二次函数中的符号问题
二次函数中的符号问题
符号问题在数学竞赛中的应用
了解符号问题在数学竞赛中的常见考点，应用技巧和解题思路，提升数学竞 赛的得分。
负导数的影响
负导数导致抛物线开口向下，影 响函数的增减性。
对称轴的意义
对称轴确定了抛物线的对称性质， 影响函数的对称性。
方程组和符号
等于号
等于号用于表示方程组中的等 式，解决方程问题。
不等号
不等号用于表示方程组中的不 等式，解决不确定问题。
集合符号
交集、并集、补集符号在方程 组中的应用，理解问题的集合 关系。
函数的性质与符号
奇偶性
函数的奇偶性通过符号判断，帮助分析函数的对称性。
周期性
函数的周期性通过符号表示，查找规律和解决周期问题。
全域性
函数的定义域和值域，利用符号确定函Βιβλιοθήκη 的特性。不等式解法中的符号应用
了解不等式解法中，符号的应用技巧和常见错误，通过示例演示解决问题的思路。
数学符号在实际应用中的重要性
二次函数中的符号问题
探索二次函数中的符号问题，包括基本概念、符号的含义和使用方法，符号 对图像、方程组和函数性质的影响，以及在不等式解法和数学竞赛中的应用。
基本概念及定义
解析二次函数的基本概念，明确符号的含义和使用方法。应用示例和图像展 示，加深理解。
图像和符号的关系
正导数的影响
正导数导致抛物线开口向上，影 响函数的增减性。
26.1二次函数(7)有关符号的判断
精讲点拨：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
由抛物线与y轴的交点位置确定 （2）C的符号： 交点在x轴上方 c>0
交点在x轴下方
经过坐标原点
c<0
c=0
先定a的符号，由对称轴的位置确定 （3）b的符号：
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
开口向上
对称轴是：直线x 1
练习：
1.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数， 图象顶点必在（ ）A . A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上
2.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2 －4x－1 有相同的顶点，并且在对称轴左侧，y随x的增大而 增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则所求 的二次函数的解析式为（ A ） A.y=-x2+2x-4 B.y=ax2-2ax+a-3(a>0) C.y=-x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)
课堂作业
1.已知二次函数y=ax2+bx+c， 写出a、b、c、△的符号。 2.二次函数y=ax2+bx+c的图
c 像如图所示，求点M（b, ) a 所在得象限
3、已知抛物线y=-2x2+3x-1，画出 抛物线的草图。
4、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是 ( D )
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中不正确的是 （ D ） y A、abc＞0 B、b2-4ac＞0
二次函数中的符号问题
基础回顾：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、形状与什么 有关？
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。
a 相等
抛物线的形状相同
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0、c）.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 X=- b .
2a
2
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
y
根据图像可得：
1、a＞0
2、- b ＞0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＞0
6
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、-
＜0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＝0
7
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
M
B 1
Ax
O
1
17
再想一想：
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的
图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 -2 .
设正方形的对角线长为2n， 根据图像可得：
∵A（0、2n）、B（-n、n）、 C（n、n） ∴n=a（±n）²+2n、c=2n，
∴a=- 1 ，∴ac=2n*（-
②如图2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0
12
根据图象填空：
（1）a_____0； （2）b_____0； （3）c______0； （4）b2 4ac _____0； （5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0； （7）2a＋b_____0；
二次函数中的符号问题.ppt
得分）
y
第(2)问：给出四个结论：
2
① abc<0； ②2a+b>0；
③a+c=1； ④a>1．
x
其中正确结论的序号是② ③ ④
-1 O 1
（答对得5分，少选、错选均
不得分）．
16
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
y
根据图像可得：
1、 a＞0
2、 b<0 3、 c>0
o
x 4、△=b²-4ac＝0
5 、 a+b+c 0
6 、 a-b+c>0
7
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △ 、 a-b+c的符号：
y
根据图像可得：
1、a>0
2、C>0
3、b<0
4 、△=b²-4ac>0
o
2又 、b>0
b
( 2- a
b 2a
＝1 1)
b 2a
34、 、(△C＜=2ba0²-)42ac＞40ac
c 0
o
x
x=1
12
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；
④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ）
x 5、a-b+c>0
8
二次函数符号问题
o
x
△>0.
8
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b>0, c=0,
o
x
△>0.
9
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b<0, c>0,
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
①a____0 ＜ ， ②b_____0, ＜ ③c_ ＞ __0， ＞ ， ④b2-4ac_____0 -2 -1 0 1
⑤a+b+c_____0, ＜
⑥2a+b_ ＜__0.
2.已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象右图，5
①3a-b = ② ＞
0, 0.
----达标 5 ~ 10 ----优秀 13 ----NO.1
小 结 一
a的符号： 由抛物线的 开口方向确定 b的符号： 由抛物线的对称轴的位置 确定
C的符号： 由抛物线与
y 轴的 交点位置 确定:
7
由抛物线与 x 轴交点 个数 决定 的符号：
火眼金睛
二次函数中的符号问题
3
数形结合 双壁辉映
二次函数的学习
4
y
Y=ax² (a>0)
0
x
5
Y
Y=ax² +bx+c(a>0) Y=ax² +bx+c (a>0)
0 0
X x
X=-b/2a
6
y
Y=ax²(a<0)
0 x
7
y
Y=ax² +bx+c (a<0)
0 x
X=-b/2a
8
三、二次函数 y=ax² +bx+c（a≠0） 的图象特征与a 、 b、c的关系。
15
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、2a
x
＜0
3、△=b² -4ac＞0 4、C＝0
16
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
柑 坳 中 学
二次函数中的符号问题
1
基础扫描
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) .
4a . 当a>0时，抛 轴是 4ac b 2 物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是 4a ；当
2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称 2 . 二次函数y=ax b b 4ac b 2
9
九年级数学二次函数中的符号问题(教案)
二次函数的符号问题教学目标：1．通过学习，掌握不同函数在同一坐标系中可能存在的大致图像2．通过主动探究的学习，提高学生的独立性，培养学生独立完成任务的意识3．通过分类讲解，提升学生自我认知能力，引导学生掌握二次函数a 、b 、c 与图像的关系重难点:能根据二次函数图像正确判断二次函数中系数的符号知识回忆：一、二次函数的概念一般地，如果y 与x 的关系满足：2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
二、二次函数的图象、开口方向及大小、对称轴、顶点坐标、增减性和最大最小值把二次函数2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠是常数，解析式变化成()k h x a y +-=2的形式。
2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++ 新课知识：一、二次函数图像与系数a 、b 、c 关系技法：对于c bx ax y ++=2的图象特征与a 、b 、c 的关系为：①抛物线开口由a 定，上正下负；①对称轴位置a 、b 定，左同右异，b 为0时是y 轴；①与y 轴的交点由c 定，上正下负，c 为0时过原点。
1. 抛物线c bx ax y ++=2的图象如下图，则a 、b 、c 的符号为〔 〕Ａ.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b aC. 0,0,0=<>c b aD.0,0,0<<>c b a2. 假设a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线c bx ax y ++=2的大致图象为〔 〕3. 在同一直角坐标系内，二次函数()c x c a ax y +++=2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是〔 〕二、①的符号的判定ac b 42-的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，042>-ac b ；1个交点，042=-ac b ；没有交点，042<-ac b4. 以下图中⊿0<的是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕5. 不管x 为何值,函数()02≠++=a c bx ax y 的值恒大于0的条件是( )A.a>0,①>0;B.a>0, ①<0;C.a<0, ①<0;D.a<0, ①<0 O y x O y x y x O yx O . .三、含a 、b 的代数式符号的判定 由对称轴公式a b x 2-=，可确定b a +2的符号 6.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，则①20a b +>①20a b +<①02b a-<①20a b -<①20a b ->中正确的___________.(请写出番号即可)7. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，则以下说法不正确的是〔 〕A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a-< 四、含a 、b 、c 的代数式符号的判定当1=x 时，可确定c b a ++的符号，当1-=x 时，可确定c b a +-的符号当2=x 时，可确定c b a ++24的符号，当2-=x 时，可确定c b a +2-4的符号8. 如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P 〔3，0〕，则c b a +-的值为〔 〕A. 0B. －1C. 1D. 29. 二次函数2y ax bx c =++〔0a ≠〕的图象如下图，有以下4个结论：①0abc >；①b a c <+；①420a b c ++>；①240b ac ->；其中正确的结论有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 抛物线c bx ax y ++=2的图象如下图，则以下结论正确的是〔 〕A ．0>++c b aB ．a b 2->C ．0>+-c b aD ．0<c –13 3 1 -1 O x =1 yx11. 抛物线c bx ax y ++=2中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论：①0>c ； ①0>++c b a ①0>+-c b a①042<-ac b ①0<abc ①c a >4；其中正确的为〔 〕 A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①知识小结： 二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号确实定： 〔1〕a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；开口向下,则a ＜0．〔2〕b 和a 共同决定对称轴的位置.(由对称轴公式x=判断符号．)a,b 同号时,对称轴在y轴左侧;a,b 异号时,对称轴在y 轴右侧;简称左同右异〔3〕c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；交点在y 轴负半轴,则c ＜0．交点在原点, c=0.〔4〕b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．〔5〕当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．〔6〕由对称轴公式a b x 2-=，可确定b a +2的符号． 板书设计： 二次函数的符号问题复习 含a 、b 的代数式符号的判定a 、b 、c 与图像的关系 含a 、b 、c 的代数式符号的判定①的符号的判定 知识小结。
中考数学二次函数由图像判断符号题目(大全)
二次函数判断符号问题大全1 函数y=ax + 1与y=ax 2+ bx + 1 （a 工0的图象可能是（）大而增大；④a - b ■ C ：：： 0，其中正确的个数（） A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个4、 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2所示，若点A （1, yj 、B （2, y ?）是它图象上的两点，贝V y i 与y 2的大小关系是（ 、A . y 1 ::: y 2 B . y 1 = y 2 C . y 1 y 2 D .不能确定 5、 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a 丰0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a > 0.②该函数的图象关于直线 x =1对称•③当x 二-1或x 二3时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ 、A . 3 B . 2 C . 1 D . 02y = bx • b 2 -4ac 与反比例函数1Xo2、（3、 A .B .C .D .①ac 0 ；②方程ax 2 bx 0的两根之和大于 0 ；③y 随x 的增6、二次函数y =ax bx c的图象如图所示，则一次函数在同一坐标系内的图象大致为（①b ：：： 0②c0③b 2-4ac 0④a-b ，c ：：：0，其中正确的个数有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2①b ：：：0②c 0③b -4ac 0④a-b ，c ：：：O ，其中正确的个数有(2已知二(a = 0 )的图象如图4所示，有下列四个结论：7 题图 8 题图 9 题图8、已知=次函数y = ax 2 +bx+c 的图象如图.则下列5 个代数式：ac , a+b+c , 4a — 2b+c ,2a+b , 2a — b 中，其值大于0的个数为(B 3C 、4D 、52已知二次函数y = ax bx c(a = 0 )的图象如图所示，有下列四个结论：2a +b + c则一次函数 y = bx • b -4ac 与反比例函数 y 二10、二次函数y =ax bx c 的图象如图所示,A . 在同一坐标系内的图象大致为B .x C.xD .211、小强从如图所示的二次函数y =ax bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：（1） a ::： 0 ； （2）c 1 ； （ 3）b 0 ； （ 4） a b c 0 ；（ 5）a-b ・c 0.你认为其中正确信息的个数有A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个能是（）14、 二次函数y =ax 2 bx c 的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是A . a v 0B. abc >0C. a b c > 0D. b 2 -4ac > 02J严：1 11 i/O ! 4\212、二次函数 y =ax bx c （a = 0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1，则下列四个结论错误.的是13、在同一直角坐标系中，函数2B . 2a b=0C . b -4ac 0D . a -b c 02y = mx m 和函数 y = -mx 2x 2（m 是常数，且m = 0 ）的图象可12题图15、已知二次函数y =ax - bx - c的图象如图所示，有以下结论：① a b ： 0:② b c 1 :③abc 0 :④4a -2b • c ：：： 0 :⑤c - a 1其中所有正确结论的序号是（）A .①②B .①③④C .①②③⑤D .①②③④⑤15题图216、二次函数 y =ax bx c(a =0)B . b :: 017、二次函数y 二ax 2 - bx c 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）D . b 2 -4ac ：：0 C . c ： 0)。
二次函数的符号的问题浙教版
观察抛物线的对称轴位置，若对称轴在 $y$ 轴左侧，则 $a$ 与 $b$ 同号；若对称轴在 $y$ 轴右侧，则 $a$ 与 $b$ 异号。
已知二次函数根的情况求符号
若方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有两个不相等的实根，则 $Delta = b^2 - 4ac > 0$，且 $a neq 0$。
当二次函数无实根时，若$a > 0$，则 函数值始终大于0；若$a < 0$，则函
数值始终小于0。
04 典型例题分析
已知二次函数解析式求符号
对于形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的二次函数，若 $a > 0$，则抛 物线开口向上，若 $a < 0$，则
抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为 $x = frac{b}{2a}$，若 $a$ 与 $b$ 同 号，则对称轴在 $y$ 轴左侧，若 $a$ 与 $b$ 异号，则对称轴在
二次函数与绝对值不等式
将绝对值不等式转化为分段函数，再结合二次函数的性质进行求解。
二次函数与实际应用问题
二次函数与最值问题
利用二次函数的性质，可以求解实际生活中的最值问题，如最大 利润、最小成本等。
二次函数与拟合问题
通过最小二乘法等方法，可以用二次函数对数据进行拟合，预测 未来趋势。
二次函数与动态规划
若方程有两个相等的实根，则 $Delta = b^2 - 4ac = 0$，且 $a neq 0$。
若方程无实根，则 $Delta = b^2 - 4ac < 0$，且 $a neq 0$。
05 浙教数的符号问题
参数影响二次函数开口方向
01
当参数使得二次项系数为正时，函数开口向上；为负时，开口
二次函数的符号问题的
(三)由函数图象上的点的坐标求函数解析式
求下列条件下的二次函数的解析式: 1.已知一个二次函数的图象经过点（0，0）， （1，﹣3），（2，﹣8）。 2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3）， 且图象过点（－3，－2）。 3.已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且 经过点(2,12)
x 0时
x=h时 ymin=0
x=h时 ymin=k
b 4ac b 2 x 时，ymin 2a 4a
b 4ac b 2 x 时，ymax 2a 4a
y y x x
x 0时
y max 0 y max c
在对称轴左侧，y随x的增大而减小 增 减 性 在对称轴右侧，y随x的增大而增大
三、待定系数法求二次函数的解析式
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法一： 一般式 设解析式为 ∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1.
的图像如图所示，
∵A(-1,0)与 B关于 x=1对称， ∴B（3，0）。
∵A(-1,0)、B（3，0）和
C（1，4）在抛物线上，
∴ 即：
三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。 解法二：顶点式 的图像如图所示，
开启
智慧
9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） A、2个 C、4个 B、3个 D、5个
y
-1 o
1
x
观察与思考
独立 作业
10、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中不正确的是 （ ） D
二次函数中的符号问题优秀课件
A、2个 B、3个
y
C、4个 D、5个
根据图像可得： 1、a＜0
2、- b ＝-1 2a
3、△=b²-4ac＞0 4、C＞0
-1 o 1 x
13
再想一想：
5.(06.芜湖市)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+c（a<0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，
则ac的值是 -2 .
16
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a+2)x2-(2a-1)x+a-2的图象与坐标轴有两 个交点，则a可取的值为 ；
3.(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0）， 且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③
4、C＝0
7
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得： 1、a＞0
2、- b ＞0
o
x
2a
3、△=b²-4ac＝0
4、C＞0
8
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、- 2 a ＝0
A、4个 B、3个
y
C、2个 D、1个
根据图像可得：
1、a＜0
b
2、-
＝1
2a
3、△=b²-4ac＞0 4、C＜0
二次函数a,b,c 的符号判断问题
二次函数的符号问题1.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y 1），（1，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）2.如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(-3，0)和(-2，0)之间，有四个结论：①b 2-4ac ＜0；②a +b +c ＜0；③2c -b =4；④方程ax 2+bx +c -2=0有两个不相等的实数根．其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个3．二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的图象如图，其对称轴为x =-1，有下面五个结论：①b ＞0；②24b ac -＞0；③c=-3a ；④4a -2b+c ＞0；⑤对于图象上的两个不同的点(m ,n )、(-1,k )，有n k >.其中正确结论有()A .2个B .3个C .4个D .5个4.抛物线2y ax bx c =++图象如图所示，给出下列四个结论：①abc >0；②2a b c ++=；③12a >；④b ＜1.其中正确的结论是（????）（A ）①②??（B ）②③??（C ）②④??（D ）③④5.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为（ ）6.小轩从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（ ）7.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0; ②b ＜a ＋c; ③4a ＋2b+c>0④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＜m(am ＋b)（m≠1的实数）其中正确结论的序号有＿＿＿＿＿8.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab ＜0，②b 2＞4a ，③0＜a+b+c ＜2，④0＜b ＜1，⑤当x ＞﹣1时，y ＞0，其中正确结论的个数是（ ）9.对于对称轴为x =-1的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，有下面五条信息：①2c =；②b =2a ；③24b ac -＞0；④3a +b +c ＜0；⑤当x ＜-3时，y ＜0.其中正确信息的个数为()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；0>；④242a b at bt ->+（为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（）．A.4个B ．3个C ．2个D ．1个11.（2016中考）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3；③3a+c ＞0④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜3⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个。
二次函数的性质a,b,c符号问题
二次函数的图像与性质知识点：二次函数抛物线，图像对称是关键，开口、顶点和交点，它们确定图像现。
a 的正负开口判（开口大小由a 断），c 与y 轴来相见，b 的符号较特别，符号与a 相关联，顶点位置先找见，y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱。
△的符号最简便，x 轴上数交点，顶点坐标最重要，一般配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值现，若求对称轴位置，括中符号正相反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
二次函数a ，b ，c 及相关问题的解决：1、 a 正负性：由开口方向决定，开口向上，a ＞0；开口向下，a ＜02、 b 的正负性：由于抛物线对称轴为ab x 2-=，所以b 的正负性与对称轴的位置和a 的正负性相关联。
对称轴在y 轴的左边时，a 、b 符号相同，对称轴在y 轴的右边时，a 、b 符号相反，对称轴为y 轴时，b=0（左同右异中为0）3、 c 的正负性：c 表示抛物线与y 轴交点的纵坐标，即当x=0时，y=c ，所以当抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方时，c ＞0，当抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方时，c ＜0。
（c 与y 轴来相见）4、 abc 的正负性：a ，b ，c 确定，则随之确定5、 ac b 42-=∆的正负性：△是根的判别式，由于一元二次方程是二次函数y=0的特殊情况，所以可以从抛物线与x 轴的交点个数来判断△的正负性，与x 轴有两个交点时，042>-ac b ，与x 轴的交点有一个时，042=-ac b ，与x 轴没有交点时，042<-ac b6、 利用x 的特殊值判断一些代数式的正负性：当x=1时，y=a+b+c ，当x=-1时，y=a-b+c ，当x=2时，y=4a+2b+c ，当x=-2时，y=4a-2b+c ，当x=3时，y=9a+3b+c ，当x=-3时，y=9a-3b+c ，对于取x 的特殊值得到代数式的正负性，重点看此时图像在x 轴的上方还是下方。
二次函数中的符号问题(十分经典)
②、 y ax2 c(a 0)
③、 y a(x h)2 (a 0)
o
x
④、 y a(x h)2 k(a 0)
(顶点式)
⑤、y ax2 bx c(a 0)
(一般式)
⑥、y a(x b )2 4ac b2 (a 0)
2a
4a
4
练习1
实数根，则抛物线 y 2x 2 的 顶x 点n在（ ）
A、第一象限 C、第三象限
B、第二象限 D、第四象限
2、不论自变量取什么实数，函数 y 2x2 6x m 的值总是正数，你认为m的取值范围是 __________
3、如果二次函数 y x 2 4x c 的图像与x轴 最多有一个交点，则c的取值范围是 ________
A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
y x
y x
思考：3、4题的特征是什么？
练习4
5.已知：一次函数y=ax+c与二次函数
y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象
是（ C ） y
y
o
判断的 （A）
x
技巧是 y
什么？
知识点三：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
点在x轴上
a+b+c=0
人教版初中数学九年级上册 22.1.4二次函数系数的符号问题(共30张PPT)
x
想一想：
1、抛物线y=ax2+bx+c在x轴
上方的条件是什么？
a＞0
b2 4ac＜ 0
x
变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的值永远是正值的条件是什么？
练一练：不论x取何值时，函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非负数的 条件是什么？
你的收获
a b c b2-4ac
c<0
c=0 y
o
x
知识点一：基本符号的判断
（3）b的符号：由对称轴的位置及a 的符号确定。
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b同号 a、b异号
y b=0
简记为：
左同右异
o
x
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0 a＜0 b=0
开口____向__上_______________ 开口____向__下_______________ 对称轴为__y___轴
a、b同号 对称轴在y轴的_左___侧 a、b异号 对称轴在y轴的_右___侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于__正___半轴 c＜0 与y轴交于__负___半轴
知识点一：基本符号的判断
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定。
与x轴没有交点
与x轴有一个交点
没有实数根b2-4ac<0 有两个相等的实数根b2-4ac=0
b 2a
与-1的大小关系
知识点二： 2a+b和2a-b符号判断
练一练：
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，请判断下列各式符号； y
补充内容(二)：二次函数符号问题学案
学号：_______ 姓名：____________【学习目标】1、能根据二次函数y =ax 2+bx +c 的图象确定a ，b ，c ，b 2-4ac ，a+b+c ，a-b+c 等代数式的符号.2、能解决二次函数中的简单的符号判断问题.【预习导航】1、已知二次函数2y ax bx c =++的图如图所示，则在“①0a <， ②0b >，③0c <，④240b ac ->”中正确的判断是（ ） A ．①②③④ B ．④ C ．①②③ D ．①④2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是1x =， 则下列结论中正确的是（ ） Ａ．0ac > Ｂ．0b <Ｃ．240b ac -<Ｄ．20a b +=3、根据右边二次函数y =ax 2+bx +c 的图象填空： (1)a _______0； (2)b _______0； (3)c _______0； (4) b 2-4ac _______0； (5) a+b+c _______0； (6) a-b+c _______0； (7) 4a +2b +c _______0； (8) 2a +b _______0.4、根据右边二次函数y=ax 2+bx+c 的图象填空： (1)a _______0； (2)b _______0； (3)c _______0； (4) b 2-4ac _______0； (5) a +b +c _______0； (6) a -b +c _______0； (7) 4a -2b +c _______0； (8) 2a -b _______0.预习小结：如何判断a ，b ，c ，b 2-4ac ，a+b+c ，a-b+c ，2a +b （或2a -b ）的符号？x学号：_______ 姓名：___________【跟踪练习】1、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）2、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示， 则直线y bx c =+的图象不经过（ ） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限3、二次函数y =(3－m )x 2－2mx －m 的图象如图所示，则m 的 取值范围是（ ） A.m >0 B.m <0 C.m <3 D.0<m <34、二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示．有下列结论：①240b ac -<；②0ab >；③0a b c -+=； ④40a b +=；⑤当2y =时，x 只能等于0．其中正确的是（ ） Ａ．①④ Ｂ．③④ Ｃ．②⑤Ｄ．③⑤5、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了 下面的五条信息：①0a <；②0c =；③函数的最小值为3-； ④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >． 你认为其中正确的个数为（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．56、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点 A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论： ①b 2＞4ac ；②2a -b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ． 其中正确结论有_______________．【学习反思】判断二次函数中某些代数式的符号问题，你有哪些技巧、方法、规律？23-xOxyO x yOxyOxyAB C DO xyxyO0 2 5 x2y。
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二次函数中的符号问题
一、基本知识：
（1）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由 决定的. 抛物线的开口向上
抛物线的开口向下
抛物线的形状相同
（2）抛物线y=ax 2+bx+c 与y 轴的交点的位置是由 决定的.
抛物线与y 轴相交于正半轴上；
抛物线与y 轴相交于原点；
抛物线与y 轴相交于负半轴上.
（3）抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴的位置是由 决定的.
对称轴在y 轴的左侧；
对称轴在y 轴的右侧；
对称轴就是y 轴.
（4）抛物线与x 轴交点的个数由 决定的.
抛物线与x 轴有2个交点；
抛物线与x 轴有1个交点；
抛物线与x 轴有0个交点.
（5）二次函数y=ax 2+bx+c 的值恒大于0（或恒小于0）的条件是:
y 恒大于0
y 恒小于0
（6）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是（ ， ）
顶点在x 轴上
顶点在y 轴上
二、例题：
例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空：
（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）
（1）a___0，b__0，c___0，（2）a+b+c_____0，a －b+c______0，
（3）
例2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空：
（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）
（1）a___0；b___0；c___0；a+b+c___0；a －b+c______；
（2）
练习：
二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，根据图像填空：
（用“＞”、“＝”、“＜”填空 ）
（1）a_____0，b____0，c_____0；
（2）a+b+c_____0，a －2b_____0，9a －3b+c_____0
c_____0b 21a 41+-1_____0b 2
1a 41--
例3、（1）已知二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个
函数图像的顶点必在…（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，已知图像与x轴的一个交点为（1,0），则下列各式中不成立的是…………（）
A、b2－4ac>0
B、abc<0
C、a+b+c=0
D、a－b+c=0
（3）如图，x=1是y=ax2+bx+c的对称轴，则下列结论中正确的
是……（）
A、a+b+c>0
B、b>a+c
C、abc<0
D、2a+b＝0
（4）函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列式子能成立的是（）
A、abc>0
B、b<a+c
C、a+b+c<0
D、2c<3b
例4、（1）函数y=ax+m，y=a(x+m)2+k图像大致是…………（）
（2）函数y=ax2和y=a(x－2)(a≠0)在同一坐标系里的图像大致是………………（）
A、B、C、D、
（3）若一次函数y=ax+b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx－3的大致图像是…（）
A、B、C、D、
（4）y=ax+b与y=ax2+b在同一坐标系内的图像大致是………………………（）。