数学二轮专题6 概率与统计第1讲计数原理、排列与组合、二项式定理

门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一
门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，
则一名学生的不同选科组合有 ( )
A．8种
B．12种
C．16种
D．20种
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答案 C
解析 若一名学生只选物理和历史中的一门，则有
C
1 2
C
2 4
＝12(种)组合；若一名学生物理和历史都选，则有
5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C
r 5
(x2)5－
r·2x
r＝2rC
r 5
x10－3r.令10－3r＝4，得r＝2，则x4的系数为
22×C25＝40.故选C项．
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命题角 素养清
度
单
真题示例
2019·全国卷
求二项
Ⅲ，4
展开式 逻辑推 2019·浙江卷，
的指定 理 13
项、项 数学运 2018·全国卷
逻辑 推理
数学 运算
2018·全国卷
Ⅰ，15 2018·浙江
卷，16 2017·全国卷
Ⅱ，6
1.(2017·全国卷Ⅱ)安排3名
志愿者完成4项工作，每人 至少完成1项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式 有( D ) A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
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解析 由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2 人各完成1项工作，可得安排方式为C13C24A22＝36(种)．故 选D项．
共6名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾
一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不
安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，则安排方
法共有( )
A．30种
B．40种
C．42种
D．48种
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答案 C
解析 6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位
老人共有C26C24＝90(种)安排方法，其中A照顾老人甲的情
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6．(2019·山东德州期末)设(x＋2)x9＝a0＋a1(x＋1) ＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10，则a1＋a2＋…＋a10的值为 ________.
解析 由条件(x＋2)x9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋… ＋a10(x＋1)10，令x＝0，则有a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0， 再令x＝－1，则有a0＝－1，所以a1＋a2＋…＋a10＝0－ (－1)＝1.
共有C
2 5
C
2 3
A
4 4
＝720(个)，故一共可以组成540＋720＝1
260(个)没有重复数字的四位数． 答案 1 260
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题型二 二项式定理
1．解关于二项式定理问题常用的公式
(1)(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝C
r n
an－rbr(r＝
0,1,2，…，n)．
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2．排列与组合问题 (1)求解排列、组合问题的思路为分清排组，明确加 乘；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．
(2)求解排列、组合应用题常用的方法 ①以元素为主体，即先要满足特殊元素的要求，再
考虑其他元素．
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②以位置为主体，即先要满足特殊位置的要求，再
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解析 至少有1位女生入选可分为只有1位女生入选
和有2位女生入选．当只有1位女生时，有C
1 2
C
2 4
＝12(种)
选法；当有2位女生时，有C
1 4
C
2 2
＝4(种)选法．故总共有
12＋4＝16(种)选法．
答案 16
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命题角 素养 度 清单
真题示例
典例回顾
况有C
1 5
C
2 4
＝30(种)，B照顾老人乙的情况有C
1 5
C
2 4
＝
30(种)，A照顾老人甲，同时B照顾老人乙的情况有C
1 4
C
1 3
＝12(种)，所以符合题意的安排方法有90－30－30＋12
＝42(种)．故选C项．
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3．(x＋1)(x－2)6的展开式中x4的系数为(
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)
(1)求n的值； (2)设(1＋ 3)n＝a＋b 3，其中a，b∈N*，求a2－3b2 的值．
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解析
(1)因为(1＋x)n＝C
0 n
＋C
1 n
x＋C
2 n
x2＋…＋C
n n
xn，
n≥4，n∈N*，所以a2＝C
2 n
＝
nn－1 2
，a3＝C
3 n
＝
nn－1n－2 6
，a4＝C
4 n
的系数 算 Ⅲ，5
或参数
2017·全国卷
Ⅰ，6
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典例回顾
4.(2019·浙江卷)在二 项式( 2＋x)9的展开 式中，常数项是 ________，系数为有 理数的项的个数是 ________.
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解析
由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C
r 9
·(
2 )9－
r·xr，r∈N,0≤r≤9，当Tr＋1为常数项时，r＝0，T1＝
置．
(4)对二项式(a－b)n展开式的通项要特别注意符号问 题．
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5．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2 )(1＋x)4的展开式中x3
的系数为( )
A．12
B．16
C．20
D．24
答案 A
解析
由题意得x3的系数为C
3 4
＋2C
1 4
＝4＋8＝12.故选
A项．
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求二项 展开式 的指定 项、项 的系数 或参数
3.(2018·全国卷
逻辑 推理
2019·全国卷Ⅲ，4 2019·浙江卷，13
Ⅲ)x2＋2x5的展开式中
数学 2018·全国卷Ⅲ，5 x4的系数为( C )
运算 2017·全国卷Ⅰ，6 A．10
B．20
C．40
D．80
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解析
x2＋2x
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命题角 度
计数原 理、排 列与组 合的综 合应用
素养清 单
真题示例
典例回顾
逻辑推 理
数学运 算
2018·全国卷
Ⅰ，15 2018·浙江
卷，16 2017·全国卷
Ⅱ，6
2.(2018·全国卷Ⅰ)从2 位女生，4位男生中选3 人参加科技比赛，且至 少有1位女生入选，则 不同的选法共有 _________种(用数字填 写答案).
考虑其他位置．
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减
去不符合要求的排列或组合数．
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1 ． (2019· 辽 宁 东 北 育 才 学 校 模 拟 ) 某 地 区 高 考 改
革，实行“3＋2＋1”模式，即“3”指语文、数学、外语
三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一
A．－100
B．－15
C．35
D．220
答案 A
解析
由二项式定理得(x－2)6展开式的通项Tr＋1＝C
r 6
(－2)rx6－r，所以x3的系数为C
3 6
(－2)3＝－160，x4的系数
为C
2 6
(－2)2＝60，所以(x＋1)(x－2)6的展开式中x4的系数
为－160＋60＝－100.故选A项．
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种数为( )
A．6
B．12
C．24
D．48
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答案 B 解析 先安排数学和语文有两种排法，产生三个空
位，从中选两个安排物理和化学，有A
2 3
＝6(种)排法，所
以星期一上午不同课程安排种数为2×6＝12.故选B项．
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2．(2019·河南濮阳模拟)安排A，B，C，D，E，F
a，b∈N*，所以a＝C
0 5
＋3C
2 5
＋9C
4 5
＝76，b＝C
1 5
＋3C
3 5
＋
9C55＝44，从而a2－3b2＝762－3×442＝－32.
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对点规范演练
1． (2019·广东揭阳模拟)某班星期一上午安排5节
课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化
学不相邻，2节数学相邻，则星期一上午不同课程安排
答案 1
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7．(2019·四川南充适应性考试)如果 x2－21x n的展开
式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所
有项的系数和是________． 解析 因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，
所以
n 2
＋1＝4，所以n＝6.令x＝1，则展开式中所有项的
系数和是1－126＝614.
答案
1 64
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二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项 即第n2＋1项 的二项式 系数最大． (2)如果n是奇数，则中间两项 即第n＋2 1项与第n＋2 1＋1项的二项式系数相等并最大．
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8．(2019·江苏卷)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ anxn，n≥4，n∈N*.已知a23＝2a2a4.
C
1 4
＝4(种)组合．因此共有12＋4＝16(种)组合．故选C
项．
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2．(2019·河南十校联考)5位同学站成一排照相，其 中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是
() A．40 C．32 答案 B
B．36 D．24
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解析 由题可得，甲与乙必须相邻的情况种数为A
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第一部分 核心专题突破
专题六 概率与统计
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第1讲 计数原理、排列与组合、二项式 定理
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3年考情回顾 热点题型探究 对点规范演练 专题跟踪检测
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3年考情回顾
命题角 素养 度 清单
真题示例
典例回顾
计数原 理、排 列与组 合的综 合应用
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4．(2019·河北邯郸模拟) x－71x 7的展开式的第2项为 ________．
解析 由题知展开式的第2项为C17x6－71x1＝－x5. 答案 －x5
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5．(2019·河北衡水金卷联考)二项式 ax＋bx n(a>0， b>0)的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所
有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若A＝B＝
256，C＝70，则含x6的项为_________.
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解析 依题意得2n＝256，所以n＝8，在 ax＋bx n的展 开式中，令x＝1，则有(a＋b)8＝256，所以a＋b＝2，又
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4 ． (2018· 浙 江 卷 ) 从 1,3,5,7,9 中 任 取 2 个 数 字 ， 从
0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重
复数字的四位数(用数字作答)．
解析
含有数字0的没有重复数字的四位数共有C
2 5
C
1 3
A
1 3
A
3 3
＝540(个)，不含有数字0的没有重复数字的四位数
C09·( 2)9·x0＝( 2)9＝16 2.当项的系数为有理数时，9－r
为偶数，可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数
是5. 答案 16 2 5
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热点题型探究
题型一 计数原理、排列与组合
1．应用两个计数原理解题的方法 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理 时，一般先分类再分步，每一步中又可能用到分类加法 计数原理． (2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列 出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
＝
nn－1n－2n－3 24
.因为a
2 3
＝
2a2a4，所以
nn－1n－2
6
2＝2×
nn－1 2
×nn－1n2－4 2n－3，解得n＝5.
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(2)由(1)知，n＝5，则(1＋
3 )n＝(1＋
3
)5＝C
0 5
＋C
1 5
3＋C25( 3)2＋C35( 3)3＋C45( 3)4＋C55( 3)5＝a＋b 3.因为
有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有
() A．24 C．96
B．48 D．120
答案 C
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解析 若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂 A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有1种涂法，共 有4×3×2×1＝24(种)；若颜色A，D不同，先涂E有4种 涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相 同时，C有2种涂法，当B和D不同时，B，C只有1种涂 法，共有4×3×2×(2＋1)＝72(种)，根据分类加法计数 原理可得，共有24＋72＝96(种)．故选C项．
(2)各二项式系数之和
①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. ②C1n＋C3n＋…＝C0n＋C2n＋…＝2式定理通项公式的注意事项 (1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该 项就随之确定．
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项． (3)公式中a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位
4 4
A
2 2
＝48(种)，甲分别站在两端且与乙相邻的种数为C
1 2
A
3 3
＝12(种)，所以甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的
排法总数是A44A22－C12A33＝48－12＝36(种)．故选B项．
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3．(2019·湖南师大附中月考)如图，给7条线段的5 个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现