湖南省常德市2021届高考模拟数学试卷(解析版)

2021年湖南省常德市高考数学模拟试卷
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|1＜x＜m}，若A∩B＝{x|1＜x＜2}，则实数m的取值范围为（）A．{2}B．[2，+∞）C．（1，+∞）D．[1，2]
2．已知复数z＝1+i，其中i 是虚数单位，则复数等于（）
A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
3．函数f（x）＝x+sin x+1在x＝0处的切线方程为（）
A．y＝1B．y＝x+1C．y＝2x+1D．y＝3x+1
4．某学校高一年级星期五随机安排6节课，上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语、体育各1节，则2节数学恰好相邻的概率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．2021年3月全国两会上，“碳达峰”碳中和”备受关注．为应对气候变化，我国提出“二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”等庄严的目标承诺．在今年的政府工作报告中，“做好碳达峰、碳中和工作”被列为2021年重点任务之一；“十四五”规划也将加快推动绿色低碳发展列入其中．我国自1981年开展全民义务植树以来，全国森林面积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为1984﹣1988年，每5年清查一次，历次清查数据如表：
第x次3456789
1.25 1.34 1.59 1.75 1.95
2.08 2.20
森林面积y（亿平方
米）
经计算得到线性回归直线为＝0.1675x +（参考数据：＝12.16），据此估算我国森林面积在第几次森林资源清查时首次超过3亿平方米（）
A．12B．13C．14D．15
6．哥隆尺是一种特殊的尺子，对哥隆尺数码的研究在雷达和声纳技术、模式匹配和信息检索、同步光电探测器的代码、射电天文学等有广泛的应用．图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．在图2的哥隆尺的刻度4到12之间增加一个整数刻度n，使得能一次性度量的长度个数最多，则整数刻度n的值为（）
A．8B．9C．10D．11
7．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，若∠AF1B＝120°，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
8．已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f2（x）+（1﹣2a）f（x）+1恰有5个零点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、选择题（共4小题）.
9．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为3π
B．（，0）为函数f（x）的一个对称中心
C．f（0）＝﹣
D．函数f（x）向右平移个单位后所得函数为偶函数
10．下列不等式中成立的是（）
A．0.60.8＞0.80.8B．0.60.8＜0.80.6
C．log0.80.6＞log0.60.8D．log0.80.6＜0.80.6
11．下列说法正确的是（）
A．命题p：∃x＜0，e x﹣x＞1的否定￢p：∀x＜0，e x﹣x≤1
B．二项式（1+2x）5的展开式的各项的系数和为32
C．已知直线a⊂平面α，则“l∥a”是l∥α”的必要不充分条件
D．函数y＝sin x+的图象关于直线x＝对称
12．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论中正确的是（）A．三棱锥A﹣PB 1D1的体积不变
B．DP∥平面AB1D1
C．A1P⊥BD1
D．平面A1CP⊥平面PBD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知数列{a n}满足a n+1+a n﹣1＝2a n（n≥2），且a1＝1，a5＝13，则a2＝．
14．已知向量＝（1，k），＝（2﹣k，3），若⊥（2﹣），且k≠0，则cos＜，＞＝．15．已知边长为1的正△ABC的三点都在球O的球面上，AO的延长线与球面的交点为S，若三棱锥S﹣ABC 的体积为，则球O的体积为．
16．定义：点P为曲线L外的一点，A，B为L上的两个动点，则∠APB取最大值时，∠APB叫点P对曲线L 的张角．已知点P为抛物线C：y2＝4x上的动点，设P对圆M：（x﹣3）2+y2＝1的张角为θ，则cosθ的最小值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c2＝ab，且cos（A﹣B）+cos C＝．（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）延长BC至D，使得BD＝4，求△ACD面积的最大值．
18．已知数列{a n}的首项为a1＝3，S n是{a n}的前n项和．
（Ⅰ）若S n ＝a n+1+1．求数列{a n}的通项；
（Ⅱ）若a n+1＞3a n，证明：S n ＞．
19．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取20000名志愿者，并将该疫苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的某项医学指标值，统计得到如表频率分布表：
[9，11）[11，13）[13，15）[15，17）[17，19）[19，21）[21，23]医学指标
值X
频率0.050.10.150.40.20.060.04（Ⅰ）根据频率分布表，估计20000名志愿者的该项医学指标平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（Ⅱ）若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X服从正态分布N（μ，σ2），用（Ⅰ）中的平均值近似代替μ，且P（14≤X＜17.76）＝0.5，且首次注射疫苗的人该项医学指标值不低于14时，则认定其体内已经产生抗体；现从该市随机抽取3人进行第一次疫苗注射，求能产生抗体的人数ξ的分布列与期望．
20．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1底面是边长2的正三角形，D为△ABC所在平面上一点且四边形ABCD 是菱形，AC∩BD＝O，四边形ACC1A1为正方形，平面A1DC1⊥平面A1B1C1．
（Ⅰ）证明：B1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面CDC1与平面A1DC1所成二面角的正弦值．
21．已知在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（2，0）的距离与到定直线x＝的距离的比等于常数2．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若直线PF与曲线E的另一个交点为Q，以PQ为直径的圆交直线x＝于A，B两点，设劣弧所对的圆心角为θ，求证：θ为定值．
22．设函数f（x）＝alnx+，其中a为常数，且a＞0．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数F（x）＝f（x）+xlna，x1，x2是函数f（x）的两个极值点，证明：F（x1）+F（x2）＜1﹣4ln2．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|1＜x＜m}，若A∩B＝{x|1＜x＜2}，则实数m的取值范围为（）A．{2}B．[2，+∞）C．（1，+∞）D．[1，2]
解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜m}，且A∩B＝{x|1＜x＜2}，
∴m≥2，
∴m的取值范围为：[2，+∞）．
故选：B．
2．已知复数z＝1+i，其中i是虚数单位，则复数等于（）
A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
解：因为复数z＝1+i，
所以复数＝．
故选：A．
3．函数f（x）＝x+sin x+1在x＝0处的切线方程为（）
A．y＝1B．y＝x+1C．y＝2x+1D．y＝3x+1
解：函数f（x）＝x+sin x+1，
可得f′（x）＝1+cos x，
所以在x＝0处的切线的斜率为：2，
切点坐标为：（0，1），所以切线方程为：y﹣1＝2（x﹣0），
即2x﹣y+1＝0．
故选：C．
4．某学校高一年级星期五随机安排6节课，上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语、体育各1节，则2节数学恰好相邻的概率为（）
A．B．C．D．
解：某学校高一年级星期五随机安排6节课，
上午安排数学2节，语文和音乐各1节，下午安排英语、体育各1节，
基本事件总数n＝＝48，
其中2节数学恰好相邻包含的基本事件个数m＝＝24，
则2节数学恰好相邻的概率为P＝＝＝．
故选：B．
5．2021年3月全国两会上，“碳达峰”碳中和”备受关注．为应对气候变化，我国提出“二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”等庄严的目标承诺．在今年的政府工作报告中，“做好碳达峰、碳中和工作”被列为2021年重点任务之一；“十四五”规划也将加快推动绿色低碳发展列入其中．我国自1981年开展全民义务植树以来，全国森林面积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为1984﹣1988年，每5年清查一次，历次清查数据如表：
第x次3456789
1.25 1.34 1.59 1.75 1.95
2.08 2.20
森林面积y（亿平方
米）
经计算得到线性回归直线为＝0.1675x +（参考数据：＝12.16），据此估算我国森林面积在第几次森林资源清查时首次超过3亿平方米（）
A．12B．13C．14D．15
解：由题意可知，，
，
又因为＝0.1675，
则＝＝1.74﹣0.1675×6＝0.735，
故＝0.1675x+0.735，
令＝0.1675x+0.735＞3，又x为整数，
所以x≥14，x为整数．
故选：C．
6．哥隆尺是一种特殊的尺子，对哥隆尺数码的研究在雷达和声纳技术、模式匹配和信息检索、同步光电探测器的代码、射电天文学等有广泛的应用．图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．在图2的哥隆尺的刻度4到12之间增加一个整数刻度n，使得能一次性度量的长度个数最多，则整数刻度n的值为（）
A．8B．9C．10D．11
解：已有刻度0，1，4，12，17，
利用已有刻度可以测量出1，4，12，17，3，8，5，11，16，13共10个长度，
在刻度4到12之间增加一个整数刻度n，尽量与以上刻度不重复，
若加8，可多测量出7，9，
若加9，可多测量出9，3，
若加10，可多测量出10，9，2，7，6，
若加11，可多测量出10，7，6，
故选：C．
7．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，若∠AF1B＝120°，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
解：椭圆的左、右焦点为F1，F2，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，若∠AF1B＝120°，所以∠AF1F2＝60°，
可得|AF2|＝，所以＝，
即＝，0＜e＜1，解得e＝2﹣．
故选：D．
8．已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f2（x）+（1﹣2a）f（x）+1恰有5个零点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
解：当x＞1时，f（x）＝，f′（x）＝，
当x∈（1，e）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，作出f（x）的图象如图：
令f（x）＝t，则函数F（x）＝f2（x）+（1﹣2a）f（x）+1恰有5个零点，
即方程f2（x）+（1﹣2a）f（x）+1＝0恰有5个根，
即t2+（1﹣2a）t+1＝0有两个不等实根，且一个根属于（﹣∞，e﹣1），一个根属于[2，6）内．
令g（t）＝t2+（1﹣2a）t+1，
则，解得＜．
∴实数a的取值范围是．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（）
A．函数f（x）的最小正周期为3π
B．（，0）为函数f（x）的一个对称中心
C．f（0）＝﹣
D．函数f（x）向右平移个单位后所得函数为偶函数
解：根据函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，
可得，T＝，所以T＝3π，故A正确；
由＝3π，可得ω＝，
由点（，0）在函数图像上，可得sin（﹣φ）＝0，可得﹣φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝﹣kπ，k∈Z，
因为|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝sin（x﹣），
因为f（）＝sin（×﹣）＝sin＝≠0，故B错误；
由于f（0）＝sin（﹣）＝﹣，故C正确；
将函数f（x）向右平移个单位后所得函数为f（x﹣）＝sin[（x﹣）﹣]＝﹣cos为偶函数，故D正确．
故选：ACD．
10．下列不等式中成立的是（）
A．0.60.8＞0.80.8B．0.60.8＜0.80.6
C．log0.80.6＞log0.60.8D．log0.80.6＜0.80.6
解：函数y＝x0.8，在（0，+∞）上单调递增，∴0.60.8＜0.80.8，故A错误；
函数y＝0.6x，在R上单调递减，∴0.60.8＜0.60.6，函数y＝0.6x，在（0，+∞）上单调递增，∴0.60.6＜0.80.6，∴0.60.8＜0.80.6，故B正确；
函数y＝log0.8x单调递减，∴log0.80.6＞log0.80.8＝1＝log0.60.6＞log0.60.8，故C正确；
∵，故D错误，
故选：BC．
11．下列说法正确的是（）
A．命题p：∃x＜0，e x﹣x＞1的否定￢p：∀x＜0，e x﹣x≤1
B．二项式（1+2x）5的展开式的各项的系数和为32
C．已知直线a⊂平面α，则“l∥a”是l∥α”的必要不充分条件
D．函数y＝sin x+的图象关于直线x＝对称
解：对于A：命题p：∃x＜0，e x﹣x＞1的否定￢p：∀x＜0，e x﹣x≤1，故A正确；
对于B：二项式（1+2x）5的展开式的各项的系数和为（1+2）5＝35，故B错误；
对于C：已知直线a⊂平面α，由于直线l与α的关系不确定，
故“l∥a”是l∥α”的既不必要不充分条件，故C错误；
对于D：由于x关于x＝的对称点为π﹣x，
故f（x）＝sin x+，满足f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+＝f（x），故函数y＝sin x+的图象关于直线x＝对称，故D正确．
故选：AD．
12．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论中正确的是（）
A．三棱锥A﹣PB1D1的体积不变
B．DP∥平面AB1D1
C．A1P⊥BD1
D．平面A1CP⊥平面PBD
解：对于A，∵△AB1D1的面积是定值，AD1∥BC1，
AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，
∴P到平面AB1D1的距离为定值，∴三棱锥A﹣PB1D1的体积不变，故A正确；
对于B，∵AD1∥BC1，B1D1∥BD，AD1∩B1D1＝D1，BC1∩BD＝B，
∴平面AB1D1∥平面BDC1，
∵DP⊂平面BDC1，∴DP∥平面AB1D1，故B正确；
对于C，以D1为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
设P（a，2，c），0≤a≤2，0≤c≤2，
则A1（2，0，0），B（2，2，2），D1（0，0，0），
＝（a﹣2，2，c），＝（﹣2，﹣2，﹣2），
则＝﹣2a+4﹣4﹣2c＝﹣2a﹣2c≠0，
∴A1P和BD1不垂直，故C错误；
对于D，设P（a，2，c），0≤a≤2，0≤c≤2，
则A1（2，0，0），C（0，2，2），B（2，2，2），D（0，0，2），D（0，0，2），＝（a﹣2，2，c），＝（﹣2，2，2），＝（a，2，c），＝（2，2，0），
设平面平面A1CP的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝0，则x＝2﹣c，z＝a，a＝2﹣c，得＝（a，0，a），
设平面PBD的法向量＝（a，b，c），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，），
＝a+a•＝a+a•＝2a不一定为0，
∴平面A1CP和平面PBD不垂直，故D错误．
故选：AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知数列{a n}满足a n+1+a n﹣1＝2a n（n≥2），且a1＝1，a5＝13，则a2＝4．
解：数列{a n}满足a n+1+a n﹣1＝2a n（n≥2），
所以数列{a n}为等差数列；
故公差d＝，
所以a2＝a1+d＝4．
故答案为：4．
14．已知向量＝（1，k），＝（2﹣k，3），若⊥（2﹣），且k≠0，则cos＜，＞＝．解：根据题意，向量＝（1，k），＝（2﹣k，3），则2﹣＝（k，2k﹣3），
若⊥（2﹣），则•（2﹣）＝k+k（2k﹣3）＝0，
解可得：k＝0或k＝1，
又由k≠0，则k＝1，
则＝（1，1），＝（1，3），
则有||＝，||＝，•＝1+3＝4，
故cos＜，＞＝＝＝，
故答案为：．
15．已知边长为1的正△ABC的三点都在球O的球面上，AO的延长线与球面的交点为S，若三棱锥S﹣ABC 的体积为，则球O的体积为．
解：设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，
则OO1⊥平面ABC，
作SD⊥平面ABC交CO1的延长线与D．OO1＝＝，
∴高SD＝2OO1，
∵△ABC是边长为1的正三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，
∴S△ABC＝，∴V三棱锥S﹣ABC＝，h＝，
∴＝，
∴R＝1．则球O的体积为＝，
故答案为：．
16．定义：点P为曲线L外的一点，A，B为L上的两个动点，则∠APB取最大值时，∠APB叫点P对曲线L 的张角．已知点P为抛物线C：y2＝4x上的动点，设P对圆M：（x﹣3）2+y2＝1的张角为θ，则cosθ的最小值为．
解：如图，
cosθ＝cos∠APB＝cos2∠APM＝1﹣2sin2∠APM，
要使cosθ最小，则sin∠APM最大，故|PM|最小，
设P（，a），则|PM|＝＝．
∴当a2＝4，即a＝±2时，，
此时P（1，2）或（1，﹣2），＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c2＝ab，且cos（A﹣B）+cos C＝．（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）延长BC至D，使得BD＝4，求△ACD面积的最大值．
解：（Ⅰ）已知c2＝ab，
所以sin2C＝sin A•sin B，
cos（A﹣B）+cos C＝，
所以：2sin A sin B＝，
故，
整理得，
故C＝或．
由于，
所以满足条件，
故C＝．
（Ⅱ）延长BC至D，使得BD＝4，
所以＝，
由于，
所以a＝b，
所以，
当a＝2时，S△ACD的最大值为．
18．已知数列{a n}的首项为a1＝3，S n是{a n}的前n项和．
（Ⅰ）若S n＝a n+1+1．求数列{a n}的通项；
（Ⅱ）若a n+1＞3a n，证明：S n＞．
【解答】（Ⅰ）解：由S n＝a n+1+1得：当n≥2时，S n﹣1＝，
∴S n﹣S n﹣1＝，即a n＝，
∴n≥2时，＝3，
又∵a1＝3，，∴a2＝4，
∴≠3，
∴当n≥2时，，
∴数列{a n}的通项公式为a n＝．
（Ⅱ）证明：若a n+1＞3a n得：，
∴，＝3n﹣1，……，，a1＝a1，
各式相加得：S n＝a1+a2+…+a n＞3+32+33+…+3n（n≥2），
又∵3+32+33+…+3n＝＝，
∴S n＞（n≥2）．
19．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取20000名志愿者，并将该疫
苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的某项医学指标值，统计得到如表频率分布表：
[9，11）[11，13）[13，15）[15，17）[17，19）[19，21）[21，23]医学指标
值X
频率0.050.10.150.40.20.060.04（Ⅰ）根据频率分布表，估计20000名志愿者的该项医学指标平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（Ⅱ）若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X服从正态分布N（μ，σ2），用（Ⅰ）中的平均值近似代替μ，且P（14≤X＜17.76）＝0.5，且首次注射疫苗的人该项医学指标值不低于14时，则认定其体内已经产生抗体；现从该市随机抽取3人进行第一次疫苗注射，求能产生抗体的人数ξ的分布列与期望．解：（Ⅰ）×10+0.1×12+0.15×14+0.4×16+0.2×18+0.06×20+0.04×22＝15.88；
（Ⅱ）由P（14≤X≤17.76）＝0.5，且正态密度曲线关于x＝μ＝15.88对称，
所以P（X＜14）＝P（X＞17.76）＝＝0.25，
P（X≥14）＝1﹣P（X＜14）＝1﹣0.25＝，
由题意可得，随机变量ξ＝0，1，2，3，且ξ～B（3，），
所以P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ0123
P
所以随机变量ξ的数学期望为E（ξ）＝np ＝＝．
20．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1底面是边长2的正三角形，D为△ABC所在平面上一点且四边形ABCD 是菱形，AC∩BD＝O，四边形ACC1A1为正方形，平面A1DC1⊥平面A1B1C1．
（Ⅰ）证明：B1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面CDC1与平面A1DC1所成二面角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：取A1C1中点M，连接MD、MB1、MO，
因为A1B1＝B1C1，所以B1M⊥A1C1，
因为四边形ACC1A1为正方形，所以OM⊥A1C1，
所以A1C1⊥平面B1MDO，因为MD⊂平面B1MDO，
所以A1C1⊥DM，又因为平面A1DC1⊥平面A1B1C1，
所以DM⊥平面A1B1C1，又因为平面ABCD∥平面A1B1C1，
所以DM⊥平面ABCD，
因为B1M∥OD且B1M＝OD，所以B1O∥DM，
所以B1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
在RT△B1BO中，B1O＝＝＝1，
＝（﹣1，，0），＝（0，，1），
设平面CDC1的法向量为＝（x，y，z），
，令y＝1，＝（，1，﹣），
平面A1DC1的法向量为＝（0，1，0），
所以平面CDC1与平面A1DC1所成二面角的余弦值为＝＝，故平面CDC1与平面A1DC1所成二面角的正弦值为＝．
21．已知在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（2，0）的距离与到定直线x＝的距离的比等于常数2．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若直线PF与曲线E的另一个交点为Q，以PQ为直径的圆交直线x＝于A，B两点，设劣弧所对的圆心角为θ，求证：θ为定值．
【解答】（Ⅰ）解：设P（x，y），则＝2，
∴，化简得，
故动点P的轨迹E的方程为．
（Ⅱ）证明：①当PF⊥x轴时，把x＝2代入中，可得P（2，3），Q（2，﹣3），
∴圆心为（2，0），半径为3，
由垂径定理知，cos＝＝，
∵θ∈（0，π），∴＝，即θ＝，为定值．
②当PF不垂直x轴时，设其方程为y＝k（x﹣2），P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4k＝，
∴PQ的中点坐标为（，），
又|PQ|＝|x1﹣x2|＝•＝，
∴圆的半径r＝|PQ|＝，
圆心（即PQ的中点）到直线x＝的距离d＝|﹣|＝|﹣|＝，
由垂径定理知，cos＝＝＝，
∵θ∈（0，π），∴＝，即θ＝，为定值．
综上所述，θ为定值．
22．设函数f（x）＝alnx+，其中a为常数，且a＞0．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数F（x）＝f（x）+xlna，x1，x2是函数f（x）的两个极值点，证明：F（x1）+F（x2）＜1﹣4ln2．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝﹣＝，
令g（x）＝ax2+（2a﹣1）x+a，
△＝（2a﹣1）2﹣4a2＝﹣4a+1，
①当a≥时，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当0＜a＜时，由g（x）＝0解得x1＝，x2＝，
所以x2＞x1＝＝＞0，
所以当x∈（0，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，当0＜a＜时，f（x）在（0，）上单调递增，
在（，）上单调递减，
在（，+∞）上单调递增，
当a≥时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）的两个极值点为x1，x2，则0＜a＜，所以x1+x2＝，x1x2＝1，
所以F（x1）+F（x2）＝f（x1）+x1lna+f（x2）+x2lna
＝aln（x1x2）++（x1+x2）lna
＝+（x1+x）lna
＝1+lna，
记h（a）＝1+lna＝1+（﹣2）lna（0＜a＜），
h′（a）＝﹣lna+（﹣2）＝，
因为0＜a＜，
所以1﹣2a＞0，﹣lna＞0，
所以h′（a）＞0，h（a）在（0，）上单调递增，
所以h（a）＜h（）＝1﹣4ln2，
即1+lna＜1＝4ln2，
所以F（x1）+F（x2）＜1﹣4ln2．
1
2
3
4。