2023届新高考数学精准冲刺复习向量的概念及线性运算

2、已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2A→C＋C→B＝0，
则O→C等于( )
A．2O→A－O→B
B．－O→A＋2O→B C.23O→A＋13O→B
D．－12O→A＋23O→B
3、在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE
|a|
|a|
向量的线性运算
例 2 （1）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E→B＝
(A) A.34A→B－14A→C C.34A→B＋14A→C
B.14A→B－34A→C D.14A→B＋34A→C
(2)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平
要 求： 1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 2.理解向量的几何表示. 3.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 4.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 5.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
知识点： 向量的有关概念
(1)向量的定义：既有_大__小___又有_方__向__的量叫做向量． (2)向量的长度：表示A→B的__有_向__线_段____的长度，即A→B的大小叫做A→B的长度或 称为A→B的模，__长__度_为__0___的向量叫做零向量，记作 0，_长__度_等__于_1_个_单__位___的向量叫 做单位向量．
(2)运算律：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)①A→B＋B→C＝_A→_C__，A→B＋B→A＝__0__，A→B－A→C＝_C→_B__． ②A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An＋A→nA1＝__0__． ③||a|－|b||≤|a±b|≤__|a_|＋__|b_| _．
练习 1、设 e1 与 e2 是两个不共线向量，A→B＝3e1＋2e2，C→B＝ke1＋e2，C→D＝ 3e1－2ke2，若 A，B，D 三点共线，则 k 的值为__－_94_____．
2、已知向量 a，b 不共线，若向量 m＝4a＋5b 与 n＝2a＋λb 共线，则实数
λ的值为( C )
A．5
B．3
一点且A→N＝1A→M，若A→N＝λA→B＋μA→C，则λ＋μ＝( )
A
3
A.1
B.1
3
2
C．－12
D．－13
解题技巧： 用几个基本向量表示某个向量问题的解题技巧
(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系； (4)化简结果．
练习 1 1.如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点 C 在 AB 上，OC⊥AB，用O→A和O→B来表示向量O→C，则O→C＝________．
选 C.
例 4 已知 O，A，B 是不共线的三点，且O→P＝mO→A＋nO→B(m，n∈R)． (1)若 m＋n＝1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：m＋n＝1. 【证明】 (1)若 m＋n＝1， 则O→P＝mO→A＋(1－m)O→B＝O→B＋m(O→A－O→B)， ∴O→P－O→B＝m(O→A－O→B)， 即B→P＝mB→A，∴B→P与B→A共线． 又∵B→P与B→A有公共点 B， 则 A，P，B 三点共线．
C.5
2
D．2
2、已知向量 a，b 不共线，若向量 m＝4a＋5b 与 n＝2a＋λb 共线，则实数
λ的值为( )
A．5
B．3
C.5
2
D．2
【解析】 因为向量 m＝4a＋5b 与 n＝2a＋λb 共线，所以存在实数 t，使得
m＝tn，即 4a＋5b＝t(2a＋λb)，又向量 a，b 不共线，所以2tλt＝＝4， 5，解得tλ＝＝2，52.故
(4)实数与向量的积(数乘)．
①定义：实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，λa 与 a 平行．规定： |λa|＝__|λ_||_a|___，当 λ ＞ 0 时，λa 的方向与 a 的方向 相同 ；当 λ ＜ 0 时，λa 的方向与 a 的方向 相反 ；当 λ＝0 时，λa＝0.
②运算律：λ(μa)＝_(λ_μ_)a__，(λ＋μ)a＝_λ_a＋__μ_a __，λ(a＋b)＝_λ_a_＋_λ_b___．
知识点：
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方 向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(4)非零向量 a 与 a 的关系是： a 是 a 方向上的单位向量．
面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( D )
→ A.OM
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
【解析】 因为 M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，所以O→A＋
O→C＝2O→M，O→B＋O→D＝2O→M.所以O→A＋O→B＋O→C＋O→D＝4O→M.
故选 D.
(3)在△ABC 中，延长 BC 至点 M 使得 BC＝2CM，连接 AM，点 N 为 AM 上
(2)若 A，P，B 三点共线，则存在实数 λ，使B→P＝λB→A， ∴O→P－O→B＝λ(O→A－O→B)． 又O→P＝mO→A＋nO→B.
故有 mO→A＋(n－1)O→B＝λO→A－λO→B，
即(m－λ)O→A＋(n＋λ－1)O→B＝0. ∵O，A，B 三点不共线，∴O→A，O→B不共线，∴mn＋－λλ－＝10＝，0，∴m＋n＝1. 【答案】 略
练习 【解析】
3
方(1法)在一△：AB由CA→ 中D，＝A→2DD→ ＝B2，D→B知，AC→， D＝B13，C→AD＋三λC→点B，共则线λ． ＝_23_______．
∴13＋λ＝1，从而 λ＝23.
方法二：由图知C→D＝C→A＋A→D，①
C→D＝C→B＋B→D，②
且A→D＋2B→D＝0.
由①＋②×2，得 3C→D＝C→A＋2C→B.∴C→D＝13C→A＋23C→B，∴λ＝23.
的延长线与 CD 交于点 F.若A→C＝a，B→D＝b，则A→F＝( )
A.14a＋12b B.23a＋13b
C.12a＋14b
D.13a＋23b
共线向量定理及应用
例 3 设 a，b 是不共线的两个向量． (1)若O→A＝2a－b，O→B＝3a＋b，O→C＝a－3b，求证：A，B，C 三点共线； (2)若 8a＋kb 与 ka＋2b 共线，求实数 k 的值．
知识点： 平面向量共线的判定方法
(1)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使 b＝λa.要注意 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想 的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线 的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
2、如图所示，在△ABC 中，A→N＝1A→C，P 是 BN 上的一点，若A→P＝mA→B＋ 2 A→C，
3
11
5
则实数 m 的值为___11_____．
【解析】 注意到 N，P，B 三点共线，因此有A→P＝mA→B＋121A→C＝mA→B＋161A→N， 从而 m＋161＝1⇒m＝151.
3、如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E 是 BC 的中点，F 是 AE 上一点，A→F＝2F→E，则B→F＝( )
A.1A→B－1A→D 23
C．－1A→B＋1A→D 23
B.1A→B－1A→D 32
D．－1A→B＋1A→D 32
4.如图所示，设 O 是△ABC 内部一点，且O→A＋O→C＝－2O→B，则△ABC 与
△AOC 的面积之比为( )
A．4∶1
B．2∶1
C中，点 O 是 BC 的中点．过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若A→B＝mA→M，A→C＝nA→N，则 m＋n 的值为________
向量共线的充要条件 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是____有_且__只_有__一_个__实_数_λ_，__使_得__b＝__λ_a _____．
例 1 (1)判断下列各命题是否正确： ①单位向量都相等； ②|a|与|b|是否相等，与 a，b 的方向无关； ③若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边 形的充要条件； ④若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线； ⑤两向量 a，b 相等的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b.
(3)平行向量：方向 相同 或 相反 的 非零 向量叫做平行向量．规定：0 与任 何向量平行，平行向量也叫做 共线 向量．
(4)相等向量： 长度相等且方向相同 的向量叫做相等向量，向量 a 与 b 相等， 记作 a＝b.
(5)相反向量： 长度相等且方向相反 的向量叫做相反向量．
向量运算 (1)加减法法则：