第一章概率论的基本概念
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P( A) P(B) P( AB) P(C ) P( AC BC )
例5：用A，B，C的运算关系表示下列各事件。 1) A发生而B与C都不发生可以表示为：
ABC或A B C或A B C
2) A与B都发生而C不发生可以表示为：
ABC或AB C
3) 所有这三个事件都发生可以表示为：
ABC
4) 这三个事件恰好发生一个可以表为：
ABC ABC ABC
得i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6) (2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6) (3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6) (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5) 把这30个结果作为样本点，则构成了样本空间。我们也可 以研究下面另外一些事件：
0.50 249 0.498
3
1
0.2
21
0.42 256 0.512
4
5
1.0
25
0.50 253 0.506
5
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0.48 251 0.502
6
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0.42 246 0.492
7
4
0.8
18
0.36 244 0.488
8
2
0.4
24
0.48 258 0.516
9
3
0.6
27
0.54 262 0.524
例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频1率n为；
某人一共听了17次“fn概( A率) 统15计1”7 课88，%其中有15次迟到，记 A={听课迟到}，则
fn ( A)
频率
反映了事件A发生的频繁程度。
频率的基本性质
由定义，易见频率具有下述基本性质： ⑴ 0≤ ƒn(A)≤1; ⑵ ƒn(s)＝1; ⑶ 若A1 ，A2 ， … ， Ak是两两互不相容的事件，则 ƒn( A1∪A2∪…∪Ak )=ƒn ( A1)+ƒn (A2)+…+ƒn (Ak).
概率重要性质的证明
性质3
设A, B是两个事件，若A B，则 P(B A) P(B) P( A)；
P(B) P( A). 证 由A B知B A (B A),且 A(B A) ,再由概率的有限可加性，得
P(B) P( A) P(B A). 又由非负性知，
样本空间、样本点
随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间 记为S。试验的每—个可能结果称为样本点。
例1：写出下列试验的样本空间。
E1：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况。 S1：{H，T}； E２：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 S2：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}； E３：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 S3：{0，1，2，3}； E４：抛一颗骰子，观察出现的点数。 S4：｛1，2，3，4，5，6}； E５：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 S5：{0，l，2，3，…}； E６：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 S6：｛t︱t≥0}； E７：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 S7：{(x，y) ︱T0≤x≤y≤T1}，这里x示最低温度，y表示最高 温度，并设这一地区的温度不会小于To，也不会大于T1。
概率重要性质的证明
n
n
P( i1
Ai
)
i1
P(Ai ) P(Ai Aj ).
1i jn
P(Ai Aj Ak ) 1 n1 P(A1A2 An ).
1i jkn
概率重要性质的证明
证 利 用 数 学 归 纳 法 ， 当n 3时 P( A B C ) P( A B) P(C ) P((A B)C )
概率重要性质的证明
性 质6 若AB ,则P( A B) P( A) P(B) 否 则P( A B) P( A) P(B) P( AB) 证 因A B A (B AB),且A(B AB) , AB B,故
P( A B) P( A) P(B AB) P( A) P(B) P( AB).
10
3
0.6
31
0.62 247 0.494
概率的一般定义
设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A 赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函 数P(﹡)满足下列条件：
⑴非负性：对于任何事件A，有P(A)≥0； ⑵规范性：对于必然事件S，有P(S)=1； ⑶可列可加性：设A1 ，A2 ，… 两两互不相容的事件， 即对于i≠j, AiAj= , i,j=1,2, …,则有
德·摩根律 A B A B; A B A B。
对于n个事件，甚至对于可列个事件，德·摩根律也 成立。
n
n
Ai Ai A1 A2 An
i1
i1
n
n
Ai Ai＝A1A2
i 1
i 1
An；
例4：
在例２中有
A1 A2 {HHH，HHT，HTH，HTT，TTT} A1 A2 {HHH} A2 A1 {TTT} A1 A2 {THH，THT，TTH}
随机事件
试验E的样本空间S的子集称为试验的随机事件，简 称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样 本点出现时，称这一事件发生。
基本事件（简单事件）、复合事件
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由两 个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件。
必然事件、不可能事件
样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集， 在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。
概率论 与数理统计
前言
确定性现
自然界与社会生活中的两类现象 象
不确定性现 象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
明天天气状况
——不确定
买了彩票会中奖 ——不确定
概率论与数理统计是研究什么的？
概率论与数理统计是研究随机现象 统计规律的一门学科。
互为对立(互逆)：若 A B ＝S，且AB＝
则A与B二事件互逆,又称A与B互为对立事件. A的对立事件记为 A 有
A A S, AA
图示事件间的关系（Venn文图）
A
B
S
A
B
A
A
B
A
A
B
A B
A
B
AB
A
B
A－B
事件的运算
在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C 为事件，则有
因而
P(B A) 0
P(B) P( A).
概率重要性质的证明
性质4 对于任一事件A，P( A) 1. 证 因A S,由性质3得
P( A) P(S) 1.
概率重要性质
性质5 若A为A的对立事件，则 P ( A) 1 P A .
证 因A A S,且AA ,由有限可加性得 1 P(S) P( A A) P( A) P( A).
在E７中事件A7：“最高温度和最低温度相差10摄氏度”，即 A7＝{(x，y) ︱y-x=10,T0≤x≤y≤T1}。
例3：
某袋中装有4只白球和2只黑球.若对球进行编号，4只白球分别
编为1，2，3，4号，2只黑球编为5，6号。我们考虑依次从中
摸出两球所可能出现的事件。如果用数对(i，j)表示第一次摸
返回
例 考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50
次、500次，各做10遍。得到数据如下表所示(其中nH表示H发 生的频数，ƒn(H)表示H发生的频率)。
试验序 号
1
n= 5
nH
ƒn(H)
2
0.4
n= 50
nH
ƒn(H)
22
0.44
n=500
nH
ƒn(H)
251 0.502
2
3
0.6
25
P()
P
An
P( An )
P().
n1 n1
n1
由概率的非负性知，P() 0,故由上式知P() 0.
概率重要性质的证明
性质2 对任意n个事件A1, A2 ,, An ,若他们是两两 互不相容的事件，则有
n
n
P( i 1
Ai
)
本章小结 概率论的基本概念
习题
随机试验、样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 概率的一般定义 条件概率 独立性
来自百度文库
§1,2 随机试验,样本空间,随机事件 随机试验
随机试验是具有以下特征的试验：可以在相 同条件下重复进行；每次试验的结果不止一个， 但结果事先可以预知；每次试验前不能确定哪个 结果会出现。
P An P( An ) n1 n1
可见，在公理化定义中只规定了概率应满足的性质，而 不具体规定出它的计算公式或计算方法。
概率重要性质及证明
性质1 P() 0.
证
令An (1, 2, ),则 An , 且Ai Aj ,
n1
i j,i, j 1, 2, .由概率的可列可加性得:
交换律 A B B A, A B B A;
结合律 A B C A B C, A B C A B C;
分配律 A B C A B A C , A B C A B A C ;
相等。
n
和：A B，表示A、B二事件中至少有一个发生；k1 Ak
表示n个事件A1 ，A2 ， … ， An中至少有一个发生。
差：A－B，表示事件A发生，而事件B不发生。 n
表示n积个：A事件AB，1 ，也A记2 作，A…B，，表示AnA都、发B二生事。件都发生；k1 Ak
互不相容(或互斥)：指AB＝ ，称事件A和 B不相容，即A与B不能同时发生；若n个事件 A1 ，A2 ，… ， An的任意两个事件不能同 时发生，则称A1 ，A2 ，… ， An互不相容
A：第一次摸出黑球； (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)
B：第二次摸出黑球； C：第一次及第二次都摸出黑球．
事件间的关系
包含：A B或B A，称事件B包含事件A，即事件
A发生必然导致事件B发生。
相等： A B且B A，即 A B ，称事件A与事件B
练习二 从下面两式分析各表示什么包含关系。
1A B A 2A B A
解 1A B A ,说明A是B的子集，A B 。 2A B A ，说明B是A的子集，B A 。
§3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 nA—A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称fn (A)为A在这n次试验中发生的频率。
5) 这三个事件恰好发生两个可以表示为：
ABC ABC ABC
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：
A B C或
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习一：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
i 1
P( Ai )；
概率重要性质的证明
证 令An1 An2 ,即 有Ai Aj , i j, i, j 1,2,.由 可 列 可 加 性 得
P( A1 A2 An ) P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 1
n
P( Ak ) 0 P( A1 ) P( A2 ) P( An ). k 1
空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的 子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
例2：
在E２中事件A１：“第一次出现的是H”，即 A１＝{HHH，HHT，HTH，HTT}；
事件A２：“三次出现同一面”，即 A2＝{HHH，TTT}；
在E６中事件A3 ：“寿命小于1000小时”，即 A3＝｛t︱0≤t＜1000}；
例5：用A，B，C的运算关系表示下列各事件。 1) A发生而B与C都不发生可以表示为：
ABC或A B C或A B C
2) A与B都发生而C不发生可以表示为：
ABC或AB C
3) 所有这三个事件都发生可以表示为：
ABC
4) 这三个事件恰好发生一个可以表为：
ABC ABC ABC
得i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是
(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6) (2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6) (3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6) (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5) 把这30个结果作为样本点，则构成了样本空间。我们也可 以研究下面另外一些事件：
0.50 249 0.498
3
1
0.2
21
0.42 256 0.512
4
5
1.0
25
0.50 253 0.506
5
1
0.2
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0.48 251 0.502
6
2
0.4
21
0.42 246 0.492
7
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0.8
18
0.36 244 0.488
8
2
0.4
24
0.48 258 0.516
9
3
0.6
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0.54 262 0.524
例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频1率n为；
某人一共听了17次“fn概( A率) 统15计1”7 课88，%其中有15次迟到，记 A={听课迟到}，则
fn ( A)
频率
反映了事件A发生的频繁程度。
频率的基本性质
由定义，易见频率具有下述基本性质： ⑴ 0≤ ƒn(A)≤1; ⑵ ƒn(s)＝1; ⑶ 若A1 ，A2 ， … ， Ak是两两互不相容的事件，则 ƒn( A1∪A2∪…∪Ak )=ƒn ( A1)+ƒn (A2)+…+ƒn (Ak).
概率重要性质的证明
性质3
设A, B是两个事件，若A B，则 P(B A) P(B) P( A)；
P(B) P( A). 证 由A B知B A (B A),且 A(B A) ,再由概率的有限可加性，得
P(B) P( A) P(B A). 又由非负性知，
样本空间、样本点
随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间 记为S。试验的每—个可能结果称为样本点。
例1：写出下列试验的样本空间。
E1：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况。 S1：{H，T}； E２：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 S2：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}； E３：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 S3：{0，1，2，3}； E４：抛一颗骰子，观察出现的点数。 S4：｛1，2，3，4，5，6}； E５：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 S5：{0，l，2，3，…}； E６：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 S6：｛t︱t≥0}； E７：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 S7：{(x，y) ︱T0≤x≤y≤T1}，这里x示最低温度，y表示最高 温度，并设这一地区的温度不会小于To，也不会大于T1。
概率重要性质的证明
n
n
P( i1
Ai
)
i1
P(Ai ) P(Ai Aj ).
1i jn
P(Ai Aj Ak ) 1 n1 P(A1A2 An ).
1i jkn
概率重要性质的证明
证 利 用 数 学 归 纳 法 ， 当n 3时 P( A B C ) P( A B) P(C ) P((A B)C )
概率重要性质的证明
性 质6 若AB ,则P( A B) P( A) P(B) 否 则P( A B) P( A) P(B) P( AB) 证 因A B A (B AB),且A(B AB) , AB B,故
P( A B) P( A) P(B AB) P( A) P(B) P( AB).
10
3
0.6
31
0.62 247 0.494
概率的一般定义
设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A 赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函 数P(﹡)满足下列条件：
⑴非负性：对于任何事件A，有P(A)≥0； ⑵规范性：对于必然事件S，有P(S)=1； ⑶可列可加性：设A1 ，A2 ，… 两两互不相容的事件， 即对于i≠j, AiAj= , i,j=1,2, …,则有
德·摩根律 A B A B; A B A B。
对于n个事件，甚至对于可列个事件，德·摩根律也 成立。
n
n
Ai Ai A1 A2 An
i1
i1
n
n
Ai Ai＝A1A2
i 1
i 1
An；
例4：
在例２中有
A1 A2 {HHH，HHT，HTH，HTT，TTT} A1 A2 {HHH} A2 A1 {TTT} A1 A2 {THH，THT，TTH}
随机事件
试验E的样本空间S的子集称为试验的随机事件，简 称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样 本点出现时，称这一事件发生。
基本事件（简单事件）、复合事件
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。由两 个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件。
必然事件、不可能事件
样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集， 在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。
概率论 与数理统计
前言
确定性现
自然界与社会生活中的两类现象 象
不确定性现 象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
明天天气状况
——不确定
买了彩票会中奖 ——不确定
概率论与数理统计是研究什么的？
概率论与数理统计是研究随机现象 统计规律的一门学科。
互为对立(互逆)：若 A B ＝S，且AB＝
则A与B二事件互逆,又称A与B互为对立事件. A的对立事件记为 A 有
A A S, AA
图示事件间的关系（Venn文图）
A
B
S
A
B
A
A
B
A
A
B
A B
A
B
AB
A
B
A－B
事件的运算
在进行运算时，经常要用到下述定律。设A，B，C 为事件，则有
因而
P(B A) 0
P(B) P( A).
概率重要性质的证明
性质4 对于任一事件A，P( A) 1. 证 因A S,由性质3得
P( A) P(S) 1.
概率重要性质
性质5 若A为A的对立事件，则 P ( A) 1 P A .
证 因A A S,且AA ,由有限可加性得 1 P(S) P( A A) P( A) P( A).
在E７中事件A7：“最高温度和最低温度相差10摄氏度”，即 A7＝{(x，y) ︱y-x=10,T0≤x≤y≤T1}。
例3：
某袋中装有4只白球和2只黑球.若对球进行编号，4只白球分别
编为1，2，3，4号，2只黑球编为5，6号。我们考虑依次从中
摸出两球所可能出现的事件。如果用数对(i，j)表示第一次摸
返回
例 考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5次、50
次、500次，各做10遍。得到数据如下表所示(其中nH表示H发 生的频数，ƒn(H)表示H发生的频率)。
试验序 号
1
n= 5
nH
ƒn(H)
2
0.4
n= 50
nH
ƒn(H)
22
0.44
n=500
nH
ƒn(H)
251 0.502
2
3
0.6
25
P()
P
An
P( An )
P().
n1 n1
n1
由概率的非负性知，P() 0,故由上式知P() 0.
概率重要性质的证明
性质2 对任意n个事件A1, A2 ,, An ,若他们是两两 互不相容的事件，则有
n
n
P( i 1
Ai
)
本章小结 概率论的基本概念
习题
随机试验、样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 概率的一般定义 条件概率 独立性
来自百度文库
§1,2 随机试验,样本空间,随机事件 随机试验
随机试验是具有以下特征的试验：可以在相 同条件下重复进行；每次试验的结果不止一个， 但结果事先可以预知；每次试验前不能确定哪个 结果会出现。
P An P( An ) n1 n1
可见，在公理化定义中只规定了概率应满足的性质，而 不具体规定出它的计算公式或计算方法。
概率重要性质及证明
性质1 P() 0.
证
令An (1, 2, ),则 An , 且Ai Aj ,
n1
i j,i, j 1, 2, .由概率的可列可加性得:
交换律 A B B A, A B B A;
结合律 A B C A B C, A B C A B C;
分配律 A B C A B A C , A B C A B A C ;
相等。
n
和：A B，表示A、B二事件中至少有一个发生；k1 Ak
表示n个事件A1 ，A2 ， … ， An中至少有一个发生。
差：A－B，表示事件A发生，而事件B不发生。 n
表示n积个：A事件AB，1 ，也A记2 作，A…B，，表示AnA都、发B二生事。件都发生；k1 Ak
互不相容(或互斥)：指AB＝ ，称事件A和 B不相容，即A与B不能同时发生；若n个事件 A1 ，A2 ，… ， An的任意两个事件不能同 时发生，则称A1 ，A2 ，… ， An互不相容
A：第一次摸出黑球； (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)
B：第二次摸出黑球； C：第一次及第二次都摸出黑球．
事件间的关系
包含：A B或B A，称事件B包含事件A，即事件
A发生必然导致事件B发生。
相等： A B且B A，即 A B ，称事件A与事件B
练习二 从下面两式分析各表示什么包含关系。
1A B A 2A B A
解 1A B A ,说明A是B的子集，A B 。 2A B A ，说明B是A的子集，B A 。
§3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 nA—A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称fn (A)为A在这n次试验中发生的频率。
5) 这三个事件恰好发生两个可以表示为：
ABC ABC ABC
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为：
A B C或
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习一：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
i 1
P( Ai )；
概率重要性质的证明
证 令An1 An2 ,即 有Ai Aj , i j, i, j 1,2,.由 可 列 可 加 性 得
P( A1 A2 An ) P( Ak ) P( Ak )
k 1
k 1
n
P( Ak ) 0 P( A1 ) P( A2 ) P( An ). k 1
空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的 子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
例2：
在E２中事件A１：“第一次出现的是H”，即 A１＝{HHH，HHT，HTH，HTT}；
事件A２：“三次出现同一面”，即 A2＝{HHH，TTT}；
在E６中事件A3 ：“寿命小于1000小时”，即 A3＝｛t︱0≤t＜1000}；