鲁教版初三(下)数学第78讲：图形的相似前沿知识(教师版)
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图形的相似前沿知识
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1、理解比例成比例线段；
2、掌握平行线分线段成比例定理；
3、熟悉平行线分线段成比例定理的应用.
1．两条线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ,CD 的长度分别是m ,n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB :CD =m :n ，或写成AB m
CD n
=. 2. 比例线段
对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果____________与____________(如d
c
b a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________． 3. 比例性质
如果
(0)a c m b d n b d n ===+++≠，那么a c m b d n
++=+++__________ 4.平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的_____________.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 参考答案： 1. m :n
A B m
C D n
= 2. 其中两条线段的比，另两条线段的比相等，比例线段
3.
a
b
. 4. 对应线段成比例
1、线段的比
【例1】如图，设小方格的边长是1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB ，AD ，EH ，EF 的长度分别是多少？分别计算
,,,
AB AD AB EF
EF EH AD EH
的值，你发现了什么？
【解析】构造直角三角形，利用勾股定理，即可求出各边长，即可求解.
解： 由题意可得，
AB =8，AD=EF=4
∴
2,AB AD AB EF EF EH AD EH ====总结：
线段的比值即为求长度的比.
练1. 一条线段的长度是另一条线段的5倍，求这两条线段的比. 【解析】线段比定义即可求解. 解： 两条线段的比即为1:5. 2．比例线段
【例2】如图，一块矩形绸布的长AB = a m ，宽AD =1m ，按照图中所表示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD
AD AB
=，那么a 的值应当是多少？
【解析】根据比例线段定义即可求解.
解：根据题意可知，AB = a m ，AE =
1
3
a m ，AD =1 m . ∴
AE AD
AD AB
=. ∴11
31a
a
=
即a =
a =.
总结：
如果
a c
b d
=，那么ad bc =. 如果ad bc =（a,b,c,d 都不等于0），那么
a c
b d
=. 练2.在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC =10cm ；在△DEF 中， ED =EF =12cm ，DF =8cm ，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比.
【解析】根据比例线段定义即可求解.
解： 由题意可得，
AB ：EF =10:12=5:6； ∵
AC=AC ：DF
=：
8=4.
练3.如图，在△ABC 中， AB = 12cm ， AE =6cm ，EC =5cm ，且
AD AE
DB EC
=，求AD 的长.
【解析】根据比例线段定义即可求解
.
解：∵
AD AE
DB EC =
∴6
125AD AD =
- ∴7211
AD =cm
3、比例性质
【例3】在△ABC 与△DEF 中，已知
3
4
AB BC CA DE EF FD ===，且△ABC 的周长为18cm. 求△DEF 的周长.
【解析】根据比例线段性质即可求解．
解：∵
3
4AB BC CA DE EF FD === ∴
3
4AB BC CA AB DE EF FD DE ++==++
∴
4()3()
AB BC CA DE EF FD ++=++
∴44
()182433
DE EF FD AB BC CA ++=
++=⨯=cm ∴△DEF 的周长为24cm.
结论：
如果
(0)a c m b d n b d n ===+++≠，那么a c m a
b d n b ++=
+++.
练4. 已知
2(0)3a c b d b d ==+≠，求
a c
b d
++的值. 【解析】根据比例线段性质即可求解．
解： ∵
2
(0)3a c b d b d ==+≠. ∴23
a c a
b d b +==+ 练5. （2015春•启东市校级月考）如图，已知每个小方格的边长均为1，
求AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC 的周长比.