2021年高考数学大一轮复习 第九章 第50课 线面平行与面面平行要点导学

2021年高考数学大一轮复习第九章第50课线面平行与面面平行要点导学线面平行的判定与证明
如图(1),在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF 与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF,求证:DE∥平面BCF.
图(1) 图(2)(例1)
[思维引导]将平面图形折成空间图形要弄清折前折后不变的关系,如=.
[证明]在等边三角形ABC中,AD=AE,
所以=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.
因为DE⊄平面BCF,BC平面BCF,
所以DE∥平面BCF.
(xx·山东卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC 的中点,求证:AP∥平面BEF.
(变式1)
[证明]设AC∩BE=O,连接OF,CE.
由于E为AD的中点,
AB=BC=AD,AD∥BC.
所以AE∥BC,AE=AB=BC,
因此四边形ABCE为菱形,
所以O为AC的中点.
又F为PC的中点,
因此在△PAC中,AP∥OF.
又OF平面BEF,AP⊄平面BEF,
所以AP∥平面BEF.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=2,CD=3,点M,N分别是PA,PB的中点.
(变式2)
(1) 求证:MN∥平面PCD;
(2) 求证:四边形MNCD是直角梯形.
[证明](1) 因为点M,N分别是PA,PB的中点,
所以MN∥AB.
因为CD∥AB,所以MN∥CD.
又因为CD 平面PCD,MN ⊄平面PCD,
所以MN∥平面PCD.
(2) 因为MN=AB=1,ED=3,
所以MN≠CD,又MN∥CD,
所以四边形MNCD是梯形.
因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD,
又因为PD⊥底面ABCD,CD平面ABCD,
所以CD⊥PD,又AD∩PD=D,
所以CD⊥平面PAD.
因为MD平面PAD,所以CD⊥MD,
所以四边形MNCD是直角梯形.
线面平行的性质的应用
(xx·泰州模拟改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E是PC的中点,F为线段AC上一点.若EF∥平面PBD,求的值.
(例2)
[思维引导]通过线面平行的性质,将空间的问题转化到一个平面PAC中,通过EF∥PO来确定点F的位置,求出的值.
[解答]设AC∩BD=O,连接PO.
因为EF∥平面PBD,底面ABCD是正方形,平面PBD∩平面PAC=PO,且EF平面PAC,所以EF∥PO,
又E是PC的中点,所以OF=FC,AF=3FC,
即=3.
在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,且四边形EFGH为平行四边形,求证:AC ∥平面EFGH.
(变式)
[证明]如图,因为四边形EFGH是平行四边形,所以EF∥HG.
又HG平面ACD,EF⊄平面ACD,
所以EF∥平面ACD.
又EF平面ABC,平面ABC∩
平面ADC=AC,所以EF∥AC.
又EF平面EFGH,AC⊄平面EFGH,
所以AC∥平面EFGH.
面面平行的判定
(xx·江苏模拟)如图,在四棱锥E-ABCD中,△ABD为正三角形,EB=ED,且AB⊥BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平面DMN∥平面BEC.
(例3)
[思维引导]分别证MN∥平面BCE和BC∥平面BCE,再利用面面平行的性质定理进行证明.
[证明]因为N是AB的中点,△ABD为正三角形,
所以DN⊥AB.
因为BC⊥AB,所以DN∥BC.
因为BC平面BCE,DN⊄平面BCE,所以BC∥平面BCE.
又因为M为AE的中点,所以MN∥BE.
因为MN⊄平面BCE,BE平面BCE,所以MN∥平面BCE,
因为MN∩DN=N,所以平面MND∥平面BCE.
[精要点评]在利用面面平行的性质定理进行证明时,不能直接根据DN∥BC 和MN∥BE得出平面DMN∥平面BEC.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,Q分别是AA1,BB1,B1C1的中点,求证:平面ABC1∥平面MNQ.
(变式)
[证明]在△B1BC1中,因为N,Q分别为B1B,B1C1的中点,所以QN∥BC1,
又因为QN⊄平面ABC1,BC1平面ABC1,
所以QN∥平面ABC1.
在矩形A1B1BA中,因为M,N分别为AA1,BB1的中点,
所以MN∥AB,又MN⊄平面ABC1,AB平面ABC1,
所以MN∥平面ABC1.
又因为QN∩MN=N,QN,MN平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面ABC1.
直线与平面平行的探索问题
(xx·四川卷)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.
(例4)
[思维引导]对于求某个特殊位置上的点这类问题,一种办法是由猜想定下点的位置,后证明;另一种办法是可先假定存在这个点,然后再根据点的特点找到这个点所满足的条件.
[解答]线段AB上存在点M,且M为AB的中点,使得直线DE∥平面A1MC.证明如下:
取线段AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,连接MD,OE,OM.
设O为A1C,AC1的交点,
则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线,
所以MD∥AC,且MD=AC,
OE∥AC,且OE=AC,
所以MDOE.
从而四边形MDEO为平行四边形,
所以DE∥MO.
因为直线DE⊄平面A1MC,MO平面A1MC,
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在点M,使得直线DE∥平面A1MC.
[精要点评]“探索”在于由未知到已知,由变化到确定.找平行关系时多借助中点、中位线、平行四边形等图形,此题的本质仍是线与面的平行关系.
(xx·蚌埠模拟)在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=,AB=2BC=2,AC⊥FB.
(变式)
(1) 求证:AC⊥平面FBC.
(2) 线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?并证明你的结论.
[解答](1) 在△ABC中,AC=,AB=2,BC=1,
所以AC⊥BC.
又因为 AC⊥FB,BC∩FB=B,
所以AC⊥平面FBC.
(2) 线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM.证明如下:
连接CE,与DF交于点N,连接MN.
因为CDEF为正方形,所以N为CE中点,
所以 EA∥MN.
因为MN平面FDM,EA⊄平面FDM,
所以EA∥平面FDM.
所以线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM.
在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABC,EF∥AB,FG ∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE.
(范题赏析)
[思维引导]要证明直线GM与平面ABFE平行,就要在平面ABFE内找到一条直线与GM平行.本题可以考虑构造四边形AMGF,然后再证明其为平行四边形即可.
[规范答题]连接AF,因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,
所以△ABC∽△EFG.(4分)
由AB=2EF,
得BC=2FG.
所以FG∥BC,则FG=BC. (6分)
在平行四边形ABCD中,M是线段AD的中点,
所以AM∥BC,且AM=BC. (8分)
所以FG∥AM,且FG=AM,
所以四边形AFGM为平行四边形,
所以GM∥FA.(10分)
又FA平面ABFE,GM⊄平面ABFE,
所以GM∥平面ABFE.(14分)
1. 平面α内的两条直线a,b都平行于平面β,则α和β的位置关系是.
[答案]平行或相交
2. 若直线a∥b,a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系为.
[答案]b∥α或bα
[解析]很容易漏掉bα的情况,这一点很值得注意.
3. (xx·泰州中学模拟)给出下列命题:
①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;
④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,真命题有.(填序号)
[答案]①③④
[解析]由面面垂直的判定定理可知①正确;如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行,但若是两条平行直线,得不到平面平行,故②错误;根据空间直线夹角的定义,可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等,故若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直,即③正确;根据面面垂直的性质定理,若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故④正确.
4. (xx·济南期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=AB=2,点E是线段AB上的动点,点M为D1C的中点.若点E是AB的中点,求证:直线ME∥平面ADD1A1.
(第4题)
[证明]取DD1的中点N,连接MN,AN,
则MN∥CD,且MN=CD,AE∥CD,且AE=CD,
所以MNAE,
所以四边形MNAE为平行四边形,故ME∥AN.
因为AN平面ADD1A1,ME⊄平面ADD1A1,
所以ME∥平面AD1.
[温馨提醒]
趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第99-100页).33564 831C 茜22402 5782 垂36243 8D93 趓I•k34989 88AD 袭30970 78FA 磺 qJ27675 6C1B 氛30801 7851 硑。