X e =≥=
-。

11、解：由题意知，被体检出有重大疾病的人数近似服从参数为1
300031000
np λ==⨯
=的泊松分布，即()33!
k
e p X k k -==，0,1,2,
k =。

则至少有2人被检出重大疾病的概率为
()()33101130.801p p X p X e e --=-=-==--≈。

12、解 （1）由于11
{01)(23)122
P X P X <≤+≤≤=
+=，因此X 的概率分布函数为： 0
00121
()()1221
232
13x x x F x P X x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤=≤<⎨⎪-⎪<<⎪⎪
≥⎪⎩
，
（2） 2.513{ 2.5}24
P X -≤==
13、解：（1）由
()()2
2041f x dx c x dx ∞
-∞
=-=⎰
⎰解得3
16
c =。

（2）易知0x ≤时，()0F x =；2x ≥时，()1F x =； 当02x <<时，()()()()3
20
012341616
x
x
x x F x f y dy y dy -=
=-=
⎰
⎰， 所以，X 的分布函数为()()30,0,12,02,161 2.x x x F x x x ≤⎧⎪-⎪=<<⎨
⎪
≥⎪⎩
（3）()()()()111111116
p X F F F -<<=--==。

（4）事件{}11X -<<恰好发生2次的概率为
()()()3
2
3
2
225
5
11111111110.144216
16p p X p X ⎛⎫
=
-<<--<<=
-= ⎪⎝⎭。

14、解 （1）该学生在7：20过X 分钟到站，~(0,25)X U ，由题意知，只有当该学生在7：20~7：30期间或者7：40~7：45期间到达时，等车小时10分钟，长度一共15分钟，所以：
153{={10}255
P P X <=该学生等车时间小于10分钟}=
； （2）由题意知，当该学生在7：20~7：25和7：35~7：45到达时，等车时间大于5分钟又小于15分钟，长度为15分钟，所以：
153{{515}255
P P X <<=该学生等车时间大于5分钟又小于15分钟}==
；
（3）已知其候车时间大于5分钟的条件下，其能乘上7：30的班车的概率为：
{5}
{|>5{5}
P X P X P X >>该学生乘上7:30的班车且该学生乘上7:30的班车}=
其中 51{5}=
=255
P X >该学生乘上7:30的班车且，5+154
{5}=
=255P X >，于是 1
1
5{|>5==445
P X 该学生乘上7:30的班车}。

15、解：由题知，X 服从区间()1,3-上的均匀分布，则X 的概率密度函数为
()1
,13,
40,
X x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他。

在该区间取每个数大于0的概率为
3
4
，则 {}3144k n k
k n
p Y k -⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,
,k n =。

16、解（1）
2.5( 2.5)(
)(
2.5)
1(
2.5)1( 2.5)
(2.5)0.9938
X X P X P P X P μ
μ
μ
σσ
σ
μ
σ
--->=>
=>--=-≤-=-Φ-=Φ=
（2）
3.52( 3.52)(
)(
1.48)
( 1.48)1(1.48)10.93060.0694
X X P X P P μ
μ
μ
σ
σ
σ
---<=<
=<-=Φ-=-Φ=-=
（3）
46(46)(
)(11)
(1)(1)2(1)11.682610.6826
X X P X P P μ
μ
μ
μ
σ
σ
σ
σ
----<<=<
<
=-<
<=Φ-Φ-=Φ-=-=
17、解：他能实现自己的计划的概率为
()()()3 2.331311 1.40.08080.5p x p x -⎛⎫
≥=-≤=-Φ=-Φ= ⎪⎝⎭。

18、解 （1）2
~(170,5.0)X N ，有题意知，该青年男子身高大于170cm 的概率为：
170(170)(
)
(
0)
1(0)0.5
X P X P X P μ
μ
σ
σ
μ
σ
-->=>
-=>=-Φ=
（2）该青年男子身高大于165cm 且小于175cm 的概率为：
165175(165175)()(11)
(1)(1)2(1)11.682610.6826
X X P X P P μμμμ
σσσσ
----<<=<<=-<<=Φ-Φ-=Φ-=-=
（3）该青年男子身高小于172cm 的概率为：
172(172)(
)(
0.4)
(0.4)0.6554
X X P X P P μ
μ
μ
σ
σ
σ
---<=<
=<=Φ=。

19、解：系统电压小于200伏的概率为()()12002202000.825p p X -⎛⎫
=≤=Φ=Φ- ⎪⎝⎭
， 在区间[]200,240的概率为
()()()22402202002202002400.80.82525p p X --⎛⎫⎛⎫
=≤<=Φ-Φ=Φ-Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
大于240伏的概率为()()3240220240110.825p p X -⎛⎫
=≥=-Φ=-Φ
⎪⎝⎭。

（1）该电子元件不能正常工作的概率为1230.10.0010.20.064p p p α=++=。

（2）3
0.20.662p βα
=
=。

（3）该系统运行正常的概率为()()23
2
3
110.972θααα=-+-=。

20、解 （1）有题意知：
()()12()P Z a P a Z a P Z a α<=-<<=-≥=
于是 1()2
P Z a α
-≥=
， 从而得到侧分位点 (1)/2a z α-=； （2）
()()()()2()P Z b P Z b Z b P Z b P Z b P Z b α>=><=>+<=>=或，
于是 ()2
P Z b α
>=
，
结合概率密度函数是连续的，可得到侧分点为 /2b z α=； （3）
()1()P Z c P Z c α<=-≥=
于是 ()1P Z c α≥=-，从而得到侧分位点为 1c z α-=。

21、解：由题意得，()11152x p X x -⎛⎫
<=Φ
⎪⎝⎭
， ()2112151522x x p x X x --⎛⎫⎛⎫
<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()221512x p X x -⎛⎫
>=-Φ ⎪⎝⎭
，
则121215151515:():(1)50:34:162222x x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
ΦΦ-Φ-Φ=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
解得115x =，217x =。

22、解 （1）由密度函数的性质得：
2
1()x f x dx a e dx ∞
∞
--∞
-∞
==⋅=⎰
⎰所以
a =；
（2）
20.511
()1()122
x P X P X a e dx --∞>=-≤=-⋅⎰
令
x =
，上式可写为：
22
1()1110.7610.2392x P X dx -
-∞
>==-Φ=-=。

23解：（1）易知X 的概率密度函数为()8
1,0,
80,0x
e x
f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩。

（2）A 等待时间超过10分钟的概率是()() 1.25
10
10p X f x dx e
∞
->==⎰。

（3）等待时间大于8分钟且小于16分钟的概率是
()()16
128
816p X f x dx e e --<<==-⎰。

24、解 用X ，Y 分别表示甲、乙两厂生产的同类型产品的寿命，用Z 表示从这批混合产品中随机取一件产品的寿命，则该产品寿命大于6年的概率为：
1
1
366621(6)(6)((6)(110.40.6360.40.60.2749
x x P Z P X P P Y P e dx e dx
e e --∞
∞-->=>⋅+>⋅=+=+=⎰⎰取到甲厂的产品)取到乙厂的产品)
（2）该产品寿命大于8年的概率为：
11
3
68884
3
3
(8)(8)((8)(110.40.63
60.40.60.1860
x x P Z P X P P Y P e dx e dx
e e
--∞∞-
->=>⋅+>⋅=+=+=⎰
⎰取到甲厂的产品)取到乙厂的产品)
所求的概率为：
(8)
(8|6)0.6772(6)
P Z P Z Z P Z >>>=
=> 。

25、解：（1）由题知，()0.20.2,0,
0,
0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩。

（2）{}()()12510105p x F F e e --<<=-=-.
（3）每天等待时间不超过五分钟的概率为{}()1551p x F e -≤==-， 则每一周至少有6天等待时间不超过五分钟的概率为
{}{}(){}()()6
6
7
6
117
5155161p p x p x p x e e --=
≤-≤+≤=-+。

26、解 （1）这3只元件中恰好有2只寿命大于150小时的概率α为：
222233[(150)](150)[1(150)](150)C P X P X C P X P X α=>≤=-≤≤，
其中 150
0.010
(150)0.010.7769x P X e dx -≤=
=⎰
于是 2
3[1(150)](150)0.1160P X P X α=⋅-≤≤=；
（2）这个人会再买，说明这3只元件中至少有2只寿命大于150小时，这时所求的概率β为：
223333[(150)](150)[(150)]0.1271C P X P X C P X β=>≤+>=。

27、解：依题知，Y 的分布律为
()()21020.70.490p Y p X =====，
()()()1
2830.710.70.70.294p Y p X ====-⋅=，
()()()()()()2
3
113424450.710.70.70.710.70.70.216
p Y p X p X p X ==≥==+==-⋅+-⋅=
28、解 （1）由密度函数的性质可得：
2
21
1()(4)9f x dx c x dx c ∞
-∞
-==-=⎰
⎰
于是 19
c =
（2）设X ，Y 的分布函数分别为：()X F x ，()Y F x ，Y 的概率密度为()Y f x ，有
11
()()(3)()()33
Y X F x P Y x P X x P X x F x =≤=≤=≤=
那么， 2
1[4],36
11()()273330,Y x x f x f x ⎧⎛⎫
--<<⎪ ⎪==⎨⎝⎭
⎪⎩
其他；
（3）设Z 的分布函数为：()z F x 。

当0x ≤，显然()0z F x =。

当0x >，有
()()()()()()z X X F x P Z x P X x P x X x F x F x =≤=≤=-<<=--， 于是有 2
2
2(4),0191()()()(4),129
0,
2Z x x f x f x f x x x x ⎧-<≤⎪⎪⎪=+-=-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩
从而，Z 的概率密度为： 2
2
2(4),0191()(4),1290,Z x x f x x x ⎧-<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪⎪⎩
其他，
Z 的分布函数为：
3
3
02(12)/27,01
()(1211)/27,121,2Z x x x F x x x x x ⎧⎪-<≤⎪=⎨-+<<⎪⎪≥⎩。

29、解：（1）依题知，()()N t t πλ
当0t ≤时，()0T F t =， 当0t >时，()()()0
1t
t T N t F t f y dy e λ-=
=-⎰
，
所以，T 的概率分布函数为()1,0,
0,
0t T e t F t t λ-⎧->=⎨≤⎩。

（2）
()()()
00000,p T t t T t p T t t T t p T t >+>>+>=
> ()
()
00p T t t p T t >+=>
()
00
t t t e
e λλ-+-=
t
e
λ-=。

30、解 由题意知，~(0,1)X U ，即X 的概率密度为：
1,(0,1)
()0,X x f x ∈⎧=⎨⎩其他
设X ，Y 的分布函数分别为：()X F x ，()Y F y ，其中n
Y X =。

有
0,0()(),[0,1)1,1X x F x P X x x x x <⎧⎪
=≤=∈⎨⎪≥⎩
当0y ≤，显然有()0Y F y =。

当0y >
()()()(0)(0n n Y X F y P Y y P X y P X y P X F =≤=≤=<≤=<≤=
那么 111,01()0,n Y y y f Y n -⎧<<⎪
=⎨⎪⎩
其他。

31解：由题意知，X 的概率分布函数为()0,0,23,0,3231,.2
x x
F x x x ππ
π⎧⎪<⎪
⎪=≤<⎨
⎪⎪
≥⎪⎩ 则()()cos p Y y p X y ≤=≤ ()arccos p X y =≤ ()arccos F y =
()0,1,4arccos ,10,32arccos 1,01,
31, 1.y y y y y y πππ
<-⎧
⎪
-⎪-≤<⎪=⎨
⎪-≤<⎪⎪≥⎩
32、解 由题意知，2
~(,)X N μσ，即X 的概率密度为：
()(
)2
2
/2(),x X f x x μσ--=
<+∞
设X ，Y 的分布函数分别为：()X F x ，()Y F y ，其中2
Y X =。

当0y ≤，显然有()0Y F y =。

当0y >，有
2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-
那么
)(
)
)()
2
2
22/2/20,0
()(],0
Y X X y f Y f f e e
y μ
σμ
σ--
≤⎧⎪
=+=+>。

33解：（1）由题意知，()()2010113ax b dx ax b dx ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩⎰⎰，解得13
16a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩。

（2
）y 2x y =，则
()(
)2
2,00,X Y f y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩
其他。

(
)221,03
0,y y y ⎧+⎪<<=⎨⎪⎩
其他。

34、解 设X ，Y ，Z 的分布函数分别为：()X F x ，()Y F y ，()Z F z 。

由X
Y e =，容易得出：
当0y ≤，有()0Y F y =。

当0y >，有
()()()(ln )X Y F y P Y y P e y P X y =≤=≤=≤，
从而求得Y
的概率密度：()2
ln 20,
0()1(ln ),0y Y X y f y f y y y
-≤⎧⎪=⎨=
>⎪⎩； 又 ln Z X =，于是
()()(ln )()()()()z z z z z Z X X F z P Z z P X z P X e P e X e F e F e =≤=≤=≤=-≤≤=--
从而
()
2
2
1()[()()],z e z z z z
Z X X f z f e f e e e
z -=+-=<∞
第三章 多维随机变量及其概率分布
注意： 这是第一稿（存在一些错误）
1、解 互换球后，红球的总数是不变的，即有6X Y +=，X 的可能取值有：2，3，4，Y 的取值为：2，3，4。

则(,)X Y 的联合分布律为：
(2,2)(2,3)(3,2)(3,4)(4,3)(4,4)0P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ==================
236
(2,4)(4,2)5525
P X Y P X Y ======⋅=
223313
(3,3)555525
P X Y ===⋅+⋅=
由于6X Y +=，计算X 的边际分布律为：
6(2)(2,4)25P X P X Y ===== 13(3)(3,3)25P X P X Y ===== 6(4)(4,2)25
P X P X Y ===== 2解：0.51a b ++= ()1
{}{}{}00,00,10.4P X P X Y P X Y a ====+===+ {}{}{}10,11,0p X Y P X Y P X Y a b +====+===+
因事件{}0X =与事件{}1X Y +=相互独立，则
{}{}{}0,101P X X Y P X P X Y =+===⋅+=,即
()()0.4a a a b =++ ()2
由()1，()2解得0.4
0.1
a b =⎧⎨
=⎩。

3、解 利用分布律的性质，由题意，得 0.10.10.10.11a b c ++++++=
(0,2)(0,1)0.1
{0|2)0.5(2)(1)0.1P Y X P Y X a P Y X P X P X a b
≤<≤=+≤<=
===<=++
{1}0.5P Y b c ==+=
计算可得：0.2a c ==0.3b = 于是X 的边际分布律为：
(1)0.10.6P X a b ==++=
(2)0.10.10.20.4P X c c ==++=+=
Y 的边际分布律为
(1)0.10.3P Y a =-=+=，(0)0.2P Y == (1)0.5P Y b c ==+=
4解：（1）由已知{}{}0,01,20.1p X Y p X Y ======，则
{}{}{}0,221,20.30.10.2p X Y p Y p X Y ====-===-=， {}{}{}{}0,100,00,20.1p X Y p X p X Y p X Y ====-==-===， {}{}{}1,000,00.1p X Y p Y p X Y ====-===，
{}{}{}{}1,111,01,20.4p X Y p X p X Y p X Y ====-==-===。

（2）{}{}{}1
,0,40,1
0,1,04
1
, 2.2k p X Y k p Y k X k p X k ⎧=⎪⎪
==⎪=====⎨=⎪⎪=⎪⎩
5、解 （1）每次抛硬币是正面的概率为0.5，且每次抛硬币是相互独立的。

由题意知，X 的可能取值有：3，2，1，0，Y 的取值为：3，1。

则(,)X Y 的联合分布律为：
(3,1)(2,3)(1,3)(0,1)0P X Y P X Y P X Y P X Y ============
311(3,3)28P X Y ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，2
23113
(2,1)228P X Y C ⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭
2
13113(1,1)228P X Y C ⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭，3
11(0,3)28
P X Y ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ X 的边际分布律为：
3
11(0)28
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2
13113(1)228P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭
22
3
113(2)228
P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，3
11
(3)28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
Y 的边际分布律为：
1(3)(0,3)(3,3)4P Y P X Y P X Y ====+=== 3
(1)(1,1)(2,1)4
P Y P X Y P X Y ====+===
（2）在{1}Y =的条件下X 的条件分布律为：
(0|1)0P X Y ===，(1,1)1
(1|1)(1)2
P X Y P X Y P Y =====
==
(2,1)1
(2|1)(1)2
P X Y P X Y P Y =====
==，(3|1)0P X Y ===
6解：（１）{}{}
{}1
0,110015
p X Y p Y X p X =======
， {}{}{}110,220030p X Y p Y X p X =======， {}{}{}1
0,330015p X Y p Y X p X =======，
{}{}{}7
1,111118p X Y p Y X p X =======，
{}{}{}1
1,221118p X Y p Y X p X =======，
{}{}{}1
1,331118
p X
Y p Y X p X =======。

（２）{}{}{}4110,11,190
p Y p X Y p X Y ====+===
， {}{}{}3820,21,290p Y p X Y p X Y ====+===
， {}{}{}1130,31,390p Y p X Y p X Y ====+===。

（３）{}
{}{}0,16
01141
p X Y p X Y p Y =====
==，
{}{}{}1,135
11141
p X Y p X Y p Y =======。

7、解 （1）已知()!
m
e P X m m λλ-==，0,1,2,3
m =。

由题意知，每次因超速引起的事
故是相互独立的，当0,1,2,3
m =时，
(|)(0.1)(0.9)n
n m n m P Y n X m C -===，0,1,2,
n m =。

于是(,)X Y 的联合分布律为：
(,)()(|)(0.1)(0.9)!
m n n m n m e P X m Y n P X m P Y n X m C m λλ--====⋅===，
（0,1,2,
n m =；0,1,2,3
m =）
（2）Y 的边际分布律为：
0.100
(0.1)()(,)(0.1)(0.9)!!m n n n m n
m m m e e P Y n P X m Y n C m n λλλλ--+∞
+∞
-========∑∑，
(0,1,2,)n =
即~(0.1)Y πλ。

（该题与41页例3.1.4相似）
８解：（１）Y 可取值为0，a ，2a ，
()0,00.6p X Y ===，
()()0,0,20p X Y a p X Y a ======， ()()1,00.31p X Y p ===-， ()1,0.3p X Y a p ===， ()1,20p X Y a ===， ()()2
2,00.11p X Y p ===-，
()()2,0.21p X Y a p p ===-， ()22,20.1p X Y a p ===。

（２）()
()011p Y X p ===-，
()1p Y a X p ===， ()210p Y a X ===。

9、解 (1)由边际分布函数的定义，知
0,0()lim (,)0.3,011,1X y x F x F x y x x →+∞
<⎧⎪
==≤<⎨⎪≥⎩
0,0()lim (,)0.4,011,1Y x y F y F x y y y →+∞
<⎧⎪
==≤<⎨⎪≥⎩
（2）从X 和Y 的分布函数，可以判断出X 和Y 都服从两点分布，则 X 的边际分布律为： X 0 1 P 0.3 0.7
Y 的边际分布律为
Y 0 1
P 0.4 0.6
（3） 易判断出(0,0)0.1P X Y ===，所以(,)X Y 的联合分布律为：
(0,0)0.1P X Y ===
(0,1)(0)(0,0)0.2P X Y P X P X Y ====-=== (1,0)(0)(0,0)0.3P X Y P Y P X Y ====-=== (1,1)(1)(0,1)0.4P X Y P Y P X Y ====-===。

１０解：(1){}{}
{}{}{}
0,11000.35p X Y p Y X p X p B A p A ========，
{}{}{}0,000,10.35p X Y p X p X Y ====-===，
{}{}{}{}{}1,000,0110,00.25p X Y p Y p X Y p Y p X Y ====-===-=-===，
{}{}{}1,111,00.05p X Y p X p X Y ====-===。

（2）当0x <或0y <时，(),0F x y =，
当01x ≤<，01y ≤<时，{}(,)0,00.35F x y p X Y ====，
当01x ≤<，1y ≥时，{}{}(,)0,00,10.7F x y p X Y p X Y ===+===，
当1x ≥，01y ≤<时，{}{}(,)0,01,00.6F x y p X Y p X Y ===+===， 当1x ≥，1y ≥时，(),1F x y =。

所以，(),X Y 的联合分布函数为()0,
00,0.35,01,01,,0.7,01,1,0.6,1,01,1,
1, 1.x y x y F x y x y x y x y <<⎧⎪≤<≤<⎪⎪
=≤<≥⎨⎪≥≤<⎪
≥≥⎪⎩或
11、解 由(,)X Y 的联合分布律可知，在{1}X =的条件下，Y 的条件分布律为：
{0,1}0.255
(0|1){1}0.36P Y X P Y X P X =====
===
{1,1}0.051
(1|1){1}0.36
P Y X P Y X P X =====
===
因此在{1}X =的条件下，Y 的条件分布函数为
|0,0
5(|1),0161,1
Y X y F Y y y <⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪≥⎪⎩
12解：设{},F x y kxy =，(),x y D ∈， 则1x ≥，1y ≥时，0.21k +=，即0.8k =。

所以(),X Y 的联合分布函数为
()0,00,0.80.1,01,01,,0.80.1,01,1,0.80.1,1,01,1,1, 1.x y xy x y F x y x x y y x y x y <<⎧
⎪+≤<≤<⎪⎪
=+≤<≥⎨⎪+≥≤<⎪
≥≥⎪⎩
或
13，解 由(,)f x y 的性质，得：
1
001(,)()6
y
c f x y dxdy dy c y x dx +∞
+∞
-∞
-∞
==-=⎰
⎰
⎰⎰，
所以 6c =
（2）设1{(,)|1,01}D x y x y x y =+≤≤≤≤，则
1
1120
{1}(,)()0.5x
x
D P X Y f x y dxdy dx c y x dy -+≤==-=⎰⎰⎰⎰
（3）设2{(,)|01,0.5}D x y x y X =≤≤≤≤，则
2
1
120
7
{0.5}(,)()8x D P X f x y dxdy dx c y x dy <==-=⎰⎰⎰⎰
14解：（1）由()241
113
x
x
c
c x dydx -=
-=⎰⎰
得3c =。

（2）由（1）知，()()31,12,
,0,x x f x y ⎧-<<=⎨
⎩
其他。

则()()()()()43142,12,31,12,,=0,0,x
x X x x x x dy x f x f x y dy -∞
-∞
⎧⎧--<<-<<⎪
=
=⎨⎨
⎩⎪⎩
⎰⎰
其他。

其他。

()()()()()()2
1
24131,12,231,12,33,31,23,=,23,
20,0,y y Y y y x dx y y f y f x y dx x dx y y ∞
--∞
⎧-<≤⎪⎧-≤<⎪⎪⎪-⎪⎪==-≤<<<⎨⎨⎪⎪
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎩
⎰⎰
⎰其他。

其他。

15、解 （1）由题意，知 当(0,)x ∈+∞，0
()(,)x
x x X f x f x y dy e dy xe +∞
---∞
=
==⎰
⎰
当(,0]x ∈-∞ ，()0X f x =
所以：0,0
(),0
X x x f x xe x -≤⎧=⎨>⎩；
当(0,)y ∈+∞ ，()(,)x y Y y
f y f x y dx e dx e +∞
+∞
---∞
=
==⎰
⎰
当(,0]y ∈-∞， ()0Y f y =
所以 ：0,0
(),0
Y y y f y e y -≤⎧=⎨>⎩；
（2）当0x >时，有
|1
,0(,)(|)()0,Y X X y x
f x y f y x x
f x y ⎧<<⎪==⎨⎪
⎩取其他值
（3）当已知{}X x =时，由|(|)Y X f y x 的公式可以判断出，Y 的条件分布为[0,]x 上的均匀分布。

16解：（1）由()()
()
,Y X X f x y f y x f x =得，
()()()2,0,0,,0,
y x x X Y X e x y f x y f y x f x λλ--⎧⎪>>==⎨⎪⎩其他。

（2）当0x >时，
()()
()
()01,,0,1,0,
0,0,v y y x
y
y x Y X Y X
X f x v e dv y e y F y x dv f v x dv x
f x ---∞
-∞⎧⎧>⎪⎪->====⎨⎨⎪⎪≤⎩≤⎩
⎰⎰
⎰y 0。

y 0。

（3）{}{}{}
111111p Y X p X p Y X e ->===-≤==。

17、解 （1）由题意可得： 当1y <时，2
1
455
()(,)(1)48
Y y
f y f x y dx xdx y +∞
-∞
===-⎰
⎰， 当1y ≥，()0Y f y =
所以 4
5(1),1
8()0,1Y y y f y y ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩
；
（2）当2
1y <时
2
4
4
|524,1(,)5(|)1(1)
()80,X Y Y x x y x f x y f x y y y f y x ⎧⎪=≤<⎪==-⎨-⎪⎪⎩
取其他值 （3）当12y =时，|321
,11(|)15420,X Y x x f x x ⎧≤<⎪
=⎨⎪
⎩取其他值
所以 111
|22
111
32{|}(|)0.822215X Y x P X Y f x dx dx +∞>====⎰⎰。

18解：（1）因()1,01,0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他。

，()1
,1,10,Y X x y f y x x ⎧<<⎪
=-⎨⎪⎩其他。

，
所以()()()1
,01,,10,
X Y X x y f x y f y x f x x ⎧<<<⎪
==-⎨⎪⎩其他。

（2）()()()01
,01,ln 1,01,,10,0,y Y dx y y y f y f x y dx x ∞
-∞
⎧<<⎧--<<⎪
=
==-⎨⎨
⎩⎪⎩
⎰⎰
其他。

其他。

()()()()()1,01,,1ln 10,X Y Y x y f x y x y f x y f y ⎧
-
<<<⎪--==⎨⎪
⎩
其他.
19、解 设事故车与处理车的距离Z 的分布函数为()Z F t ，X 和Y 都服从（0，m ）的均匀分布，且相互独立，由题意知：
当0t m <<时， 222
22
()2()(){}Z m m t mt t F t P Z t P X Y t m m
---=<=-<==， 有
22
0,0
2(),01,Z t mt t
F t t m m t m
<⎧⎪-⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩ 所以Z 的概率密度函数()Z f t 为：
22()
,()00,Z m t f t t m m t -⎧⎪
=≤<⎨⎪⎩取其他值
20解：由题意得()
(),X Y U D ，即()()2
,
,,,0,
x y D f x y π
⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他。

（1）()(
)01,
,01,,0,0,Y y dx y f y f x y dx ∞
-∞
⎧<<<<⎪=
==⎨⎪⎪⎩⎩
⎰
其他。

其他。

（2）{}(
)1/2
1/0
4
11/232Y p Y f y dy π
π
<=
=
=+⎰
⎰
（3）同理得(
)01,0,X x f x <<=⎪⎩
其他。

，
所以()()(,)X Y f x y f x f y ≠⋅，故X 和Y 不独立。

21、解 （1）设X ，Y 的边际概率密度分别为()X f x ，()Y f y ，由已知条件得，
22
()(,)x X f x f x y dy +∞
-
-∞
==
⎰
2
(1)4
()(,)y Y f y f x y dy -+∞
-
-∞
==
⎰
（计算的详细过程见例3.3.5）
（2）有条件概率密度的定义可得：
2
1
[1]3|(,)(|)()y Y X X f x y f y x f x --==
在{0}X =的条件下，Y 的条件概率密度为：
21
[1]3|(|0)y Y X f y --=
（3
）21[1]1
1
3|(1|0}(|0)0.5y Y X P Y X f y dy dy ---∞
≤====⎰
⎰
22解：（1）()(),X f x f x y dy ∞
-∞
=
⎰
()()121[,,]2f x y f x y dy ∞
-∞=+⎰
()()121
=()2
X X f x f x +
22
x -
=
，x <∞
(
)2
2
y Y f y -=，y <∞ （2）当0i ρ=()1,2i =时，1X 与1Y ，2X 与2Y 均独立，则
()()()()()()()2
21211222
1
,[,,]
21
[]2
12X Y X Y x y f x y f x y f x y f x f y f x f y e π
+-=+=+= 所以，()()(,)X Y f x y f x f y =⋅，即X 与Y 独立。

23、解 设T 表示正常工作的时间。

由题意知~()i X E λ（1,2,3i =），即
0,0
()1,0
i i
i X i x i x F x e x λ-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩。

设()T F t 是设备正常工作时间的概率分布函数，()T f t 是概率密度函数。

则 当0t >时
12132312323
()()
(,)(,)(,)2{,,)3(1)2(1)T t t F t P T t P X t X t P X t X t P X t X t P X t X t X t e e λλ--=≤=≤≤+≤≤+≤≤-≤≤≤=--- 当0t ≤时，()0T F t =。

于是：23
0,0
()3(1)2(1),0T t t t F t e e t λλ--≤⎧=⎨--->⎩ 同时可求得：20,0
()6(1),0T t t
t f t e e t λλλ--≤⎧=⎨->⎩。

24解：（1）()()
1n k
k
k
n P z k C p p -==-，0,1,,k n =。

所以，(),Z B n p
（2）
()()
()
()()
()
00
,111,0,,k
l k m l
n k l
l
l k l k l
m n l m n k
k k m n P W k P X Y k P X l Y k l C p p C p p C p p k m n
=--+--=+-+==+====-=--=-=+∑∑
所以，(),W
B m n p +。