2017高考数学文新课标版考前冲刺复习课件：第2部分专
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专题五
解析几何
第1讲 直线与圆
直线的方程及应用
1．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)． (2)斜截式：y＝kx＋b. y－y1 x－x1 (3)两点式： ＝ (x1≠x2，y1≠y2)． y2－y1 x2－x1 x y (4)截距式：a＋b＝1(a≠0，b≠0)．
自主练透 夯实双基
圆的方程
1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为
共研典例 类题通法
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 其 中 D2 ＋ E2 － 4F>0 ， 表 示 以
[解析]
(1，2)，直线 x＝1 显然不适合． 设所求直线为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y＋2－k＝0， 因为 P(0，4)到直线的距离为 2， |－2－k| 4 所以 2＝ ，所以 k ＝ 0 或 k ＝ . 2 3 1＋k 所以直线方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0.
解决直线方程问题应注意的问题 (1)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－A2B1＝0 建立 方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合 的可能性． (2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式 要求直线不能与 x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的 直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)．
2．三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离： |AB|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. |Ax0＋By0＋C| (2)点到直线的距离：d＝ (其中点 P(x0，y0)，直 2 2 A ＋B 线方程：Ax＋By＋C＝0)． |C2－C1| (3)两平行直线间的距离： d＝ 2 2 ( 其中两平行线方程分 A ＋B 别为 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
3．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2⇔ k1＝k2， l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数， 则要考虑斜率是否存在．
[题组通关] 1．设直线 l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则 “m＝2”是“l1∥l2”的( C ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
D E － ，－ 为圆心， 2 2
D2＋E2－4F 为半径的圆． 2
(1)(2016· 高考浙江卷)已知 a∈R，方程 a2x2＋(a＋2)y2
(－2，－4) ，半径 ＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，则圆心坐标是__________ 5 是__________ ．
(2)(2016· 高考天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 4 5 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 ， 5
2 ＋ y2 ＝ 9 ( x － 2) 则圆 C 的方程为____________________．
(3)(2016· 南宁模拟)已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 y 轴的交点，且圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切，则圆 C 的标准
2＋(y－1)2＝8 x 方程为____] 由于两直线方程中的常数项之比为－ 1，故两直线平 2 m 2 m 行的充要条件是 ＝ ≠－1.由 ＝ ，得 m(m－1)＝2， m－ 1 1 m－ 1 1 2 m 解得 m＝2 或 m＝－1.当 m＝－1 时， ＝ ＝－1，两直 m－ 1 1 线重合，所以两直线平行的充要条件是 m＝2.所以“m＝2” 是“l1∥l2”的充要条件．
【解析】
(1)由题可得 a2＝a＋2，解得 a＝－1 或 a＝2.
当 a＝－1 时，方程为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆 心为(－2，－4)，半径为 5.当 a＝2 时，方程不表示圆．
(2)设圆心为(a，0)(a＞0)，则圆心到直线 2x－y＝0 的距离 |2a－0| 4 5 d＝ ＝ ， 得 a＝2， 半径 r＝ （a－0）2＋（0－ 5）2 5 4＋1 ＝3，所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9. (3)直线 x－y＋1＝0 与 y 轴的交点为(0，1)，所以圆 C 的圆心 为(0，1)，因为圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切，所以半径 |1＋3| r＝ ＝2 2，所以圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝8. 2
2．在△ABC 中，A(1，1)，B(m， m)(1<m<4)，C(4，2)，则 当△ABC 的面积最大时，m＝( B ) 3 A. 2 1 C. 2 9 B. 4 1 D. 4
[解析] 由两点间距离公式可得|AC|＝ 10， 直线 AC 的方程为 |m－3 m＋2| x－3y＋2＝0， 所以点 B 到直线 AC 的距离 d＝ ， 10 1 1 所以△ABC 的面积 S＝ |AC|·d＝ |m－3 m＋2|＝ 2 2 3 2 1 1 3 m － | 2 －4|，又 1<m<4，所以 1< m<2，所以当 m＝2， 2 9 即 m＝ 时，S 取得最大值． 4
求圆的方程的两种方法 (1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系， 数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程． (2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的 方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．
3．过直线 l1：x－2y＋3＝0 与直线 l2：2x＋3y－8＝0 的交点，
y＝2 或 4x－3y＋2＝0 且到点 P(0， 4)距离为 2 的直线方程为____________________ ．
x－2y＋3＝0， x＝1， 由 得 所以 l1 与 l2 交点为 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 ， y ＝ 2.
解析几何
第1讲 直线与圆
直线的方程及应用
1．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)． (2)斜截式：y＝kx＋b. y－y1 x－x1 (3)两点式： ＝ (x1≠x2，y1≠y2)． y2－y1 x2－x1 x y (4)截距式：a＋b＝1(a≠0，b≠0)．
自主练透 夯实双基
圆的方程
1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为
共研典例 类题通法
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 其 中 D2 ＋ E2 － 4F>0 ， 表 示 以
[解析]
(1，2)，直线 x＝1 显然不适合． 设所求直线为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y＋2－k＝0， 因为 P(0，4)到直线的距离为 2， |－2－k| 4 所以 2＝ ，所以 k ＝ 0 或 k ＝ . 2 3 1＋k 所以直线方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0.
解决直线方程问题应注意的问题 (1)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－A2B1＝0 建立 方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合 的可能性． (2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式 要求直线不能与 x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的 直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在.
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)．
2．三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离： |AB|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. |Ax0＋By0＋C| (2)点到直线的距离：d＝ (其中点 P(x0，y0)，直 2 2 A ＋B 线方程：Ax＋By＋C＝0)． |C2－C1| (3)两平行直线间的距离： d＝ 2 2 ( 其中两平行线方程分 A ＋B 别为 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
3．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1∥l2⇔ k1＝k2， l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数， 则要考虑斜率是否存在．
[题组通关] 1．设直线 l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则 “m＝2”是“l1∥l2”的( C ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
D E － ，－ 为圆心， 2 2
D2＋E2－4F 为半径的圆． 2
(1)(2016· 高考浙江卷)已知 a∈R，方程 a2x2＋(a＋2)y2
(－2，－4) ，半径 ＋4x＋8y＋5a＝0 表示圆，则圆心坐标是__________ 5 是__________ ．
(2)(2016· 高考天津卷)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 4 5 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 ， 5
2 ＋ y2 ＝ 9 ( x － 2) 则圆 C 的方程为____________________．
(3)(2016· 南宁模拟)已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 y 轴的交点，且圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切，则圆 C 的标准
2＋(y－1)2＝8 x 方程为____] 由于两直线方程中的常数项之比为－ 1，故两直线平 2 m 2 m 行的充要条件是 ＝ ≠－1.由 ＝ ，得 m(m－1)＝2， m－ 1 1 m－ 1 1 2 m 解得 m＝2 或 m＝－1.当 m＝－1 时， ＝ ＝－1，两直 m－ 1 1 线重合，所以两直线平行的充要条件是 m＝2.所以“m＝2” 是“l1∥l2”的充要条件．
【解析】
(1)由题可得 a2＝a＋2，解得 a＝－1 或 a＝2.
当 a＝－1 时，方程为 x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆 心为(－2，－4)，半径为 5.当 a＝2 时，方程不表示圆．
(2)设圆心为(a，0)(a＞0)，则圆心到直线 2x－y＝0 的距离 |2a－0| 4 5 d＝ ＝ ， 得 a＝2， 半径 r＝ （a－0）2＋（0－ 5）2 5 4＋1 ＝3，所以圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9. (3)直线 x－y＋1＝0 与 y 轴的交点为(0，1)，所以圆 C 的圆心 为(0，1)，因为圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切，所以半径 |1＋3| r＝ ＝2 2，所以圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝8. 2
2．在△ABC 中，A(1，1)，B(m， m)(1<m<4)，C(4，2)，则 当△ABC 的面积最大时，m＝( B ) 3 A. 2 1 C. 2 9 B. 4 1 D. 4
[解析] 由两点间距离公式可得|AC|＝ 10， 直线 AC 的方程为 |m－3 m＋2| x－3y＋2＝0， 所以点 B 到直线 AC 的距离 d＝ ， 10 1 1 所以△ABC 的面积 S＝ |AC|·d＝ |m－3 m＋2|＝ 2 2 3 2 1 1 3 m － | 2 －4|，又 1<m<4，所以 1< m<2，所以当 m＝2， 2 9 即 m＝ 时，S 取得最大值． 4
求圆的方程的两种方法 (1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系， 数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程． (2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的 方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．
3．过直线 l1：x－2y＋3＝0 与直线 l2：2x＋3y－8＝0 的交点，
y＝2 或 4x－3y＋2＝0 且到点 P(0， 4)距离为 2 的直线方程为____________________ ．
x－2y＋3＝0， x＝1， 由 得 所以 l1 与 l2 交点为 2 x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 ， y ＝ 2.