人教A版高中数学选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)(含答案解析)

选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)
一、单选题
1．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，
1
12
CD BC =
=，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30°的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）
A ．⎛ ⎝⎦
B ．(
C ．(]0,1
D ．⎛ ⎝⎦
2．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB CD O =，且AB CD ⊥，3SO OB ==，1
4
SE SB =
，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）
A B C ．
1316
D
二、多选题
3．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，1160A AB DAB A AD ∠=∠=∠=︒，则下
列说法正确的是（ ） A ．线段
1AC 的长度为B ．异面直线11BD B C ，夹角的余弦值为1
3
C ．对角面11BB
D D 的面积为
D
．平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，下列说法正确的是（ ） A ．平面1
PAC ⊥平面11AB D B ．//DP 平面11AB D
C ．异面直线DP 与1A
D 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤
⎥⎦
⎝
D ．三棱锥11D APB -的体积不变
5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 运动，则（ ）
A ．三棱锥11P AC D -的体积为定值
B ．异面直线AP 与1A D 所成的角的取值范围为45,90⎡⎤⎣⎦
C ．直线1C P 与平面11AC
D D ．过P 作直线1//l AD ，则l DP ⊥
6．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别为BC ，CD ，BE 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于S ，得到四面体S AEF -(如图2).下列结论正确的是（ ）
A ．四面体S AEF -
B ．顶点S 在面AEF 上的射影为AEF 的重心
C ．SA 与面AEF
D ．过点G 的平面截四面体S AEF -的外接球所得截面圆的面积的取值范围是13π,π42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
三、双空题
7．边长为2的正方体1111ABCD A B C D -内（包含表面和棱上）有一点P ，M 、N 分别为11A B 、1DD 中点，且AP AM AN λμ=+（λ，R μ∈）． （1）若111D P tDC =（t R ∈）
，则t =______． （2）若11A P k AC =（
k ∈R ），则三棱锥11A PD C -体积为______．
四、填空题
8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面α，使得AP α⊥且垂足为E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为__________．
9．如图所示，在三棱柱中，已知ABCD 是边长为1的正方形，四边形AA B B ''是矩形，平面AA B B ''⊥平面ABCD .若1AA '=，则直线AB 到面DA C '的距离为___________.
10．设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA ⊥平面ABCD ，3AB =，4BC =，1PA =，则点P 到直线BD 的距离为___________.
11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，12CA CB CC ===，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，则BM 与AN 所成的角的余弦值为___________.
12．已知正四面体A BCD -的外接球半径为3，MN 为其外接球的一条直径，P 为正四面体A BCD -表面上任意一点，则PM PN ⋅的最小值为___________．
五、解答题
13．如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面互相垂直，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l .
（1）求l 与AC 所成角的大小； （2）求二面角A CE D --的余弦值.
14．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，
24AB AD CD ===，平面PBC ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，且12
CE PB =.
（1）求证：PC ⊥平面ABCD ；
（2）若直线PA 与平面ABCD P AC E --的余弦值. 15．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.
（1）证明：AE PB ⊥；
（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为
4
π
，求二面角A PE C --的正弦值.
16．如图，正三棱锥P ABC -中，PA 与底面ABC ．
（1）证明：PA ⊥面PBC ；
（2）设O 为ABC 的中心，延长AO 到点E 使得3AE AO =，求二面角A PC E --的平面角的大小． 17．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2DC ＝2P A ＝2，对角线AC 与BD 交于O 点，连接PO .
（1）求证：AC ⊥PB ；
（2）过B 点作一直线l 平行于PC ，设Q 为直线l 上除B 外的任意点，设直线PQ 与平面P AC 所成角为θ，求sin θ的取值范围.
18．如图，在七面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，其中60BAD ∠=，,,BCE CEF CDF 为等边三角形，且AB BE ⊥，G 为CD 的中点.
（1）证明：AB ⊥平面EFG ；
（2）求平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.
19．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，
O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，
1AB AA =证明：1AC ⊥平面11BB D D .
20．如图是矩形ABCD 和边AB 为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿AB 折叠，使平面ABCD 垂直于半圆所在的平面，若点E 是折后图形中半圆O 上异于,A B 的点．
（1）证明：EA EC ⊥；
（2）若22AB AD ==，且异面直线AE 和DC 所成的角为6
π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值．
21．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1的长度为2，且⊥A 1AB =⊥A 1AD =120°.求：
（1）AC 1的长；
（2）直线BD 1与AC 所成角的余弦值.
22．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒，E 是AD 的中点．
（1）求证：BE ⊥平面PAD ；
（2）求平面PAB 与平面PBC 所成角的余弦值．
23．如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB ⊥AD ，CD =PD =P A =AD =
12
AB =2.
（1）求证：平面PBC ⊥平面P AB ； （2）求二面角D —PC —B 的正弦值.
24．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB
上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =
．
（1）证明：AC DE ⊥；
（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --？若存在，求出E 点位置，若不存在，请说明理由．
25．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
//PD QA ，M 为PC 中点，222PD QA AB ===.
（1）证明：//QM 平面ABCD ； （2）求二面角Q BP A --的余弦值.
26．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．
（1）求证：PD AC ⊥；
（2）试验表明，当1
2
PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．
27．如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，
（1）过D B E ''､､三点作正方体的截面α； （2）半平面B BE '与平面α所成的二面角的大小；
28．如图⊥所示，在边长为12的正方形'11'AA A A 中，点B ，C 在线段'AA 上，且3AB =，4BC =．作11//BB AA ．分别交'11A A ，'1AA 于点1B ，P ；作11//CC AA ，分别交'11A A ，'1AA 于点1C ，Q ．现将该
正方形沿1BB ，1CC 折叠，使得'
1'A A 与1AA 重合，构成如图⊥所示的三棱柱111ABC A B C -．
（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：⊥AP BC ； （2）求平面PAQ 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．
29．如图，在三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为棱AC 的中点,M 为棱DP 的中点，N 为棱PC 上靠近点C 的三等分点，2PA PC AB BC ====，AB BC ⊥.
（1）若点H 在线段BD 的延长线上，且DB DH =，问：在棱AP 上是否存在点E ，使得HE 与BN 垂直？请说明理由；
（2）求平面BMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.
30．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是PC ，PD 上的动点，且PE FD PF EC ⋅=⋅．
（1）求证：EF ⊥平面PAD ；
（2）若13PE PC =，且PC 与底面ABCD 所成角的正弦值为35
，求二面角C AE D --的余弦值． 31．如图，菱形ABCD 与正三角形DEF 所在平面互相垂直，60BCD ∠=︒，E ，G 分别是线段AB ，CF 的中点．
（1）求证：//BG 平面DEF ；
（2）求直线BC 与平面DEG 所成角的正弦值．
32．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，A ，D ，B 分别在x ，y ，z 轴的正半轴上，C 在平面BOD 内.
（1）若OE CD ⊥，证明：CD AE ⊥.
（2）已知3OA OD ==，2OB =，C 的坐标为()0,2,4，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值. 33．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，PD 的中点为F .
（1）求证：//PB 平面ACF .
（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
⊥四棱锥P ABCD -，⊥FC 与平面ABCD 所成的角为6π，
⊥BD =若___________，求二面角F AC D --的余弦值.
34．某直四棱柱被平面AEFG 所截几何体如图所示，底面ABCD 为菱形，
（1）若⊥BG GF ，求证：BG ⊥平面ACE ；
（2）若1BE =，2AB =，60DAB ∠=︒，直线AF 与底面ABCD 所成角为30º，求直线GF 与平面ABF 所成角的正弦值.
35．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，//AB CD ，3PD BC CD ===，4AB =．过点D 做四棱锥P ABCD -的截面DEFG ，分别交PA ，PB ，PC 于点E ，F ，G ，已知14AE AP =，13
CG CP =．
(1) 求直线CP 与平面DEFG 所成的角；
(2) 求证：F 为线段PB 的中点．
36．如图1所示，在菱形ABCD 中，AB AC ==AC 与BD 相交于点O ，现沿着对角线AC 折成一个四面体ABCD ，如图2所示．
（1）在图2中，证明：AC BD ⊥；
（2）若图2中BD =点P 是线段BD 的三等分点（靠近点D ），求二面角P AC D --的余弦值． 37．已知四棱锥E ABCD -中，三角形ADE 所在平面与正三角形ABE 所在平面垂直，四边形ABCD
是菱形，2,AE BD ==
（1）求证：平面ABCD ⊥平面ACE ；
（2）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值.
38．已知P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，2PA AB ==．
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）当12
AC CB =时，求二面角C PB A --的余弦值．
39．如图，在三棱柱111ABC
A B C ﹣中，1BCC 为正三角形，AC BC ⊥，12AC AA ==，1AC =点P 为1BB 的中点．
（1）证明：1CC ⊥平面11AC P ；
（2）求平面1ABC 与平面11AC P 所成锐二面角的余弦值．
40．如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别为棱,,PC AC AB 的中点．已知PA AC ⊥，6PA =，
（1）求证：平面BDE⊥平面ABC；
--的平面角的余弦值；
（2）求二面角A PC B
-分为两个几何体，则他（3）延展平面DEF与棱PB交于H点，则四边形EFHD把三棱锥P ABC
V V=_____．（此问仅写结果，不需写出过程）
们的体积比:
PAEFHD BCEFHD
41．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，ABC为正三角形，AB=AA1=2，E是BB1的中点.
（1）求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角B﹣AC1﹣E的余弦值.
-中，平面ABE⊥平面BCDE，四边形BCDE是边长为4的正方形，42．如图，在四棱锥A BCDE
M，N分别为AE，AC的中点.
MN平面BCDE；
（1）求证：//
43
．如图所示，已知长方形ABCD 中，2AB AD ==M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥．
（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；
（2）若E 点满足23
BE BD =，求二面角E AM D --的大小？ 44．如图，四边形ABEF 为正方形，//AD BC ，AD ⊥DC ，AD =2DC =2BC ，
（1）求证：点D 不在平面CEF 内；
（2）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，求二面角A ﹣CF ﹣D 的余弦值．
45．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E 为棱AB 的中点．
（1）证明：AC PE ⊥；
（2）若PA AD =，60BAD ∠=︒，求二面角E PC B --的余弦值．
46．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．
（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；
（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．
（III ）求二面角11A AC E --的正弦值．
47．如图，在四棱锥РABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，//AD BC ，90ADC ∠=︒，1
12
BC AD ==，CD =Q ，M 分别为AD ，PC 的中点，
（1）求证：Q ，P ，C ，B 四点在同一球面上，并说明球心及半径；
（2）画出平面PAB 与平面PDC 的交线（不需要写画法）．
（3）设平面PAB 与平面PDC 的交线为l ，直线l 与平面ABCD 求平面MQB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小．
48．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122,,AC AA AB BC D ===为AC 的中点.
（1）证明：1DC ⊥平面1A BD .
（2）若1BD =，求二面角11B DB C --的余弦值.
49．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．
（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；
（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．
50．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形SD ⊥底面,2ABCD DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中
点，AD =
（1）求异面直线CD 与BM 所成角的大小；
（2）求二面角S AM B --的正弦值.
【答案与解析】
1．C
【解析】
向量法. 以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量(1,1,1)AD =--，点(),0,0Q q ()01q ≤≤，对于点P 的设法，采用向量式AP AB λ=，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解.
如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，
建立空间直角坐标系，
则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，
设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，
则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---，
(1,1,1)AD =--，
异面直线PQ 与AD 成30的角，
||cos30||||PQ AD PQ AD q ⋅∴===⋅ 22182516q q λ∴+=-+，
201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，
即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得λ≤≤
01,0λλ<≤∴<≤
可得||||2(0,1]PA AP λ==∈.
故选：C.
2．D
【解析】
以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．
由题意以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，
(0,3,0)A -，(0,3,0)B ，(3,0,0)C -，(0,0,3)S ， 又14
SE SB =， 1139(0,0,3)(0,3,3)(0,,)4444
OE OS SE OS SB =+=+=+-=． (3,0,3)SC =--，
则274cos ,3OE SC
OE SC OE SC -⋅<>===， 设异面直线SC 与OE 所成角为θ，则
3cos cos ,10OE SC θ=<>
=
，θ为锐角，
sin θ=sin tan cos θαθ== 故选：D ．
3．AD
【解析】
设1,,AB a AD b AA c ===，求得2222,4a b a b c ⋅====，根据1AC a b c =++，求得1AC 的值，可判定
A 正确；由110BD BC ⋅=，可判定
B 错误；由ABD △为正三角形，根据10DD DB ⋅=，得到对角
面11BDD B 为矩形，可判定C 错误；由16A ABD V V -=，可判定D 正确.
设1,,AB a AD b AA c ===，则22222cos 602,4a c b c a b a b c ⋅=⋅=⋅=⨯====， 对于A 中，因为1AC a b c =++，
可得2
2
2
1=22224AC a b c a b c a b a c b c =+++++⋅+⋅+⋅== 所以A 正确；
对于B 中，因为2
2
11()()0BD B C b c a b c c b a c a b ⋅=+-⋅-=-++⋅-⋅=， 可得异面直线1BD 与1B C 夹角的余弦值为0，所以B 错误；
对于C 中，因为2,60AB AD DAB ==∠=，所以ABD △为正三角形，可得2BD =， 因为1()0DD DB c a b c a c b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，所以1DD BD ⊥，
所以对角面11BDD B 为矩形，其面积为22=4⨯≠C 错误； 对于D 中，设AC 与BD 交于点O ，连接1OA ，取1AA 的中点M ，连接OM ，
可得111
1
662223
2
A ABD AA O
V V S
BD -==⨯⋅=⨯⨯=，所以D 正确. 故选：AD.
4．ABD 【解析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；
解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()11,1,1B ，()10,0,1D ，()0,1,0C ，
()11,0,1A ，()0,0,0D ，因为点P 在线段1BC 上运动，设(),1,1P t t -，[]0,1t ∈，则(),1,1DP t t =-， 所以()10,1,1AB =，()11,0,1AD =-，()11,1,1CA =-，所以()110111110AB CA ⋅=⨯+⨯-+⨯=，
()()110111110AD CA ⋅=⨯-+⨯-+⨯=，所以11AB CA ⊥，11AD CA ⊥，因为11AB AD A ⋂=，11,AB AD ⊂
平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为1
AC ⊂平面1PA C ，所以平面1PAC ⊥平面11AB D ，故A 正确；
显然()11,1,1CA =-可以作为平面11AB D 的法向量，因为()1111110CA DP t t ⋅=⨯-⨯+⨯-=，所以
1CA DP ⊥，因为DP ⊄平面11AB D ，所以//DP 平面11AB D ，故B 正确；
因为11//AB D C 且11=AB D C ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，所以直线DP 与1BC 所成角即为异面直线DP 与1AD 所成角，显然当P 在1BC 的两端点时所成的角为3
π
，当P 在1BC 的中点时所成的角为
2π，故异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，故C 错误； 因为11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1//B C 平面11AB D ，所以1B C 到平面11AB D 距离即为P 到平面11AB D 的距离，故P 到平面11AB D 的距离为一定值，设P 到平面11AB D 的距离为h ， 则111111
1
3
D APB P D AB D AB V V S
h --==⋅为定值，故D 正确；
故选：ABD
5．ACD 【解析】
对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项A ，找到异面成角的最小值的情况即可判断选项B,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1
C P 与直线1B
D 所成角的余弦值最大,进而判断选项C ，利用线面垂直的性质判定可判定选项D. 如图，
对于选项A ，1111P A C D C A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以111
2
A DP S A D A
B =
⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故A 正确； 对于选项B ，当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒, 故B 错误； 对于选项C ，因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在
11Rt D C B 中
,1111cos C B C BD BD ∠=
==,故C 正确; 对于选项D ，连接1B D ,由正方体可得11BC B C ⊥,且DC ⊥平面11B C CB ,则1DC BC ⊥,所以1BC ⊥平面1CDB ,故1BC DP ⊥，过P 作直线1//l AD ，则1//l BC ,所以l DP ⊥；故D 正确.
故选：ACD 6．ACD 【解析】
折叠问题，关键是抓住其中的不变量.
选项A ：说明SA ､SE ､SF 两两垂直，将四面体的外接球问题，转化为长方体的外接球问题； 选项B ：由于SA ､SE ､SF 两两垂直，可证S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心； 选项C ：线面角的定义法求解；
选项D ：将四面体补成长方体，找出球心，将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题.
对于A 项，易知SA ､SE ､SF
两两垂直，故可以补成长方体，其体对角线长l ，
外接球半径R =，故外接球体积为3
4π3V ==⎝⎭
， 故A 项正确；
对于B 项，由于SA ､SE ､SF 两两垂直，故S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心， 理由如下:如图，过点S 作SO ⊥平面AEF ，交平面AEF 于点O ， 因为SO ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以SO EF ⊥，
又因为SA SE ⊥，SA SF ⊥，SE ，SF 都在平面SEF 内，且相交于点S ， 所以SA ⊥平面SEF ，又EF ⊂平面SEF ，所以SA EF ⊥，
又SO SA A =，所以EF ⊥平面SAO ，又AO ⊂平面SAO ，所以AO ⊥EF . 同理可证EO AF ⊥，FO AE ⊥，所以S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心.
故B 项错误；
对于C 项，设M 为EF 中点，则EF SM ⊥，AM EF ⊥，SM AM M ⋂=，
故EF ⊥平面SAM ，故平面AEF ⊥平面SAM ，所以SA 在平面AEF 上的射影为AM ，
SA 与平面AEF 所成角为SAM ∠，2SA =，2
SM =
，π2ASM ∠=，tan SAM ∠=
故C 项正确；
对于D 项，设O 为四面体S AEF -的外接球球心，OM ⊥平面SEF ，连接MG ，OG ，
当过点G 的截面经过球心O 时截面圆面积最大，面积为3
π2
；
当OG 垂直截面圆时，截面圆面积最小，
此时1122GM SF =
=，1OM =，OG ==
1
2r ===，截面圆面积为π4， 得截面圆面积取值范围是13π,π42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
故D 项正确. 故选：ACD.
方法点睛：求解几何体的外接球问题或空间角问题一般从以下角度出发：
(1) 外接球问题，关键是找出球心，规则图形的球心在对称中心；不规则图形，能补成规则图形最好，若不能，则利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，可做出球心，再利用几何知识求解. (2) 空间角的处理一般是建系，用向量法求解；若图形中垂直关系明显，空间角容易找出，也可用空间角的定义求解. 7．14 4
7
【解析】
（1）以AB ，AD ，1AA 为基底，把向量1D P ，11DC 分别用基底表示，利用两个向量相等的条件即可算出；
（2）由11A P k AC =得，1A ，P ，
C 三点共线，利用（1）把k 求出来，再利用等体积法1111
A PD C P AD C V V --=算出P 到面11AD C 的距离，三角形11AD C 的面积，即可算出体积. 如图，
（1）111()D P D A AP AM A DD AN D λμ=+=-+++
111
()()AA AD AA AM AD DN λμ++-+=-+ 11111
()()22
AA AA AB AD AD AA λμ=-+-++
+ 11111
12
(()1)2A AB u u AA tD C t A D B λλ=+-+-=+=, 所以1
2101
10
2t u u λλ⎧=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩
，所以14t =.
（2）11111(11
(1)1)22A P A D D AB P AD AD u u AA λλ+=+=++-+-
111
)22
(1AD AB u u AA λλ=+++-， 1
11AC A A AB BC AB AD AA =++=+-， 因为11A P k AC =，
所以1111
1)(22
()AD AB AD AA AB u u AA k λλ++-=++-，
所以1
21
12k u k u k
λλ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪+-=-⎩
，所以27k =，
如图，连接1A D ，1A C ，分别与1AD ，1AC 交于点E ，O ， 连接EO ，过点P 作1//PG A E ，
在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1A E ⊥面11AD C ， 所以PG ⊥面11AD C ，
因为111
2
A E A D = 因为1112477A P AC AO ==，所以137OP AO =，
所以137PG A E =
=
1111111
222
AD C S AD D C =
⋅=⋅=△，
所以111111114
3377A PD C P AD C AD C V V S PG --==⋅⋅=⋅=，
故答案为：（1）14；（2）4
7
.
8．【解析】
由P BCE P ABC E ABC V V V ---=-，可得当E ABC V -最大时，P BCE V -最小，建立空间直角坐标系求E 到底面距离的最大值，则答案可求．
解：设BC 中点为O ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
得(6A ，0，0)，设(E x ，0，)z ，则(6,0,)AE x z =-，(,0,)OE x z =，
AP α⊥，∴AE OE ⊥，得2(6)00x x z -++=，则z
当3x =时，3max z =， 又1
(4)3
P BCE P ABC E ABC ABC
V V V S
z ---=-=⋅-，
∴三棱锥P BCE -体积的最小值为116132
V =⨯⨯⨯=
故答案为：
9
【解析】
建立空间直角坐标系，设(11,
)DA a '=-，，设面DA C '的法向量为1(1)n x y =，，，利用空间向量数量积求得法向量，由直线AB 到面DA C '的距离d 就等于点A 到面DA C '的距离，利用射影的求解公式求解即可得出结论.
如图建立空间坐标系A xyz -，设(11,
)DA a '=-，，
(010)DC =，，，设面DA C '的法向量为1(1)n x y =，，，
则有1100DA n DC n ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
'，得1(01)n a =，
，， 直线AB 到面DA C '的距离d 就等于点A 到面DA C '的距离，
也等于向量AD 在面DA C '的法向量上的投影的绝对11||2
2||
AD n
d n ⋅==. 故答案为：2
. 10．
13
5
【解析】
求出BP 在BD 上的射影长再利用勾股定理可得答案.
因为，，⊥⊥⊥BA BC AP BC AP BA ， 所以00=0，，⋅⋅=⋅=BA BC AP BC AP BA ， ()()
⋅=+⋅+BP BD BA AP BC BA
()
22
9=⋅++⋅+⋅==BA BC BA AP BC AP BA AB ，
22225=+=BD BC CD ，22210=+=BP BA AP ，
所以5BD =，2
10=AP ，
因为
·95=
PB BD BD
，所以BP 在BD 上的射影长为9
5
， 所以点P 到直线BD 的距离2
2
·13
105=-
==
PB BD d AP BD .
故答案为：135
. 11【解析】
如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线所成的角．
如图所示，建立空间直角坐标系，可得(2A
，0，0)，(0B ，2，0)，(1M ，1，2)，(1N ，0，2).
∴(1AN =-，0，2)，(1BM =，1-，2)，
cos AN ∴<，1||||5AN BM BM AN BM ⋅->=
=⋅
12．8- 【解析】
设正四面体外接球球心为O ，把,PM PN 用,,PO OM ON 表示并计算数量积后可得． 设正四面体外接球球心为O ， 正四面体A BCD -的外接球半径为3，
设正四面体A BCD -内切球半径为r ，一个面的面积为S ，高为h ，则11
433ABCD V Sr Sh =⨯=，所以
4h r =，显然34r h r +==，所以1r =，即min 1PO =．
22
()()9198PM PN PO OM PO ON PO OM ON PO ⋅=+⋅+=+⋅=--=-．
故答案为：8-． 13．（1）45°；（2）5
7
.
【解析】
（1）由四边形ABCD 为正方形，可得//AB CD ，再由线面平行的判定定理可得//AB 平面CDE ，由线面平行的性质定理可得//l AB ，由45BAC ∠=︒可得l 与AC 所成角的大小是45︒；
（2）分别取AB 、CD 的中点O 、F ，连接EO ，可得OA 、OE 、OF 两两垂直，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OF 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值
解：（1）⊥四边形ABCD 为正方形，⊥//AB CD ， ⊥AB ∉平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，
⊥//AB 平面CDE ， 又⊥AB
平面ABE ，且平面ABE 平面CDE =直线l ，⊥//l AB ，
⊥四边形ABCD 为正方形，⊥45BAC ∠=︒， 故l 与AC 所成角的大小是45︒；
（2）分别取AB 、CD 的中点O 、F ，连接EO ， 由ABE △为等边三角形，可知EO AB ⊥， 由四边形ABCD 为正方形，知FO AB ⊥，
⊥平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =， 且FO ⊂平面ABCD ，⊥FO ⊥平面ABE ，
以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OF 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB =，则()1,0,0A ，()1,0,2C -
，()
E ，()1,0,2D ， 于是()2,0,2AC =-
，()
1,2CE =-，()2,0,0CD =， 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =
， 由20220
m CE x z m AC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =
，可得(
3,1,m =；
设平面CDE 的一个法向量为()111,,n x y z =
，
由11112020n CE x z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩
，取12y =，可得(0,2,3n =.
⊥025
cos ,7
7m n m n m n
⋅+
=
=
=⨯⋅. 由图可知，二面角A CE D --为锐二面角，则其余弦值为5
7
.
14．（1）证明见解析；（2
【解析】
（1）依题意可得PCB 为直角三角形，即可得到PC BC ⊥，根据面面垂直的性质定理即可证明； （2）由（1）可知PAC ∠即为直线PA 与平面ABCD
所成角，即可得到
PC PA =
求出PC ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 解：（1）在PCB 中，因为E 是PB 的中点， 且1
2
CE PB =
，所以CE EB PE ==， 所以PCB 为直角三角形，所以PC BC ⊥，
又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PC ⊂平面PBC ， 所以PC ⊥平面ABCD
（2）因为PC ⊥平面ABCD ，所以直线PA 与平面ABCD 所成角为PAC ∠，
所以sin PC PAC PA ∠=
=
又222AC AD DC =+，4=AD ，2DC =，
所以AC =在Rt PAC △中，设PC x =，
则PA =，所以222PA PC AC =+
，即
)
(2
2
2x =+，解得2x =，即2PC =，作//CF DA 交AB 于点F ，
因为AB AD ⊥，所以AB CF ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()4,2,0A ，()4,2,0B -，
()002P ,,，()2,1,1E -，()4,2,0CA =，()2,1,1CE =-，()0,0,2CP =，设面PAC 的法向量为(),,n x y z =，所以420
20
n CA x y n CP z ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1x =，则2y =-，0z =，所以()1,2,0n =-，
设面EAC 的法向量为()111,,m x y z =，所以11111420
20m CA x y m CE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨
⋅=-+=⎪⎩
，令11x =，则12y =-，14z =-，
所以()1,2,4m =--，设二面角P AC E --为θ
，显然二面角为锐二面角，所以
5cos 5n m n m
θ⋅=
=
=⨯⋅；
15．（1）证明见解析；（2. 【解析】
（1）设AE 的中点为O ，连接OP 、OB ，证明出AE ⊥平面POB ，进而可得出AE PB ⊥； （2）证明出PO ⊥平面ABCE ，然后以O 为原点，OE 为x 轴、OB 为y 轴、OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. （1）设AE 的中点为O ，连接OP 、OB ，
翻折前，因为1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 的中点，则1AD DE ==， //AB CE 且1AB CE ==，故四边形ABCE 为平行四边形，则BC AE =，
故AD DE AE ==，所以，ADE 为等边三角形， O 为AE 的中点，则OD AE ⊥，
因为//AB CD ，则3
BAE AED π
∠=∠=
，
翻折后，则有OP AE ⊥，在ABO 中，1AB =，1
2AO =
，3
BAO π∠=， 由余弦定理可得222
3
2cos
3
4
OB AB AO AB AO π
=+-⋅=
，222AO OB AB ∴+=， 所以，OB AE ⊥，
OP OB O =，AE ∴⊥平面POB ，
PB ⊂平面POB ，故AE PB ⊥；
（2）在平面POB 内作PQ OB ⊥，垂足为Q ， AE
平面POB ，PQ ⊂平面POB ，所以，PQ AE ⊥，
PQ OB ⊥，AE OB O =，PQ ∴⊥平面ABCE ，
所以，直线PB 与平面ABCE 所成角为4
PBO π
∠=，
因为，OP OB =，则4
OPB π
∠=
，所以，OP OB ⊥，故O 、Q 两点重合，
即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴、OB 为y 轴、OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
、1,0,02E ⎛⎫
⎪⎝⎭
、C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，则1,0,2PE ⎛= ⎝⎭
，12EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PCE 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n PE n EC ⎧⋅=⎪
⎨⋅=⎪⎩
，即1
02102
x x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，
令x =(
)
13,1,1n =
-，易知平面PAE 的一个法向量为()20,1,0n =，
所以，121212
cos ,n n n n n n ⋅<>=
=-
=⋅212122sin ,1
cos ,5
n n n n <>=-<>=. 因此，二面角A PE C --
16．（1）证明见解析；（2）3
π4
.
【解析】
（1）取底面中心O ，不妨设2AO =，根据线面角可得AC =PA PB ⊥，根据正棱锥的性质可得PA PC ⊥，进而可得结果；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，易得面PAC 的法向量，求出面PCE 的法向量，求出法向量夹角的余弦值即可得结果
.
（1）由题意知：取底面中心O ，则有PO ⊥
面ABCD ， 所以PAO ∠即为PA 与底面ABC 所成角， 不妨设2AO =
，则有PO
=PA 在正ABC 中，因为2AO =，所以AC =
在PAB △中，因为222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥⊥ 又因为正三棱锥，所以PA PC ⊥⊥
所以PA PB PA PC
PA PB PC P ⊥⎧⎪
⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩
面PBC ． （2）因为ABC 为等边三角形，取BC 中点D ，则AD BC ⊥， 作//l PO ，则l ⊥面ABC ．
以D 为原点，DB ，DE ，l 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则有：()0,0,0D
，)B
，(0,P -，()0,3,0A -
，()
C ，()0,1,0O -，
所以()30,6,0AE AO ==，所以()0,3,0E ． 因为PB ⊥面PAC
，所以(
13,1,n =
为面PAC 的法向量，
设面PCE 的法向量为()2,,n x y z =
，所以由(20
32,0n PC n n PE ⎧⋅=⇒=-⎨
⋅=⎩
．
所以121212
36cos ,2n n n n n
n ⋅=
=
=⋅，所以二面角的大小为3π4
．
17．（1）证明见解析；（2）⎛ ⎝⎦
.
【解析】
（1）延长BA 、CD 交于一点R ，根据平面几何知识得CA ⊥BA ，根据线面垂直的判定和性质可得证； （2
）由（1）得，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，设PQ PB tPC =+，其中,0t t ∈≠R ，根据线面角的向量求解方法表示sin θ=
，再由二次
函数的性质可求得范围.
（1）延长BA 、CD 交于一点
R ，因为AD ⊥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2DC ＝2，
所以RBC △为正三角形，且AD 为三角形RBC 的中位线，即A 为BR 边的中点，所以CA ⊥BA ，
因为P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC ， 因为 AB P A ＝A ，所以AC ⊥平面P AB ，PB ⊥平面P AB ， 所以AC ⊥PB ；
（2）由（1）得，AP ，AB ，AC 两两垂直，
故以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，则平面P AC 的法向量为1(1,0,0)n =，
P （0，0，1），C （00），B （1，0，0），
所以PC ＝（01），PB ＝（1，0，－1），
因为l ⊥PC ，所以可设(1,0,1)1),(1))PQ PB tPC t t =+=-+-=-+，其中,0t t ∈≠R ，
2||sin ||||1n PQ n PQ θ⋅=
==
⋅
因为,0t t ∈≠R ，所以2
7422,4t t ∞⎡⎫++∈+⎪⎢⎣⎭
，
所以
sin θ⎛=
⎝
⎦，当且仅当14t =-时，sin θ=
18．(1) 证明见解析； (2) 79
. 【解析】
(1)利用线面垂直的判定证AB ⊥ 平面BEG ，得到AB EG ⊥，再证AB ⊥平面EFG ； (2)几何法求解.先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角. (1) 连接BG ，FG ，
因为G 为菱形ABCD 的边CD 上的中点，
所以11
22
CG CD CB ==，又60BCD BAD ∠=∠=︒，
由余弦定理得222
232cos604
BG CG CB CG CB CB =+-⋅=，
由22222314
4
CB CB BG CG CB ++==，知BG CG ⊥，即BG CD ⊥， 又//AB CD ，所以AB BG ⊥ . 根据题意，有AB BE ⊥
又BG ，BE 都在平面BGE 内，且相交于点B 所以AB ⊥ 平面BEG
又EG ⊂平面BEG ，所以AB EG ⊥.
在等边三角形CDF 中，因为G 为CD 的中点，所以CD GF ⊥. 又在菱形ABCD 中，//AB CD ，所以AB GF ⊥. 因为EG ，GF 都在平面EFG 内，且相交于点G ， 所以AB ⊥ 平面EFG .
(2) 因为平面 ABCD 与平面CDF 的交线为CD ， 由(1)知，BG CD ⊥，FG CD ⊥，
所以BGF ∠为二面角A CD F --的平面角， 设
2AB = ，则有2BE EF == ，BG GF = 由(1)知，AB ⊥ 平面BEG ，又AB
平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥ 平面BEG ，
过点E 作EM BG ⊥交BG 于点M ，则有EM ⊥平面ABCD ，
又BEC △ 为等边三角形，所以BM CM =，GM =EM =
，EG =.
在BEG 和EFG 中，由余弦定理得
2221cos 23BG EG BE BGE BG EG +-∠==⋅，2221
cos 23EG FG EF EGF EG FG +-∠==⋅，
所以BGE EGF ∠=∠
则2
7cos cos 22cos 19
BGF BGE BGE ∠=∠=∠-=-，
所以平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为7cos 9
BGF ∠= . 立体几何图形证明线面、面面位置关系或求线面、面面角可从以下几点考虑：
(1)证明线面、面面位置关系的一般方法是利用相关的判定定理和性质定理，需注意二者的相互转化.若有坐标系也可利用向量法证明.
(2)求线面、面面角的一般方法是向量法，若图形容易确定所求角，也可利用几何法，结合解三角形知识求角. 19．证明见解析 【解析】
以O 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得向量坐标，利用空间向量数量积证得1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，然后利用线面垂直判定定理证得结论.
⊥OA ､OB ､1OA 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，
⊥1AB AA =⊥11OA OB OA ===，
⊥(100)A ，
，､(010)B ，，､(100)C -，，､(010)D -，，､1(001)A ，，， 由11AB A B =易得1(101)B -，，，⊥1
(101)AC =--，，､(020)BD =-，，､1(101)BB =-，，， ⊥10AC BD ⋅=，110AC BB ⋅=，⊥1AC BD ⊥，11AC BB ⊥， 又1BD BB B ⋂=，且BD ､1BB ⊂平面11BB D D ，⊥1AC ⊥平面11BB D D .
20．（1）证明见解析；（2
． 【解析】
（1）由面面垂直的性质得BC ⊥圆O ，由线面垂直的性质得BC EA ⊥，根据线面垂直的判定可得EA ⊥面EBC ，再由线面垂直的性质可证EA EC ⊥.
（2）法一：以点O
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，首先求得1
,0)2
E ，再分别求平面DCE 和平面AEB 的法向量，利用法向量求二面角的余弦值；法二：首先作出两个平面的交线，再作出二面角的平面角，再求二面角的余弦值.
（1）⊥平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，⊥BC 垂直于圆O 所在的平面．又EA 在圆O 所在的平面内，⊥BC EA ⊥． ⊥AEB ∠是直角，⊥BE EA ⊥．而BE BC B =，⊥EA ⊥平面EBC ． 又⊥EC ⊂平面EBC ，⊥EA EC ⊥． （2）法1（向量法）：
如图，以点O 为坐标原点，
AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，
建立空间直角坐标系O xyz -．由异面直线AE 和DC 所成的角为6
π
，//AB DC 知6
BAE π
∠=，
⊥3
BOE π
∠=
，
⊥1
,0)2
E ． 由题设可知(0,1,1)C ，(0,1,1)D -，⊥33
(
,1)2
DE =-，31(,1)2CE =--． 设平面DCE 的一个法向量为000(,,)p x y z =， 由0DE p ⋅
=，0CE p ⋅
=0000003
021
02
x y z x y z +-=
--= 得00z =，00
y =，取02x =
，得0z
⊥
p =．又平面AEB 的一个法向量为(0,0,1)q =，
⊥21
cos ,7
p q p q p q ⋅<>=
=．
故平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值7
法2（几何法）：
如图，过点E 作直线//m DC ， 则m 是平面DCE 与平面AEB 的交线． 再过点B 作BP m ⊥，P 为垂足，连接CP ，则
BPC ∠是平面DCE 与平面AEB 所成锐二面角的平面角．
在直角三角形AEB 中，6
BAE π
∠=，2AB =，所以 1.BE =
在直角三角形PEB 中，,13
BEP BE π∠=
=，所以BP =
．
在直角三角形PBC 中，BP PC BPC PC =∠==
故平面DCE 与平面AEB ．
21．（1）1AC （2 【解析】
（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出1AC 的长；
（2）分别求出11||,||,AC BD AC BD 的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值． 解：（1）
111111AC AA A B BC =++，
()
2
2
222
111111
1111111111111
11222AC AA A B B C AA A B B C AA A B AA B A C B B C ∴=++=+++⋅+⋅+⋅222211212cos120212cos120211cos902=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
1AC ∴=
（2）
AC AB BC =+
2
2
2
222()21102AC AB BC AB BC AB BC ∴=+=++⋅=++=
2AC ∴=
111111BD BB B A A D =++
()
2
2
222
1111111111111111111
1
1222BD BB B A A D BB B A A D BB B A BB A D B A A D ∴=++=+++⋅+⋅+⋅222211212cos60212cos120211cos906=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
16BD ∴=()()
1111112AC BD AB BC BB B A A D ∴⋅=+⋅++=-
111
cos ,2AC BD AC BD AC
BD ⋅∴=
=
=⋅
所以直线BD 1与AC 22．（1）证明见解析；（2 【解析】
（1）由面面垂直的性质定理得PE ⊥平面ABCD ，故PE BE ⊥，再结合菱形的性质得BE AD ⊥，进而得BE ⊥平面PAD ；
（2）由()1可知EA EB EP ，，两两垂直，故以E 为原点，EA EB EP ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
解：（1）证明：由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥，
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，且PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ， 又BE ⊂平面ABCD ， 所以PE BE ⊥，
又因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒， 所以BE AD ⊥， 又PE
AD E =，且PE ，AD ⊂平面PAD ，
所以BE ⊥平面PAD ；
()2解：由()1可知EA EB EP ，，两两垂直，。