2020-2021学年上海市金山区九年级(上)期末数学试卷(一模)

2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．（4分）已知二次函数2(2)1y x =--，那么该二次函数图象的对称轴是( )
A ．直线2x =
B ．直线2x =-
C ．直线1x =
D ．直线1x =-
2．（4分）下列各点在抛物线22y x =上的是( )
A ．(2,2)
B ．(2,4)
C ．(2,8)
D ．(2,16)
3．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么锐角A 的正弦等于( )
A ．A A 锐角的对边
锐角的邻边
B ．A 锐角的对边
斜边
C ．
A 锐角的邻边
斜边
D ．
A A 锐角的邻边
锐角的对边
4．（4分）若α是锐角，2
sin(15)α+︒=，那么锐角α等于( )
A ．15︒
B ．30︒
C ．45︒
D ．60︒
5．（4分）如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，2AD =，3BD =，
BC a =，那么ED 等于( )
A ．2
3
a
B ．23
a -
C ．25
a
D ．25
a -
6．（4分）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有公共点，那么C 的半径r 的取值范围是(
)
A ．1205
r
B ．
12
35
r C ．
12
45
r D ．34r
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．（4分）计算：3
2()2
a a
b +-= ．
8．（4分）已知2()3f x x x =+，那么(2)f -= ．
9．（4分）抛物线2
2y x =-沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是 ．（填“上升”或
“下降” )
10．（4分）正十边形的中心角等于 度． 11．（4分）已知1O 和2O 的半径长分别为3和4，若1O 和2O 内切，那么圆心距12
O O 的长等于 ．
12．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15AB =，4
sin 5
A =
，那么BC = ． 13．（4分）在ABC ∆中，::1:2:5AB AC BC =，那么tan B = ．
14．（4分）已知：如图，ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，//DF AE 交BC 于F ，那么
DF
AG
= ．
15．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，设AB a =，AD b =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为 ．
16．（4分）如图，已知O 中，120AOB ∠=︒，弦18AB =，那么O 的半径长等于 ．
17．（4分）如图，在ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若2CE BE =，
ABC ∆的面积等于15，那么FEC ∆的面积等于 ．
18．（4分）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1BC =，2AC =，以点C 为直角顶点的Rt DCE ∆的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若1
tan 2
CED ∠=，CE GE =，那么BD 的长等于 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =．求：
2
tan tan sin |1cos |4tan 30A
B A B +-+
︒
的值．
20．（10分）已知：如图，1O 与2O 外切于点T ，经过点T 的直线与1O 、2O 分别
相交于点A 和点B ． （1）求证：12//O A O B ；
（2）若12O A =，23O B =，7AB =，求AT 的长．
21．（10分）已知抛物线22y x bx c =-++经过点(0,1)A 、(1,5)B -．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把表达式化成22()y x m =-++
的形式，并写出顶点坐标与对称轴．
22．（10分）如图，在距某输电铁塔(GH GH 垂直地面）的底部点H 左侧水平距离60米的点B 处有一个山坡，山坡AB 的坡度1:3i =，山坡坡底点B 到坡顶A 的距离AB 等于40米，在坡顶A 处测得铁塔顶点G 的仰角为30︒（铁塔GH 与山坡AB 在同一平面内）． （1）求山坡的高度；
（2）求铁塔的高度GH ．（结果保留根号）
23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、
AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且MAN ABD ∠=∠．
（1）求证：2AB BF DE =⋅；
（2）若
BE DN DE DC
=，求证：//EF MN ．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线324y x =-+与直线1
32
y x =-相交于点A ，抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ． （1）求点A 的坐标；
（2）若抛物线21y ax bx =+-向上平移两个单位后，经过点(1,2)-，求抛物线2
1
y ax bx =+-的表达式；
（3）若抛物线2(0)y a x b x c a '''=++<与2
1y ax bx =+-关于x 轴对称，且这两条抛物线的
顶点分别是点P '与点P ，当3OPP S ∆'=时，求抛物线2
1y ax bx =+-的表达式．
25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，
1
2
A O ∠=∠． 已知：如图2，AC 是O 的一条弦，点D 在O 上（与A 、C 不重合），联结DE 交射线AO 于点E ，联结OD ，O 的半径为5，3
tan 4
OAC ∠=． （1）求弦AC 的长．
（2）当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值． （3）当1OE =时，求点A 与点D 之间的距离（直接写出答案）．
2020-2021学年上海市金山区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．（4分）已知二次函数2(2)1y x =--，那么该二次函数图象的对称轴是( )
A ．直线2x =
B ．直线2x =-
C ．直线1x =
D ．直线1x =-
【解答】解：
2(2)1y x =--，
∴对称轴是：直线2x =．
故选：A ．
2．（4分）下列各点在抛物线2
2y x =上的是(
)
A ．(2,2)
B ．(2,4)
C ．(2,8)
D ．(2,16)
【解答】解：把2x =代入22y x =得2
228y =⨯=，
故点(2,8)在抛物线上． 故选：C ．
3．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么锐角A 的正弦等于( )
A ．A A 锐角的对边
锐角的邻边
B ．A 锐角的对边
斜边
C ．
A 锐角的邻边
斜边
D ．
A A 锐角的邻边
锐角的对边
【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，锐角A 的正弦表示的是锐角A 的对边与斜边的比，即：
A 锐角的对边
斜边
，
故选：B ．
4．（4分）若α是锐角，sin(15)α+︒，那么锐角α等于( )
A ．15︒
B ．30︒
C ．45︒
D ．60︒
【解答】解：sin 45︒=
， 1545α∴+︒=︒， 30α∴=︒，
故选：B ．
5．（4分）如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，//DE BC ，2AD =，3BD =，
BC a =，那么ED 等于( )
A ．2
3
a B ．23
a -
C ．25
a
D ．25
a -
【解答】解：
//DE BC ，
∴
2
23
DE AD BC AB ==+， 2
5
DE BC ∴=，
BC a =，
∴2
5
DE a =， ∴25
ED a =-，
故选：D ．
6．（4分）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有公共点，那么C 的半径r 的取值范围是(
)
A ．1205
r
B ．
12
35
r C ．
12
45
r D ．34r
【解答】解：过点C 作CD AB ⊥于点D ，
3AC =，4BC =．如果以点C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点， 5AB ∴=，
当直线与圆相切时，d r =，圆与斜边AB 只有一个公共点，圆与斜边AB 只有一个公共点，
CD AB AC BC ∴⨯=⨯，
12
5
CD r ∴==
， 当直线与圆如图所示也可以有交点，
∴
12
45
r ． 故选：C ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．（4分）计算：3
2()2
a a
b +-= 42a b - ． 【解答】解：原式3242a a b a b =+-=-． 故答案是：42a b -．
8．（4分）已知2()3f x x x =+，那么(2)f -= 2- ．
【解答】解：把2x =-代入2()3f x x x =+得2
(2)(2)3(2)462f -=-+⨯-=-=-．
故答案为：2-．
9．（4分）抛物线22y x =-沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是 上升 ．（填“上升”或“下降” ) 【解答】解：
抛物线22y x =-的开口向下，对称轴为y 轴，
∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴抛物线22y x =-在y 轴左侧的部分是上升的，
故答案为：上升．
10．（4分）正十边形的中心角等于 36 度． 【解答】解：正十边形的中心角为：3603610
︒
=︒． 故答案为：36︒． 11．（4分）已知1O 和2O 的半径长分别为3和4，若1O 和2O 内切，那么圆心距12
O O 的长等于 1 ． 【解答】解：
1O 和2O 的半径长分别为3和4，1O 和2O 内切，
∴圆心距12O O 的长431=-=，
故答案为：1．
12．（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15AB =，4
sin 5
A =，那么BC = 12 ． 【解答】解：90C ∠=︒，
4
sin 5BC A AB ∴=
=， 44
151255BC AB ∴==⨯=．
故答案为12．
13．（4分）在ABC ∆中，::1:AB AC BC =tan B = 2 ．
【解答】解：根据题意，可设AB =，则2AC =，BC =，
22225AC AB BC ∴+==，
ABC ∴∆是直角三角形，且90A ∠=︒．
2tan 2AC B AB
∴===． 故答案是：2．
14．（4分）已知：如图，ABC ∆的中线AE 与BD 交于点G ，//DF AE 交BC 于F ，那么DF AG = 34
．
【解答】解：连接DE ，
AE 、BD 是ABC ∆的中线，
AD DC ∴=，BE EC =，
//DE AB ∴，12
DE AB =， DEG BAG ∴∠=∠，EDG ABG ∠=∠，
DEG BAG ∴∆∆∽， ∴12DE GE GD AB GA GB ===， 设GE =，则2AG =，23AE =+=，
又//DF AE ，AD DC =，
∴
12
DF AE =， 32
DF ∴=， ∴3
3224DF AG ==， 故答案为：34
．
15．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2BC AD =，设AB a =，AD b =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为 a b -- ．
【解答】解：如图，过点D 作//DE AB ，交BC 于点E ，
//AD BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
BE AD ∴=，DE AB =，
2BC AD =，
AD EC ∴=．
AB a =，AD b =，
∴DE AB a ==，EC AD b ==，
∴()CD DC DE EC a b =-=-+=--．
故答案为：a b --．
16．（4分）如图，已知O 中，120AOB ∠=︒，弦18AB =，那么O 的半径长等于 63 ．
【解答】解：如图，过点O 作OH AB ⊥于H ．
OH AB ⊥， 192AH
BH AB ∴===， OA OB =，120AOB ∠=︒，
30A B ∴∠=∠=︒，
66cos30AH OA ∴==︒
． 故答案为：63．
17．（4分）如图，在ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若2CE BE =，ABC ∆的面积等于15，那么FEC ∆的面积等于 4 ．
【解答】解：在ABCD 中，
//AD CE ，AD BC =
ADF CEF ∴∆∆∽，
∴AD FD AF CE EF FC
==， 2CE EB =，
2233
CE BC AD ∴==， ∴32
AD FD AF CE EF FC ===， ∴29()4
ADF CEF S AD S CE ∆∆==， 15ABC ADC S S ∆∆==，
15ACD AFD CFD S S S ∆∆∆∴=+=，
3
2
AF
FC
=，
∴3
2
AFD
CFD
S AF
S FC
∆
∆
==，
9
AFD
S
∆
∴=，6
CFD
S
∆
=，
4
FEC
S
∆
∴=．
故答案为：4．
18．（4分）已知在Rt ABC
∆中，90
C
∠=︒，1
BC=，2
AC=，以点C为直角顶点的Rt DCE
∆
的顶点D在BA的延长线上，DE交CA的延长线于点G，若
1
tan
2
CED
∠=，CE GE
=，那么BD的长等于25
+．
【解答】解：如图，过点A作AH CE
⊥于.
H
1
tan tan
2
CED BAC
∠==∠，
E BAC
∴∠=∠，
CE EG
=，
CGE ECG
∴∠=∠，
180
BAC GAK
∠+∠=︒，
180
E GAK
∴∠+∠=︒，
180
AGE AKE
∴∠+∠=︒，
180
AKE AKC
∠+∠=︒，
AKC CGE
∴∠=∠，
AKC ACK
∴∠=∠，
2
AC AK
∴==，
AH CK
⊥，
KH CH
∴=，
90
AHE DCK
∠=∠=︒，
//AH CD ∴，
KA AD ∴=，
24DK AK ∴==，2AD AK ==，
90ACB ∠=︒，1BC =，2AC =，
22222
15AB AC BC ∴=+=+=，
25BD AB AD ∴=+=+，
故答案为：25+．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =．求：2tan tan sin |1cos |4tan 30A B A B +-+︒
的值．
【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，由勾股定理得，222AB AC BC =+， ∴2222345AB AC BC =+=+=， ∴3tan 4AC B BC ==；4sin 5BC A AB ==；4cos 5BC B AB ==；4tan 3
BC A AC ==， ∴原式24
344493
|1|1455
5534()=⨯+-=+=⨯． 20．（10分）已知：如图，
1O 与2O 外切于点T ，经过点T 的直线与1O 、2O 分别
相交于点A 和点B ．
（1）求证：12//O A O B ；
（2）若12O A =，23O B =，7AB =，求AT 的长．
【解答】（1）证明：联结12O O ，即12O O 为连心线，
又1O 与2O 外切于点T ，
12O O ∴经过点T ．
11O A OT =，22O B O T =．
1
A OTA ∴∠=∠，2
B O TB ∠=∠． 1
2OTA O TB ∠=∠， A B ∴∠=∠．
12//O A O B ∴；
（2）12//O A O B ， ∴12AO AT BO BT
=． 12O A =，23O B =，7AB =， ∴
237AT AT
=-， 解得：145AT =．
21．（10分）已知抛物线22y x bx c =-++经过点(0,1)A 、(1,5)B -．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把表达式化成22()y x m =-++的形式，并写出顶点坐标与对称轴．
【解答】解：（1）抛物线22y x bx c =-++经过点(0,1)A 、(1,5)B -，
∴125c b c =⎧⎨-++=-⎩，解得：41b c =-⎧⎨=⎩
； ∴抛物线的解析式为：2241y x x =--+；
（2）222412(1)3y x x x =--+=-++，
∴抛物线的顶点坐标为：(1,3)-，对称轴为：直线1x =-．
22．（10分）如图，在距某输电铁塔(GH GH 垂直地面）的底部点H 左侧水平距离60米的点B 处有一个山坡，山坡AB 的坡度1:3i =，山坡坡底点B 到坡顶A 的距离AB 等于40米，在坡顶A 处测得铁塔顶点G 的仰角为30︒（铁塔GH 与山坡AB 在同一平面内）．
（1）求山坡的高度；
（2）求铁塔的高度GH ．（结果保留根号）
【解答】解：（1）过点A 作AD 垂直HB ，交HB 的延长线于点D ，
即90ADB ∠=︒，
由题意得：1:3i =，60AB =（米)， ∴3
AD BD =， 即3BD AD =；
又222AB AD BD =+，
即22240(3)AD AD =+，
20AD ∴=（米)，
答：山坡的高度为20米；
（2）作//AE BH 交GH 于点E ，
AD BH ⊥，GH BH ⊥，
//AD GH ∴，
即：四边形ADHE 是平行四边形，
由题意可知：30GAE ∠=︒，60BH =（米)，
3203BD AD ==（米)，
∴60203AE DH ==+（米)，
在Rt AGE ∆中，tan GE GAE AE
∠=， ∴20203GE =+（米)，
又20EH AD ==（米)，
∴40203GH GE EH =+=+（米)，
答：铁塔的高度GH 为(40203)+米．
23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、
AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且MAN ABD ∠=∠．
（1）求证：2AB BF DE =⋅；
（2）若BE DN DE DC
=，求证：//EF MN ．
【解答】证明：（1）四边形ABCD 是菱形，
AB AD ∴=，
ABD ADB ∴∠=∠，
AED ABD BAE ∠=∠+∠，BAF MAN BAE ∠=∠+∠，MAN ABD ∠=∠，
AED BAF ∴∠=∠，
AED FAB ∴∆∆∽，
∴AD DE BF AB
=， 即AD AB BF DE ⋅=⋅，
2AB BF DE ∴=⋅；
（2）四边形ABCD 是菱形，
AD BC ∴=，//AD BC ，
BME DAE ∴∆∆∽，
∴
BE BM DE AD
=， BE DN
DE DC
=， ∴BM DN AD DC
=， ∴BM DN BC DC =， //MN BD ∴，
//EF MN ∴．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线3
24y x =-+与直线132
y x =-相交于点A ，抛
物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ．
（1）求点A 的坐标；
（2）若抛物线21y ax bx =+-向上平移两个单位后，经过点(1,2)-，求抛物线21y ax bx =+-的表达式；
（3）若抛物线2(0)y a x b x c a '''=++<与21y ax bx =+-关于x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P '与点P ，当3OPP S ∆'=时，求抛物线21y ax bx =+-的表达式．
【解答】解：（1）直线3
24y x =-+与直线132
y x =-相交于点A ， ∴324132
y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得：41
x y =⎧⎨=-⎩； ∴点A 的坐标为(4,1)-．
（2）抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点(4,1)A -，
16411a b ∴+-=-，
即4b a =-，
241y ax ax ∴=--，
∴平移后的抛物线的表达式是241y ax ax =-+，
241a a ∴-=-+，
解得：1a =，
∴抛物线21y ax bx =+-的表达式是：241y x x =--．
（3）如图，
2241(2)41y ax ax a x a =--=---，
(2,41)P a ∴--，
抛物线2(0)y a x b x c a '''=++<与241y ax ax =--关于x 轴对称，
(2,41)P a '∴+，
0a '<，
0a ∴>，
82P P a '∴=+，
又2OD =，12
OPP S OD PP '∆'=⨯⨯， ∴12(82)32a ⨯⨯+=， 解得：1
8
a =， ∴抛物线21y ax bx =+-的表达式是211182
y x x =--．
25．（14分）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，12A O ∠=∠． 已知：如图2，AC 是O 的一条弦，点D 在O 上（与A 、C 不重合），联结DE 交射线AO 于点E ，联结OD ，O 的半径为5，3tan 4
OAC ∠=
． （1）求弦AC 的长．
（2）当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值．
（3）当1OE =时，求点A 与点D 之间的距离（直接写出答案）．
【解答】解：（1）如图1，过点O作OH AC
⊥于点H，
由垂径定理得：
1
2
AH BH AC
==，
在Rt OAH
∆中，
3 tan
4
OH
OAC
AH
∠==，
∴设3
OH x
=，4
AH x
=，
222
OH AH OA
+=，
222
(3)(4)5
x x
∴+=，
解得：1
x=±，(1
x=-舍去），
3
OH
∴=，4
AH=，
28
AC AH
∴==；
（2）如图2，过点O作OH AC
⊥于H，过E作EG AC
⊥于G，
DEO AEC
∠=∠，
∴当DOE
∆与AEC
∆相似时可得：DOE A
∠=∠或者DOE ACD
∠=∠；
由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：12ACD DOE ∠=∠， ACD DOE ∴∠≠∠ ∴当DOE ∆与AEC ∆
相似时，不存在DOE ACD ∠=∠情况，
∴当DOE ∆与AEC ∆相似时，DOE A ∠=∠，
//OD AC ∴，
∴OD OE AC AE
=， 5OD OA ==，8AC =，
∴
558AE AE
-=， ∴4013AE =， 90AGE AHO ∠=∠=︒，
//GE OH ∴，
AEG AOH ∴∆∆∽，
∴
AE EG AG AO OH AH
==， ∴40
13534EG AG ==， ∴2413
EG =
， ∴3213AG =，327281313CG =-=， 在Rt CEG ∆中，24
113tan 723
13
EG DCA CG ∠===； （3）当点E 在线段OA 上时，如图3，过点E 作EG AC ⊥于G ，过点O 作OH AC ⊥于H ，延长AO 交O 于M ，连接AD ，DM ，
由（1）可得3OH =，4AH =，8AC =， 1OE =，
4AE ∴=，6ME =，
//EG OH ，
AEG AOH ∴∆∆∽， ∴45AE AG EG AO AH OH ===， 165AG ∴=，125EG =， 245GC ∴=， 225761441252525EC GC EG ∴=+=+=， AM 是直径，
90ADM EGC ∴∠=︒=∠， 又M C ∠=∠，
EGC ADM ∴∆∆∽，
∴EC EG AM AD
=， ∴12512
5510AD
=， 25AD ∴=；
当点E 在线段AO 的延长线上时，如图4，延长AO 交O 于M ，连接AD ，DM ，过点E 作EG AC ⊥于G ，
同理可求185EG =，245AG =，6AE =，165
GC =， 2232425621452525EC GC EG ∴=+=
+，
AM是直径，
90
ADM EGC
∴∠=︒=∠，又M C
∠=∠，
EGC ADM
∴∆∆
∽，
∴EC EG
AM AD
=，
∴
18
55
10AD
=，
AD
∴，
综上所述：AD的长是或．。