江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考数学试题

2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合[1,3)M =，(2,5]N =，则M N =（ ）
A ．[]
1,5
B ．()2,3
C ．[)1,2
D ．(]
3,5 2．已知i 是虚数单位，设复数22i
a bi i -+=+，其中,a
b R ∈，则a b +的值为（ ）
A ．
75
B ．75-
C ．15
D ．5
1-
3．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（ ）
A ．20种
B ．50种
C ．80
D ．100种
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛減一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是（ ）
A ．80里
B ．86里
C ．90里
D ．96里
5．若正数a 是一个不等于1的常数，则函数log a y x =与函数(0)a
y x x =>在同—个坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设 2.10.3a =，0.32.1b =，0.3log 2.1c =， 2.1log 0.3d =，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（ ） A ．a b c d >>> B ．d c b a >>>
C ．b a c d >>>
D ．b a d c >>>
7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2
2
:9C x y +=及圆C 内的一点()1,2P ，圆C 的过点P 的直径为MN ，若线段AB 是圆C 的所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为（ ）
A ．8
B ．16
C ．4
D ．
8．设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件：①()g x 是偶函数；②()g x 在
区间[0,)+∞上是增函数；③()g x 有一个零点为2，则不等式(1)()0x f x +>的解集是（ ） A ．(3,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(,1)
(1,)-∞-+∞ D ．(,1)
(3,)-∞-+∞
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选
对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．在平面直角坐标系xOy 中，为了使方程2
2
20x my +-=表示准线垂直于x 轴的圆锥曲线，实数m 的取值范围可以是（ ）
A ．(1,)+∞
B ．(,0)-∞
C ．(,)-∞+∞
D ．(0,)+∞
10．若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象上所有的点向右平移
3
π
个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数22sin 3
3y x π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
的图象，则实数ϕ的值可能是（ ）
A ．
43
π
B ．
23π C ．23
π-
D ．43
π-
11．设0a >，0b > ，且24a b +=，则下列结论正确的是（ ）
A ．11
a b + B ．
21
a b +的最小值为2
C ．12a b +的最小值为94
D ．111
b a a b +≥++
12．设常数a R ∈，*n N ∈，对于二项式(1n
+的展开式，下列结论中，正确的是（ ）
A ．若1
a n
<
，则各项系数随着项数增加而减小 B ．若各项系数随着项数增加而增大，则a n > C ．若2a =-，10n =，则第7项的系数最大
D ．若a =7n =，则所有奇数项系数和为239
三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．
13．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线2
:C y mx =的焦点F 作斜率为l 的直线，与抛物线C 交于A ，B 两点．若
弦AB 的长为6，则实数m 的值为_______．
14．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计
入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是_______元．（四舍五入，精确到整数）
15．数学家研究发现，对于任意的x R ∈，()357211
*sin (1)3!5!7!(21)!
n n x x x x x x n N n --=-
+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∈-，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x ，可以用这个展开式来求sin x 的近似值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B 的仰角30BAC ∠=︒，气球的视角2α=︒，则该气球的高BC 约为______米．（精确到1米）
16．如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，AB DC ∥，HG DE ∥且AB ，GH 到平
面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为______．
四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（本小题满分10分）
设函数2
()4sin cos 1f x x x x =-+．
（1）求()f x 的最小正周期和值域；
（2）在锐角ABC △中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ．若()1f A =，1a = ，求ABC △周长的取
值范围．
18．（本小题满分12分）
读本题后面有待完善的问题在下列三个关系①11
12
n n a a +=
+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的______处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a = ，对任意的*n N ∈都有______；等比数列{}n b 中，对任意的*n N ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =问是否存在*k N ∈使得对任意的*n N ∈都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 19．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是侧棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．
（1）求P A 的长；
（2）求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）
在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如下表所示．
（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步硏究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X ，
试写出X 的分布律；
（2）有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒″的结论？你的结论是什么？请说明理由．
附：对于两个研究对象I （有两类取值：类A ，类B ）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：
有2
2
()()()()()
n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．
临界值表（部分）为
21．（本小题满分12分）
设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数()f x 构成的集合：①方程()0f x x -=有实数解；②函数()f x 的
导数()f x '满足()01f x '<<． （1）试判断函数sin ()24
x x
f x =
+
是否集合M 的元素，并说明理由； （2）若集合M 中的元素()f x 具有下面的性质:对于任意的区间[]
,m n ，都存在0[,]x m n x ∈，使得等式()0()()()f n f m n m f x '-=-成立，证明：方程()0f x x -=有唯一实数解；
（3）设1x 是方程()0f x x =的实数解，求证：对于函数()f x 任意的23,x x R ∈，当211x x -<，31
x x -
1
<时，有()()322f x f x -<．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 与双曲线22
:
13612
y x C -=有共同的中心和准线，且双曲线C 的一条渐
近线被椭圆E 截得的弦长为 （1）求椭圆E 的方程
（2）若过点(0,)P m 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，求实数m 的取值范围．
2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考
数学试卷答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-5BDBDC
6-8CBA
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选
对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．AB 10．AC 11．BC 12．BCD
三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上． 13．3± 14．367209 15．86 16．108
四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．解：（1）因为1cos2()2sin 212x
f x x +=-+
2sin 21
x x =-+
4cos 216x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
所以()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=．
因为1cos 216x π⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭，
所以34cos 2156x π⎛⎫
-+≤+
+≤+ ⎪⎝
⎭
所以，函数()f x
的值域为区间[3-++．
（2）由()1f A =
，得cos 262
A π⎛⎫
+
=- ⎪
⎝
⎭． 因为A 为锐角，所以726
6
6
A π
π
π
<+
<
， 所以5266A π
π+
=
，即3
A π=．
因为A B C π++=，所以23
C B π
=-．
由正弦定理sin sin sin a b c
A B C
==
，
得sin 3b B =
，2sin 333c C B π⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
所以21sin sin 3a b c B B π⎤
⎛⎫++=+
+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦
11sin cos sin 322B B B ⎫=+
++⎪⎝
⎭31sin 12sin 26B B B π⎫⎛
⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
． 因为ABC △为锐角三角形， 所以02
B π
<<
，02
C π
<<
，
即02
262032B B B πππππ
⎧
<<⎪⎪⇒<<⎨
⎪<-<⎪⎩
所以
23
6
3B π
π
π<+
<
，所以sin 126B π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，
112sin 36B π⎛⎫
<++
≤ ⎪⎝
⎭
． 所以ABC △
周长的取值范围为区间1,3]．
18．解：设等比数列{}n b 的公比为q ．
因为对任意的*n N ∈，都有2123n n n b b b ++=+，
所以2
23q q =+，解得1q =-或
32
． 因为对任意的*n N ∈，都有0n b >，所以0q >，从而32
q =
． 又11b =，所以1
32n n b -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
．
显然，对任意的*n N ∈，0n b >．
所以，存在*k N ∈，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤， 即
n k n k a a b b ≤
．记n n n
a
c b =，*n N ∈． 下面分别就选择①②③作为条件进行研究． 选①：因为对任意的*n N ∈，都有11
12
n n a a +=+， 即()11
222
n n a a +-=
-． 又12a =，即1210a -=-≠， 所以20n a -≠，从而
121
22
n n a a +-=-，
所以数列{}2n a -是等比数列，公比为
12
， 得1
122n n a -⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
，即1
122n n a -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
所以1213n n n n n a c b --==，从而()1121
321n n n n c c ++-=-． 由()
1211221321n n
n
n +-≤⇔≥⇔≥-，得：12c c =， 当1n ≥时，1n n c c +<
所以，当1n =或2时，n c 取得最大值，即
n
n
a b 取得最大值． 所以对任意的*n N ∈，都有
21
21
n n a a a b b b ≤=， 即11n n a b a b ≤，22n n a b a b ≤，
所以存在1,2k =，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤． 选②：因为对任意的*n N ∈，都有12n n a a +=+，即12n n a a +-=，
所以数列{}n a 是等差数列，公差为2． 又11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-，
所以1
2(21)03n n n n a c n b -⎛⎫
==-> ⎪
⎝⎭
，从而
12(21)
3(21)
n n c n c n ++=
-． 由
2(21)5
1253(21)2
n n n n +≤⇔≥⇔≥-，得：
当2n ≤时，1n n c c +>； 当3n ≥时，1n n c c +<．
所以，当3n =时，n c 取得最大值，即
n
n
a b 取得最大值． 所以对任意的*n N ∈，都有
3
3
n n a a b b ≤
，即33n n a b a b ≤． 所以存在3k =，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤． 选③：因为对任意的*n N ∈，都有21n n S a =-， 所以1121n n S a ++=-，
从而()1111212122n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-， 即12n n a a +=．又110a =>， 所以0n a >，且
1
2n n
a a +=， 从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12n n a -=．
所以1
304n n n n a c b -⎛⎫
==> ⎪
⎝⎭
，从而
13
14
n n c c +=<，所以1n n c c +<， 所以，当1n =时，n c 取得最大值，即
n
n
a b 取得最大值． 所以对任意的*n N ∈，都有
1
1
n n a a b b ≤，即11n n a b a b ≤， 所以存在1k =，使得：对任意的*n N ∈，都有n k k n a b a b ≤．
19．解：方法一：设PA a =．在四棱锥P ABCD -中，
因为底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，如图，
以A 为坐标原点，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,)P a ．
因为M 是侧棱PC 的中点，所以M 的坐标为
11,,222a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以11,,222a AM ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，(1,1,0)BD =-，(1,0,)BP a =-． （1）因为AM ⊥平面PBD ，即AM ⊥平面PBD ， 所以0AM BD AM BP ⋅=⋅=．
所以2
1022
a -+=，解得1a =． 所以1PA =．
（2）设平面AMD 的法向量为(,,)n x y z =．
因为(0,1,0)AD =，111,,222AM ⎛⎫=
⎪⎝⎭
， 由0
0010()002y n AD y x z x y z n AM ⎧=⎧⋅==⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
+=++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩
， 取1z =，得1x =-，从而得到平面AMD 的一个法向量(1,0,1)n =-． 又(1,1,1)CP =--，
所以cos ,||||2n CP n CP n CP ⋅〈〉=
==⋅ 设PC 与平面AMD 所成角的为θ， 则6
sin |cos ,|3
n CP θ=〈〉=
因此，PC 与平面AMD 方法二：
（1）设PA a =．连结AC ，交BD 于点O ．连结PO ，与AM 交于点G ．
在四棱锥P ABCD -中，因为底面ABCD 是边长为1的正方形，
所以AC BD ==
O 是AC 的中点，所以2
AO =
． 因为PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PA AC ⊥．
所以PC =
=
PO ==
因为M 是侧棱PC 的中点，所以12AM PC =
= 因为AM ⊥平面PBD ，PO ⊂平面PBD ， 所以AM PO ⊥，即AG OG ⊥．
又AM ，PO 分别是PAC △的两条中线，所以G 是PAC △的重心．
所以23AG AM ==13OG PO == 在AOG △中，由222AG OG AO +=， 得
()221111
29922a a ⎛⎫+++= ⎪⎝
⎭，解得1a =． 即1PA =．
（2）取侧棱PB 的中点N ，连结MN ，AN ．
由（1）知PA PB =，所以AN PB ⊥． 由M 是侧棱PC 的中点，得MN BC ∥．
因为BC AD ∥，所以MN AD ∥，即M ，N ，A ，D 四点共面．
因为PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又在正方形ABCD 中，有AD AB ⊥， 而AB ⊂平面P AB ，PA ⊂平面P AB ，且AB PA A =，
所以AD ⊥平面P AB ．
又PB ⊂平面P AB ，所以AD ⊥平面P AB ． 因为AN ⊂平面AMD ，AD ⊂平面AMD ，且AN AD A =，
所以PB ⊥平面AMD ，即PN ⊥平面AMD ． 所以PMN ∠就是PB 与平面AMD 所成的角． 因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PA AB ⊥．
因为1PA AB ==
，所以PB =
PN =
． 由（1
）知122PM PC =
=．
所以sin 3
PN PMN PM ∠=
=． 因此，PC 与平面AMD
20．解：（1）因为使用血清的人中感冒的人数为3，末使用血清的人中感冒的人数为6，一共9人，从这9人中选4
人，其中使用血清的人数为X ，则随机变量X 的可能值为0，1，2，3．
因为0436495
(0)42C C P X C ===，13
364
910(1)21C C P X C ===， 2236495
(2)14C C P X C ===，31
364
91(3)21
C C P X C ===． 所以随机变量X 的分布列为
（2）将题中所给的2×2列联表进行整理，得
提出假设0H ：是否使用该种血清与感冒没有关系．
根据2
χ公式，求得2
2
40(176314) 1.29032020319
χ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯． 因为当0H 成立时，“20.708χ≥”的概率约为0.40，“2
1.323χ≥”的概率约为0.25，
所以有60%的把握认为：是否使用该种血清与感冒有关系，即“使用该种血清能预防感冒”，得到这个结论的把握不到75%．
由于得到这个结论的把握低于90%，因此，我的结论是：没有充分的证据显示使用该种皿清能预防感冒，也不能说使用该种血清不能预防感冒．
21．解：（1）函数sin ()24
x x
f x =
+
是集合M 中的元素．理由如下： ①方程()0f x x -=，即sin 042
x x
-=．
显然0x =是方程sin 042
x x
-=的实数解，
因此，方程()0f x x -=有实数解．
②由于1cos ()24
x
f x '=
+
，又1cos 1x -≤≤， 即11cos 32244
x ≤+≤，所以()01f x '<<． 综上，函数sin ()24
x x
f x =+是集合M 中的元素．
（2）（反证法）由条件知方程()0f x x -=有实数解．
假设方程()0f x x -=有两个不相等的实数解α，β， 不妨设αβ<，则()f αα=，()f ββ=． 由函数()f x 的性质知，存在0[,]x αβ∈， 使得()0()()()f f f x βαβα'-=-， 即()0()f x βαβα'-=-．
又由条件②知0()1f x '<<，所以0βα-=， 即αβ==，这与αβ<矛盾． 因此，方程()0f x x =有唯一实数解．
（3）对任意的23,x x R ∈，当211x x -<，且311x x -<时，
不妨设23x x ≤，则123111x x x x -<≤<+． 因为0()1f x '<<，所以()f x 在R 上是增函数，
所以()()23f x f x ≤．
令()()g x f x x =-，则()()10g x f x ''=-<， 所以()()g x f x x =-是R 上的减函数，
所以()()23g x g x ≥，即()()2233f x x f x x -≥-， 所以()()()()3232110112f x f x x x x x ≤-≤-<+--=． 因此，对任意的23,x x R ∈，当211x x -<，且311x x -<时， 有()()322f x f x -<．
22．解：（1）因为椭圆E 与双曲线22
:
13612
y x C -=有共同的中心和准线， 所以设椭圆E 的方程为22
221(0)y x a b a b
+=>>．
令c =
2a c =，
得2a =
，22
b c =-．
由双曲线C 的方程
22
13612
y x -=得双曲线C
的渐近线的方程为y =． 根据对称性，不妨设椭圆E
与渐近线y =的交点为()11,A x y ，()22,B x y ．
由22
1y ==⎩
消去y ，
整理得2
2
x =．
所以12x x -=，
所以
12AB x =
=-=．
由
=
2110c -
+=， 解得
c =
所以椭圆E 的方程为
22
196y x +=或2231248y x +=． （2）方法一：对于椭圆22
22:1(0)y x E a b a b
+=>>，
设过点(0,)P m 的两条互相垂直的直线中一条的斜率为k ，
方程为y kx m =+．由22
221
y x a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y ，
整理得22
2222
21210k mkx m x a b a b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭
． 由2
2222222222222114140mk k m k m a a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∆=-+⨯-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
得22
2
2
m a k b
-≥．① 当0k ≠时，同理得2
22
2
1m a
k b -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭
，即22221m a k b -≥．② 当
22
2
0m a b -≤，即||m a ≤时，满足①②的k 存在， 所以||m a ≤满足条件．
当
22
2
0m a b ->，即||m a >时， 满足①②的k 存在222
01m a b -⇔<<
，即||a m <≤． 当0k =时，
22
2
0m a b -≤，即||m a ≤，满足条件．
综上，||m m
的取值范围是区间．
若椭圆C 的方程为22
196
y x +=， 则实数m
的取值范围是区间[；
若椭圆C 的方程为，
22
31248
y x +=， 则实数m
的取值范围是区间33⎡-⎢⎣⎦
．
方法二：对于椭圆22
22:1(0)y x E a b a b
+=>>，
设过点(0,)P m 的两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点，如果其中的一条斜率为0，那么另一条一定垂直于x 轴；反之亦然．
由平面几何知识知道：[,]m a a ∈-满足条件．
当||m a >时，设其中一条的斜率k ，显然0k =不满足条件，所以0k ≠， 那么另一条的斜率为1k
-
． 设其中一条直线的方程为y kx m =+．
由22
221y x a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y ， 整理得22
2222
21210k mkx m x a b a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭
． 由2
2222222222222114140mk k m k m a a b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∆=-+⨯-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
得22
2
2
m a k b
-≥．① 同理得2
22
2
1m a
k b -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭
，即22221m a k b -≥．② 因为22
2
0m a b
->， 所以，满足①②的k 存在22
2
01m a b
-⇔<<
，即||a m <≤
综上，||m m
的取值范围是区间⎡⎣．
若椭圆C 的方程为22
196
y x +=， 则实数m
的取值范围是区间[；
若椭圆C 的方程为
22
31248
y x +=， 则实数m
的取值范围是区间33⎡-
⎢⎣
⎦． 方法三：对于椭圆22
22:1(0)y x E a b a b
+=>>，
由于点(0,)P m 在椭圆E 的长轴所在的y 轴上，
所以，当点P 在椭圆E 的长轴上，即||m a ≤时，显然满足条件． 当点P 不在椭圆E 的长轴上，即||m a >时，
根据椭圆的几何性质可以知道，当椭圆E 的过点()0,P m 的两条切线（线段）所成的角大于或等于直角时，过点P 存在两条互相垂直的直线都与椭圆E 有公共点．
当椭圆存在过点P 的两条互相垂直的切线时，PQ 与y 轴的夹角为45︒， 从而与x 轴的夹角也为45︒． 设一条切线的方程为y x m =+．
由22221
y x a b
y x m
⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y ，整理得2
2222211210mx m x a b a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭． 由2
2
2222211410m m
a a
b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
得22222110m a b a b
++=
，解得m =．
由椭圆的平面几何性质知道，当||a m <≤时，满足条件． 综上，m
的取值范围是区间⎡⎣．
若椭圆C 的方程为22
196
y x +=， 则实数m
的取值范围是区间⎡⎣；
若椭圆C 的方程为
22
31248
y x +=，
则实数m 的取值范围是区间33⎡-
⎢⎣
⎦．。