平面 向量的坐标

(3) A(4,0), B(0, 3)．
(1) AB (2, 4), BA (2,4)； (2) AB (1, 1), BA (1,1)； (3) AB (4, 3), BA (4,3)．
运用知识
OA 2， 3 =-2i 3 j．
2． 设向量 a 3i 4 j,写出向量a的坐标．
a 3， 4 ．
运用知识
强化练习
， 已知A，B两点的坐标，求 AB BA 的坐标．
(1) (2)
A(5,3), B(3, 1);
A(1,2), B(2,1);
设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向量为j，
OA 为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）．则 OM 2i， 3j． ON
由平行四边形法则知
OA OM ON 2i 3 j．
图7－17
动脑思考
（7．9）
巩固知识
例4 设
典型例题
a (1,3), b (2,，判断向量a、 b是否共线． 6)
解
由于 3×2−1×6＝0， 故由公式（7．9）知，a ∥ b ， 即向量a、 b共线．
运用知识
强化练习
判断下列各组向量是否共线：
3 )； 2 (2) a＝(1, −1) ， b＝(−2,2)；
.
向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去
原点到起点的向量的坐标.
自我反思
3
目标检测
共线向量的坐标表示？
对非零向量a、 b，设 当
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ),
时，有 0
a ∥ b x1 y2 x2 y1 0．
继续探索
活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.2Ａ组（必做） 教材习题７.2Ｂ组（选做） 实践调查：试着发现生活中的 向量坐标的应用．
强化练习
3．已知A，B两点坐标，求 AB， 的坐标及模． BA
(1) A (5,3)， (2) A (1,2)， (3) A (4,0)， B (3，−1)； B (2，1)； B (0，−3)．
略．
创设情境
兴趣导入
观察图7－20，向量 OA (5,3) OP (3,0)
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标
相等的充要条件：a b x x 且y y 1 2 1 2
i
x
巩固知识
典型例题
例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示 向量a、b, 并写出它们的坐标．
（3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
略.
创设情境
兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥ b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考
探索新知
设 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 由 a b ，有
PQ (3,2) (2, 1) (1,3), QP (2, 1) (3,2) (1, 3)．
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐 标减去起点坐标．
运用知识
强化练习
OA 的坐标，并用i与j的线性 1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量 组合表示向量OA．
x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
x1 y2 x2 y1 0
由此得到，对非零向量a、 b，设 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 当
0 时，有
a ∥ b x1 y2 x2 y1 0．
第七章
平面向量
7.2 平面向量的坐标表示
【学习目标】 （1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减 法及数乘向量运算的坐标表示； （2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 【重点】 向量线性运算的坐标表示及运算法则. 【难点】 向量的坐标的概念.采用数形结合的方法是突破难 点的关键.
创设情境
兴趣导入
作业
(1) a＝(2,3)， b＝(1, (3) a＝(2, 1) ， b＝(−1,2)．
略．
自我反思
1 向量坐标的概念？
目标检测
2
任意起点的向量的坐标表示？ 为i, y轴的单位向量为j，则对于从原点出发的任意
一般地，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量
向量a都有唯一一对实数x、y，使得 a xi yj． 有序实数对 ( x, y )叫做向量a的坐标，记作 a ( x, y )．
解 因为
a＝ OM ＋MA ＝5i＋3j ，
所以
a (5,3)，
可以看到，从原 同理可得 b 点出发的向量，其坐 (4,3). 标在数值上与向量终 点的坐标是相同的．
图7－19
巩固知识
例2 解
典型例题

已知点 P(2, 1)，Q(3, 2) ，求 PQ QP 的坐标． ，
y M(x,y) y
A j
j
O
i
x
O
i
向量的坐标等 于原点到终点的 向量的坐标减去 x 原点到起点的向 量的坐标．
B
图7－18(1)
百度文库图7－18(2)
动脑思考
探索新知
由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对 有序实数 ( x, y )， 使得 a xi yj ．有序实数对 ( x, y ) 叫做向量a的坐标，记作
a ( x, y )．
平面向量的坐标表示 注意： （1）与 a 相等的向量的坐标均为（x, y)
(2) i i 0 j (1, 0) 0 (0, 0) j 0i j (0,1)
y
a
j
O
a
A(x, y)
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 )
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1) (2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
(3) 3 a－2 a＝3 (1, −2)－2 (−2,3)＝(3,−6)－(−4,6)＝(7, −12)．
运用知识
强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)；
探索新知
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， (1) 设点 M ( x, y)，则 OM xi + yj（如图7－18(1)）；
(2) 设点 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) （如图 7－18(2)） ，则
AB OB OA ( x2 i + y2 j ) ( x1i + y1 j ) ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j．
( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
所以
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
（7.6）
类似可以得到
a b ( x1 x2 , y1 y2 )
（7.7）
（7.8）
a ( x1 , y1 )
巩固知识
典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标： (1) a＋b ， (2) －3 a， (3) 3 a－2 b ．
OM OA OP (8,3)
图7－20 可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．
动脑思考
探索新知
a b 设平面直角坐标系中， ( x1 , y1 )， ( x2 , y2 ) ，则
a b ( x1i y1 j ) ( x2 i y2 j )