第二章第3讲 函数的奇偶性及周期性

从而 f(－a)＝0.故选 B．
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第二章 函数概念与基本初等函数
2．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝
lgo(gx3)(，x＋x<10)，，x≥0，则 g(f(－8))＝(
)
A．－1
B．－2
C．1
D．2
解析：选 A．因为 f(x)为奇函数，
所以 f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2， 所以 g[f(－8)]＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log33＝－1.
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第二章 函数概念与基本初等函数
(1)定义法
判定函数奇偶性的 3 种常用方法
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(2)图象法
第二章 函数概念与基本初等函数
(3)性质法 ①设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义 域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇． ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
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第二章 函数概念与基本初等函数
2．设 f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为 R，
下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数
B．f(x)g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是偶函数
D．f(x)＋g(x)是奇函数
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第二章 函数概念与基本初等函数
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第二章 函数概念与基本初等函数
(4) 定 义 域 关 于 原 点 对 称 是 函 数 具 有 奇 偶 性 的 一 个 必 要 条 件．( √ ) (5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周 期．( √ ) (6)函数 f(x)在定义域上满足 f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则 f(x)是周期 为 2a 的周期函数．( √ )
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第二章 函数概念与基本初等函数
(3)f(x)的定义域为 R，关于原点对称， 当 x＞0 时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当 x＜0 时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当 x＝0 时，f(0)＝0，也满足 f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数．
解析：选 D.f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数． g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数． |g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A 正确； f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)， 所以 f(x)g(x)为奇函数，B 正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|， 所以 f(x)|g(x)|是偶函数，C 正确；f(x)＋g(x)＝2ex， f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))， 且 f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)， 所以 f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D 错误，故选 D.
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第二章 函数概念与基本初等函数
已知函数奇偶性可以解决的 4 个问题 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值 求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利 用奇偶性求出． (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x) ＝0 得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方 程(组)，进而得出参数的值． (4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．
第二章 函数概念与基本初等函数
第 3 讲 函数的奇偶性及周期性
第二章 函数概念与基本初等函数
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个
偶函数 x，都有__f_(－__x__)＝__f_(_x_)__，那么函数 f(x) 关于_y_轴__对称
是偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个
[通关练习]
1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝ 1＋x2
B．y＝x＋1x
C．y＝2x＋21x
D．y＝x＋ex
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第二章 函数概念与基本初等函数
解析：选 D.A 选项定义域为 R，由于 f(－x)＝ 1＋(－x)2＝ 1＋x2 ＝f(x)，所以是偶函数．B 选项定义域为{x|x≠0}，由于 f(－x) ＝－x－1x＝－f(x)，所以是奇函数．C 选项定义域为 R，由于 f(－x)＝2－x＋21－x＝21x＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D 选项定义域 为 R，由于 f(－x)＝－x＋e－x＝e1x－x，所以是非奇非偶函数．
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第二章 函数概念与基本初等函数
[通关练习]
1．已知函数 f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若 f(a)＝2，则 f(－a)的
值为( )
A．3
B．0
C．－1
D．－2
解析：选 B．设 F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然 F(x)为奇函数，
又 F(a)＝f(a)－1＝1，所以 F(－a)＝f(－a)－1＝－1，
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第二章 函数概念与基本初等函数
[注意] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内 才成立的． (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(－x)与 f(x)的关系， 只有对各段上的 x 都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．如 本例(3)．
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第二章 函数概念与基本初等函数
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第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)函数 f(x)的定义域为 R，且对于 x∈R，恒有 f(x＋2)＝f(x)．当 x∈[2，4]时，f(x)＝x2－2x，则 f(2 018)＝______． 解析：由 f(x＋2)＝f(x)，知 f(x)是周期 T＝2 的周期函数． 因为当 x∈[2，4]时，f(x)＝x2－2x， 所以 f(2 018)＝f(1 007×2＋4)＝f(4)＝42－2×4＝8， 即 f(2 018)＝8. 答案：8
函数，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3，4]，则在区间
[－b，－a]上( )
A．有最大值 4
B．有最小值－4
C．有最大值－3
D．有最小值－3
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第二章 函数概念与基本初等函数
解析：选 B．法一：根据题意作出 y＝f(x)的简图，由图知选 B．
法二：当 x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]， 由题意得 f(b)≤f(－x)≤f(a)， 即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3， 即在区间[－b，－a]上 f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选 B．
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第二章 函数概念与基本初等函数
3．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝ x(1＋x)，则 x＜0 时，f(x)＝________． 解析：当 x＜0 时，则－x＞0， 所以 f(－x)＝(－x)(1－x)．又 f(x)为奇函数， 所以 f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， 所以 f(x)＝x(1－x)． 答案：x(1－x)
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第二章 函数概念与基本初等函数
定义域为 R 的四个函数 y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x
中，奇函数的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：选 C．由奇函数的定义可知，y＝x3，y＝2sin x 为奇函数．
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第二章 函数概念与基本初等函数
已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么 a
＋b 的值是( )
A．－13
B．13
C．12
D．－12
解析：选 B．因为 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1，2a]上的偶函
数，所以 a－1＋2a＝0，所以 a＝13.
又 f(－x)＝f(x)，所以 b＝0，所以 a＋b＝13.
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第二章 函数概念与基本初等函数
(教材习题改编)已知函数 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减
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函数的周期性
第二章 函数概念与基本初等函数
[典例引领]
(1)周期为 4 的奇函数 f(x)在[0，2]上的解析式为 f(x)＝
xlo2g，12x0＋≤1x，≤11<，x≤2，则 f(2 018)＋f(2 019)＝(
)
A．0
B．－1
C．2
D．3
Baidu Nhomakorabea
(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x)f(x＋2)＝－1，当
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第二章 函数概念与基本初等函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0.( √ ) (2) 偶 函 数 的 图 象 不 一 定 过 原 点 ， 奇 函 数 的 图 象 一 定 过 原 点．( × ) (3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)＝f(x)＋ g(x)是偶函数．( √ )
奇函数 x，都有__f_(－___x_)＝__－___f(_x_)_，那么函数 f(x) 关于原__点__对称
是奇函数
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第二章 函数概念与基本初等函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使 得当 x 取定义域内的任何值时，都有___f(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)__，那么就 称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 __最__小__的正数，那么这个_最__小___正数就叫做 f(x)的最小正周期．
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第二章 函数概念与基本初等函数
判断函数的奇偶性 [典例引领]
判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3－1x； (2)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2；
x2＋2，x＞0， (3)f(x)＝0，x＝0，
－x2－2，x＜0.
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第二章 函数概念与基本初等函数
【解】 (1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个 x 都有 f(－x)＝(－x)3－－1x＝－x3－1x＝－f(x)， 从而函数 f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又 f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数．
2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
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第二章 函数概念与基本初等函数
【解析】 (1)函数 f(x)的周期为 4， 所以 f(2 018)＋f(2 019)＝f(2)＋f(－1)＝f(2)－f(1)＝－1. (2)由已知， 可得 f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋1 2)＝－－1f(1x)＝f(x)． 故函数 f(x)的周期为 4. 所以 f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)， 因为 2≤2.5≤3，由题意，得 f(2.5)＝2.5.所以 f(105.5)＝2.5. 【答案】 (1)B (2)2.5
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函数奇偶性的应用
第二章 函数概念与基本初等函数
[典例引领] (1)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝______． (2)已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(－1)＋g(1)＝2，f(1) ＋g(－1)＝4，则 g(1)等于________．
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第二章 函数概念与基本初等函数
(2017·高考全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则 f(2)＝________． 解析：依题意得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数 f(x) 是奇函数，得 f(2)＝－f(－2)＝12. 答案：12
第二章 函数概念与基本初等函数
【解析】 (1)因为 f(x)为偶函数， 所以 f(－x)－f(x)＝0 恒成立， 所以－xln(－x＋ a＋x2)－xln(x＋ a＋x2)＝0 恒成立， 所以 xln a＝0 恒成立， 所以 ln a＝0，即 a＝1. (2)f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①， f(1)＋g(－1)＝4，即 f(1)＋g(1)＝4②， 由①②得，2g(1)＝6，即 g(1)＝3. 【答案】 (1)1 (2)3