山东省济宁市嘉祥县第一中学2019-2020学年高一6月月考数学试题(解析版)

山东省济宁市嘉祥县第一中学2019-2020学年高一6月月考
数学试题
一、选择题
1.设向量a ＝（2，4）与向量b ＝（x ，6）共线，则实数x ＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
『答案』B
『解析』由向量平行的性质，有2∶4＝x ∶6，解得x ＝3，选B
2.设向量)
(),2,2a b →
→
==-，若()()
a b a b λλ+⊥-，则实数λ=（ ）
A. ±1
B. 0
C.
D. ±2
『答案』C
『解析』()()()()
3,1,2,2,23,2,32,2a b a b a b λλλλλλ→→
=
=-∴+=+--=-+.
()()()(),0a b a b a b a b λλλλ∴+⊥-⋅+=-，
()()()
2
22220,2,λλλλ∴+-+-+=∴=∴=
故选：C.
3.已知直线l 是平面a 的斜线，则a 内不存在与l （ ） A. 相交的直线 B. 平行的直线 C. 异面的直线 D. 垂直的直线
『答案』B
『解析』由题意，直线l 是平面α的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线，所以在平面α内肯定不存在与直线l 平行的直线． 故答案为B
4.在ABC ∆中，点D 满足3BC BD =，则（ ） A. 12
33AD AB AC =- B. 12
33
AD AB AC =+ C. 21
33
AD AB AC =
- D. 21
33
AD AB AC =
+ 『答案』D
『解析』因为3BC BD =，所以3()AC AB AD AB -=-，即21
33
AD AB AC =+；故选D.
5.在ABC ∆中，,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 的三等分点，则
·AE AF =( )
A.
8
9
B.
109
C.
259
D.
269
『答案』B
『解析』因为AB AC AB AC +=-，所以AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，,AB AC 分
别为,x y 轴建立直角坐标系，设()()2,00,1AB AC ==，，又E F ，为BC 的三等分点所以，
4122,,,3333AE AF ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以412210,,33339AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.
6.在如图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点,则异面直线AC 和MN 所成的角为( )
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
『答案』C
『解析』连接1111,,AC BC A B 如下图所示，由于,M N 分别是棱BC 和棱1CC 的中点，故
1//MN BC ，根据正方体的性质可知11//AC A C ，所以11AC B ∠是异面直线,AC MN 所成
的角，而三角形11A BC 为等边三角形，故1160A C B ∠=. 故选C.
7.在
ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足()cos 3cos b C a c B =-，
若4BC BA ⋅=，则ac 的值为 （ ） A. 12 B. 11
C. 10
D. 9
『答案』A 『解析』在
ABC 中，()3bcosC a c cosB =-
由正弦定理可得()sin cos 3sin sin cos B C A C B =-
3sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=化为：3sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+
即()sin sin B C A += 在
ABC 中，sin 0A ≠，故1cos 3
B =
4BC BA ⋅=,
可得cos 4ac B =，即12ac = 故选A
8.在ABC ∆中，AB =
2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满
足2
2
2
OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）
A.
1
2
B. 1
C.
2
D.
32
『答案』D
『解析』
E 为BC 中点 ()
1
2
AE AB AC ∴=
+ ()
111
222
AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅
2
2
2
OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形
211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅
=，同理可得：21
2
AC AO AC ⋅= 221113
14422
AE AO AB AC ∴⋅=+=+=
本题正确选项：D
二多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
9.已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B. 若,//m n αα⊥，则m n ⊥ C. 若//,m αβα⊂，则//m β D. 若//,//m n αβ，则m 与α所成
的角和n 与β所成的角相等 『答案』BCD
『解析』选项A ：若,m n m α⊥⊥，则n ⊂α或//n α， 又//n β，并不能得到αβ⊥这一结论，故选项A 错误； 选项B ：若,//m n αα⊥，则由线面垂直的性质定理和线面平行的 性质定理可得m n ⊥，故选项B 正确；
选项C ：若//,m αβα⊂，则有面面平行的性质定理可知//m β， 故选项C 正确；
选项D ：若//,//m n αβ，则由线面角的定义和等角定理知，m 与α 所成的角和n 与β所成的角相等，故选项D 正确. 故选：BCD.
10.已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，其中AB =11A B =，
1112AA BB CC ===，则下述正确的是（ ）．
A. B. 11AA CC ⊥
C. 该四棱台的表面积为26
D. 该四棱台外接球的表面积为16π
『答案』AD
『解析』解：由棱台性质，画出切割前的四棱锥，
由于AB =11A B =△11SA B 与SAB ∆相似比为1:2；
则124SA AA ==，2AO =，则SO =1OO =A 对； 因为4SA SC AC ===，则1AA 与1CC 夹角为60︒，不垂直，B 错；
该四棱台的表面积为
824102
2
S S
S S =++=++⨯
⨯
=+上底下底侧，C 错；
由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在1OO 上，
在平面11B BOO 上中，由于1OO =，111B O =，则12OB OB ==，即点O 到点B 与点1B 的距离相等，则2r OB ==，该四棱台外接球的表面积为16π，D 对， 故选：AD ．
11.正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为2， E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，则（ ）
A. 直线1DD 与直线AF 垂直
B. 直线A 1G 与平面AEF 平行
C. 平面AFE 截正方体所得的截面面积为92
D. 点C 与点G 到平面AEF 的距离相等 『答案』BC
『解析』对选项A ，如图所示：
取1DD 中点M ，连接AM ，MF . 则AM 为AF 在平面11A ADD 上的投影，
因为AM 与1DD 不垂直，所以AF 与1DD 不垂直，故A 错误. 对选项B ，取11B C 的中点N ，连接1A N ，GN ，如图所示：
因为1//A N AE ，AE ⊂平面AEF ，1A N ⊄平面AEF ，所以1//A N 平面AEF ， 因
//GN EF ，EF ⊂平面AEF ，GN 平面AEF ，所以//GN 平面AEF ，
又因为1,A N GN ⊂平面1A GN ，1A N
GN N =，
所以平面1//A GN 平面AEF .
因为1
AG ⊂平面1A GN ，所以1//A G 平面AEF ，故B 正确. 对选项C ，连接1AD ，1FD ，如图所示：
因为1//AD EF ，所以平面1AD FE 为平面AFE 截正方体所得的截面.
1AD ====EF ，
1D F AE ===1AD FE 为等腰梯形，
=11
9
22
AD FE S =⨯=. 故C 正确.
对选项D ，连接CG 交EF 于H ，如图所示：
假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 必过CG 的中点， 而H 不是CG 的中点，则假设不成立，故D 错误. 故选：BC
12.在ABC 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==若2,cos CB CD CDB =∠=，则（ ） A. 3sin 10
CDB ∠= B. ABC 的面积为8
C.
ABC 的周长为8+ D.
ABC 为钝角三角形
『答案』BCD
『解析』因为cos CDB ∠=所以sin 5
CDB ∠==,故A 错误； 设CD a =,则2BC a =,在BCD 中,2222cos BC CD BD BD CD CDB =+-⋅⋅∠,解得
a =,所以11sin 33225
DBC
S
BD CD CDB =
⋅⋅∠=⨯=, 所以3583
ABC
DBC
S
S +=
=,故B 正确；
因
ADC CDB π∠=-∠,所以()cos cos cos 5
ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=
,
在ADC 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得AC =
所以()358ABC
C
AB AC BC =++=++=+故C 正确；
因为8AB =为最大边,所以2223
cos 025
BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以
ABC 为钝角三角形,故D 正确.
故选:BCD 三、填空题
13.已知()2,1a =--，(),1b λ=，若a 与b 的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为______.
『答案』()1,22,2⎛⎫
-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
『解析』由于a 与b 的夹角α为钝角，则0a b ⋅<且a 与b 不共线，
()2,1a =--，(),1b λ=，2102
λλ--<⎧∴⎨
-≠-⎩，解得1
2λ>-且2λ≠，
因此，实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-
⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：()1,22,2⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 14.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，
AB ⊥平面BCD ，且有21BD CD AB BD CD ⊥===，，，则此鳖臑的外接球O
（A B C D 、、、均在球O 表面上）的直径为__________；过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值为__________. 『答案』 (1). 3 (2). π
『解析』根据已知条件画出鳖臑A BCD -，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑
A BCD -外接球的直径为AC ，且3AC ==.
过BD 的平面截球O 所得截面面积的最小值的是以BD 为直径的圆，面积为
2
ππ2⎛⎫
⨯= ⎪⎝⎭
BD . 故答案为：(1). 3 (2). π
15.如图，P 为ABC ∆内一点，且11
35
AP AB AC =
+，延长BP 交AC 于点E ，若AE AC λ=，则实数λ的值为_______.
『答案』
310
『解析』由AE AC λ=，得1
AC AE λ=，可得出1135AP AB AE λ=
+，
由于B 、P 、E 三点共线，11135λ∴+=，解得310λ=，故答案为3
10
. 16.已知2a b +=，向量,a b 的夹角为3
π
，则a b +的最大值为_____.
『答案』
3
『解析』将2a b +=两边平方并化简得()2
4a b
a b +-=，由基本不等式得
()
2
2
24a b
a b a b ⎛⎫++
⎪≤= ⎪⎝⎭
，故()
2
3
44
a b +≤，即()
2
163a b
+≤
，即43
a
b +≤，所以a b +的最大值为 四、解答题
17.已知:4,(1,3)a b ==- （1）若//a b ，求a 的坐标；
（2）若a 与b 的夹角为120°，求a b -.
解：（1）∵
()
1,3b =-，∴2b =，与b 共线的单位向量为122b
c b ⎛⎫=±=±- ⎪ ⎪⎝
⎭
. ∵4,//a a b
=，∴(
2,a a c ==-或(-.
（2）∵0
4,2,,b 120a b a ===，∴b cos ,b 4a b a a ⋅==-， ∴()
2
22228a b
a a
b b -=-⋅+=，∴27a b -=.
18.如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
求证：（1）PB ∥平面AEC ；
（2）平面PCD ⊥平面P AD ．
解：（ 1）证明： 连、BD AC 交于O,
因为四边形ABCD 是正方形 , 所以12
，==AO OC OC AC , 连EO ，则EO 是三角形PBD 的中位线, EO PB ,
⊂EO 平面AEC ，PB ⊄平面AEC 所以PB 平面AEC .
（2）因为⊥PA 平面ABCD ,
所以⊥CD PA ,
因为ABCD 是正方形，所以⊥AD CD , PA AD A ⋂=
所以⊥CD 平面PAD ,
所以平面⊥PAD 平面PCD .
19.已知ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--.
（1）若//m n ，求证：ABC 为等腰三角形；
（2）若m p ⊥，边长2c =，角3C π
=，求ABC 的面积.
解：（1）因为//m n ，所以sin sin a A b B =，即22a b =，
所以a b =，即ABC 为等腰三角形.
（2）因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=，即ab a b =+. 由余弦定理可知，()2
2242cos
33a b ab a b ab π=+-=+-， 即()2340ab ab --=
解方程得：4ab =（1ab =-舍去）
所以11sin 422S ab C ==⨯= 20.在ABC ∆中，1c =，2π3A =
，且ABC ∆
的面积为2． （1）求a 的值；
（2）若D 为BC 上一点，且 ，求sin ADB
∠值． 从①1AD =，②π6
CAD ∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 解：（1） 由于 1c =，2π3A =，1sin 2
ABC S bc A ∆=， 所以2b =，
由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-，
解得a =
（2）①当1AD =时，
ABC ∆中，由正弦定理
sin sin b BC B BAC =∠，
即2sin B =
，所以sin B =
． 因为1AD AB ==，所以ADB B ∠=∠．
所以sin sin ADB B ∠=，
即sin ADB ∠= ②当30︒∠=CAD 时，
在ABC ∆中，由余弦定理知，
222cos 2AB BC AC B AB BC +-==⋅． 因为120A ︒=，所以90DAB ︒∠=， 所以π2
B ADB ∠+∠=， 所以sin cos ADB B ∠= ，
的
即sin ADB
∠=．
21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，1
2 2
BC CD AB
===，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点．
（1）证明：CE∥面P AD.
（2）若直线CE与底面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积．
解：解法一:(1)取P A中点Q，连接QD，QE，
则QE∥AB，且QE=1
2 AB
∴QE∥CD，且QE=CD.
即四边形CDQE平行四边形，CE∥QD.又∵CE⊄平面P AD，QD⊂平面P AD，
∴CE∥平面P AD.
(2)连接BD，取BD中点O，连接EO，CO
则EO∥PD，且EO=1
2 PD.
∵PD⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
则CO为CE在平面ABCD上的射影，
即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角，∠ECO=45°
在等腰直角三角形BCD 中，BC =CD =2，则BD ，
则在RtΔECO 中，∠ECO =45°，EO =CO =
12BD
2PD =2E ， ∴1(24)262ABCD S =
+⨯=底面
∴11633
P ABCD ABCD V S -==⨯⨯=底面
∴四棱锥P -ABCD 的体积为.
解法二：(1)取AB 中点Q ，连接QC ，QE
则QE ∥P A
∵P A ⊂平面P AD ，QE ⊄平面P AD
∴QE ∥平面P AD ，
又∵AQ =12
AB =CD ，AQ ∥CD ， ∴四边形AQCD カ平行四迹形，
则CQ ∥DA
∵DA ⊂平面P AD ，CQ ⊄平面P AD ，
∴CQ ∥平面P AD ，
(QE ∥平面P AD .CQ ∥平面P AD ，证明其中一个即给2分)
又QE ⊂平面CEQ ，CQ ⊂平面CEQ ，QE CQ =Q ，
∴平面CEQ ∥平面P AD ，
又CE ⊂平面CQ ，
∴CE ∥平面P AD .
(2)同解法一.
22.如图半圆O 的直径为4，A 为直径MN 延长线上一点，且4OA =，B 为半圆周上任一
点，以AB 为边作等边ABC （A 、B 、C 按顺时针方向排列）
（1）若等边ABC 边长为a ，AOB θ∠=，试写出a 关于θ的函数关系； （2）问AOB ∠为多少时，四边形OACB 的面积最大？这个最大面积为多少？ 解：（1）由余弦定理得2a =()()22222016AB OB OA OB OA cos cos θθ=+-⋅⋅=-
则[])0,a θπ=∈
（2）四边形OACB 的面积＝△OAB 的面积+△ABC 的面积
则△ABC 的面积)22016AB cos θ=
=- △OAB 的面积11sin 24sin 4sin 22
OA OB θθθ=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
四边形OACB 的面积(2016cos )4sin 4θθ=
-+
)4sin 8sin 3πθθθ⎛⎫=+=- ⎪⎝
⎭ ∴当2ππ3θ-
=，
即5π6
θ=时，四边形OACB 的面积最大，其最大面积为8．。