3-1 离散系统

m = −∞
y( t ) = yh ( t ) + y p ( t )
系统法
y( t ) = y x ( t ) + y f ( t )
y f ( t ) = f ( t ) ∗ h( t ) =∫
∞ −∞
f (τ )h( t − τ )dτ
∑ f (m )h(k − m )
∞
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§ 3-1
离散系统时域分析
k −2
P 2 + 3P 2
k
k −1
+ 2P 2
=2
k
1 k y p ( k ) = ( 2) 3
k
1 P= 3
1 k y( k ) = yh ( k ) + y p ( k ) = C1 ( −1) + C 2 ( −2) + ( 2) 3
k
2 1 k k k y( k ) = [ ( −1) − ( −2) + ( 2) ]ε ( k ) 3 3
离散系统时域分析
Ex. 1 y(k) – 0.7y(k-1) +0.1 y(k-2) = 0 y(0) = 2 ; y(1) = 4 。 特征方程： 解: 特征方程：
λ − 0.7λ + 0.1 = 0
2
λ1 = 0.5 ; λ2 = 0.2
y(k) = c1(0.5) + c2 (0.2)
k
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k
§ 3-1
离散系统时域分析
y ( 4 ) = − 3 y ( 3 ) − 2 y ( 2 ) + f ( 4 ) = − 10
*迭代法可求出差分方程的数值解，但不易得出解 迭代法可求出差分方程的数值解， 迭代法可求出差分方程的数值解 析形式。 析形式。
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y ( 5 ) = − 3 y ( 4 ) − 2 y ( 3 ) + f ( 5 ) = 42 ⋯
y( k ) + 3 y( k − 1) + 2 y( k − 2) = f ( k ) y(0) = 0, y(1) = 2, f (k ) = 2 ε (k )
k
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y( k ) = −3 y( k − 1) − 2 y( k − 2) + f ( k ) y(0) = 0, y(1) = 2, f ( k ) = 2 ε ( k ) y( 2) = −3 y(1) − 2 y(0) + f ( 2) = −2 y( 3) = −3 y( 2) − 2 y(1) + f ( 3) = 10
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离散系统时域分析
高阶差分
∇ f ( k ) = f ( k ) − 2 f ( k − 1) + f ( k − 2 )
2
∇ f (k ) = f (k ) − 3 f (k − 1) + 3 f (k − 2) − f (k − 3)
3
2.差分方程 差分方程 常见的差分方程是 y(k) 及其各移位序列的线性 组合。 组合。
k
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离散Baidu Nhomakorabea统时域分析
高阶系统（ 阶 高阶系统（N阶）： 共有N个特征根 个特征根。 为其r阶重根 共有 个特征根。若 α 1 为其 阶重根 齐次解为： 齐次解为：
y (k ) = ( c 1 + c 2 k + ⋯ + c r k +
r −1
)α 1
k
i = r +1
{y( −2); y( −1)}
: (1 − E
因因因解为
α1
)(1 −
α2
E
) y (k ) = 0
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离散系统时域分析
1)单根时： 单根时： 单根时 齐次解为： 齐次解为：
y (k ) = c1α 1 + c2α 2
k k
2)重根时： 重根时： 重根时 齐次解为： 齐次解为：
(k ) = (c1 + c2 k )α k y
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离散系统时域分析
3)共轭复根时： 共轭复根时： 共轭复根时
∵ 两个根为 :
α ± jβ = γe ± jθ = γ (cos θ ± j sin θ )
∴有时齐次解设为： 有时齐次解设为：
y(k) = γ (c1 cos kθ + c2 sinkθ )
k
§ 3-1
离散系统时域分析
k k
y(k) = c1(0.5) + c2 (0.2)
y(0) = c1 + c2 = 2 y(1) = 0.5c1 + 0.2c2 = 4
解出： 解出：
c1 = 12 c2 = −10
k k
∴ y(k) = [12(0.5) −10(0.2) ]ε (k)
完全解： 完全解：
k
D1 = −0.2 D2 = 0.4
Pa k Pka k
Pk r a k
m
不同激励对应的特解
特解 当 a 不是特征根时 当 a 是特征根时 当a 是 r重特征根时 重特征根时
m−1
a
k
k
Pmk + Pm−1k
m
当所有特征根均不为1时 +⋯+ P k + P 当所有特征根均不为 时 1 0 当1为 r 重特征根时 为
± jβ
cos(βk ) sin(βk )
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离散系统时域分析
Ex. 2 y(k) ＋4y(k-1) + 4y(k-2) = 0 y(0) = y(1) = 2 。 特征方程： 解: 特征方程：
λ + 4λ + 4 = 0 λ1 = λ2 = −2
2
y(k) = (c1 + c2k)(−2)
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k
§ 3-1
y(k) = (c1 + c k)(−2)
离散系统时域分析 k 2
y(0) = c1 = 2 y(1) = (c1 + c2 )(−2) = 2
解出： 解出：
c1 = 2 c2 = −3
k
∴ y(k) = (2 − 3k)(−2) ε (k)
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§ 3-1
∑cα
i
N
k i
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离散系统时域分析
不同特征根对应的齐次解 特征 根λ 齐次 解 单实根
r
一对共轭复根 重实根
λ1, 2 = a + j β = γ e ± jθ
Cλ
k
(C r −1 k r −1 + C r − 2 k r − 2 + ⋯ + C1 k + C 0 )λ
§ 3-1
离散系统时域分析
§3.1 LTI离散系统的响应 离散系统的响应 主要内容： 主要内容： 一、差分及差分方程 二、经典解法 三、系统解法 重点： 重点： 差分方程的求解； 差分方程的求解； 零输入、零状态响应的计算。 零输入、零状态响应的计算。
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§ 3-1
离散系统时域分析
§ 3-1
离散系统时域分析
四、差分方程的经典解（时域经典法） 差分方程的经典解（时域经典法）
y(k ) + an−1 y(k − 1) + ⋯ + a0 y(k − n) = bm f (k ) + bm −1 f (k − 1) + ⋯ + b0 y(k − m)
y( k ) = yh ( k ) + y p ( k )
y(0) = 0, y(1) = 2, f (k ) = 2 ε (k )
k
解：1. 求 齐次解 ， 特征方程
λ2 + 3λ + 2 = 0 λ1 = −1 λ2 = −2
yh ( k ) = C1 ( −1) + C 2 ( −2)
k k
k
2. 求 特解
y p ( k ) = P ( 2)
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y(k) + an−1 y(k − 1) + ⋯+ a0 y(k − n)
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= bm f (k) + bm−1 f (k − 1) + ⋯+ b0 y(k − m)
§ 3-1
离散系统时域分析
三、差分方程的解法 1）迭代法：代入初始值逐次求解。 ）迭代法：代入初始值逐次求解。 2）时域经典法：求齐次解和特解。 ）时域经典法：求齐次解和特解。 3）系统法：分别求零输入响应和零状态响应。 ）系统法：分别求零输入响应和零状态响应。 4）变换域法：利用 变换求解差分方程。 ）变换域法：利用Z 变换求解差分方程。 例1 求y(k)。 。
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离散系统时域分析
例3
kπ y(k) + 2y(k - 1) + 2 y(k - 2) = sin 2 y(0) = 1 ; y(-1) = 0
特征方程： 解: 特征方程：
λ + 2λ + 2 = 0
2
λ1, 2 = −1 ± j = 2e
齐次解： 齐次解：
k
j(±
3π ) 4
k
γ k (c1 cos kθ ± c2 j sin kθ )
yh (k )
齐次 解
yh (t )
Ce
λt
(Cr −1t r −1 + Cr − 2 t r − 2 + ⋯ + C1t + C0 )eλt
e at (c1 cos β t + c2 sin β t )
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1. 齐次解
y( k ) + a n−1 y( k − 1) + ⋯ + a0 y( k − n) = 0
齐次解的形式 Cλk 代入差分方程，整理得特征方程 代入差分方程，
λ + a n −1λ
n
n −1
+ ⋯ + a0 = 0
解特征方程得到 n 个特征根
λ i ( i = 1,2, ⋯ , n)
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§ 3-1
离散系统时域分析
LTI连续时间系统 连续时间系统 微分方程描述系统 经典法
LTI离散时间系统 离散时间系统 差分方程描述系统
y( k ) = yh ( k ) + y p ( k )
y( k ) = y x ( k ) + y f ( k )
y f ( k ) = f ( k ) ∗ h( k ) =
3kπ 3 kπ yh ( k ) = ( 2 ) (c1 sin ) + c2 cos 4 4
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§ 3-1
离散系统时域分析
特解： 特解：
kπ kπ yp (k) = D1 sin + D2 cos 2 2 代入原方程比较系数得： 代入原方程比较系数得：
− D1 + 2D2 = 1 − 2D1 − D2 = 0
§ 3-1
离散系统时域分析
第三章 离散系统的时域分析 本章重点： 本章重点： 1、差分方程的建立与求解； 、差分方程的建立与求解； 2、掌握系统单位（样值）响应和阶跃响应的求法； 、掌握系统单位（样值）响应和阶跃响应的求法； 3、利用离散卷积，求信号通过离散系统的响应。 、利用离散卷积，求信号通过离散系统的响应。
( Pm k m + Pm −1 k m −1 + ⋯ + P1k + P0 )k r
P1 cos β k + P2 sin β k 所有特征根均不为
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e
§ 3-1
离散系统时域分析
全解＝齐次解＋ 全解＝齐次解＋特解 3. 完全解 由初始条件确定待定系数。 由初始条件确定待定系数。 例2 求y(k)。 。 y( k ) + 3 y( k − 1) + 2 y( k − 2) = f ( k )
y(0) = c2 = 2 c1 c2 y(1) = 2( 2 − 2 ) = 2
解出： 解出：
c1 = 4 ; c2 = 2
3π 3π 2 (4sin k + 2cos k)ε (k) 4 4
k
∴ y(k) =
( )
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§ 3-1
离散系统时域分析
2. 特解
激励
离散系统时域分析
Ex. 3 y(k) ＋2y(k-1) + 2y(k-2) = 0 y(0) = y(1) = 2 。 特征方程： 解: 特征方程：
λ + 2λ + 2 = 0
2
λ1,2 = −1± j = 2e
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3π j(± ) 4
§ 3-1
k
离散系统时域分析
3π 3π y(k) = ( 2) (c1 sin k + c2 cos k) 4 4
一、离散时间系统的数学模型 1.差分：相邻两样值相减。 差分：相邻两样值相减。 差分 前向差分 后向差分
∆f ( k ) = f ( k + 1) − f ( k )
∇f ( k ) = f ( k ) − f ( k − 1)
∇f ( k ) = ∆f ( k − 1)
差分满足线性
∇[a1 f1 ( k ) + a 2 f 2 ( k )] = a1∇f1 ( k ) + a 2∇f 2 ( k )
§ 3-1
离散系统时域分析
一阶系统： y(0) 一阶系统： y(k)-ay(k-1)=0 其解具有幂级数的形式。 即：y(k)＝ay(k-1) ＝ 其解具有幂级数的形式。
次 为 齐 解
y(k) = cak
二阶系统： y( k ) + a1 y( k − 1) + a 2 y( k − 2) = 0