备战2020年高考数学纠错笔记系列专题03导数及其应用文(含解析)

专题03 导数及其应用

易错点1 不能正确识别图象与平均变化率的关系

A ，

B 两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量()()12W t W t ,与时间t (天)的关系如

图所示，则一定有

A ．两机关单位节能效果一样好

B ．A 机关单位比B 机关单位节能效果好

C ．A 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率比B 机关单位的用电量在0[0]t ,上的平均变化率大

D ．A 机关单位与B 机关单位自节能以来用电量总是一样大 【错解】选C.

因为在(0，t 0)上，()1W t 的图象比()2W t 的图象陡峭，所以在(0，t 0)上用电量的平均变化率，A 机关单位比B 机关单位大．

【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．

【试题解析】由题可知，A 机关单位所对应的图象比较陡峭，B 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0[0]t ,上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关单位比B 机关单位节能效果好．故选B. 【参考答案】B

1．平均变化率

函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为

2121

()()

f x f x x x --，若21x x x ∆=-，2()y f x ∆=-1()f x

，则平

均变化率可表示为y x

∆∆. 2．瞬时速度

一般地，如果物体的运动规律可以用函数()s s t =来描述，那么，物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在

t 到t t +∆这段时间内，当t ∆无限趋近于0时，

s

t

∆∆无限趋近的常数.

1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？

【答案】见解析.

【解析】山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝1001

5005

-=-，

山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝15101

70504

-=-，

∴h BC >h AB ，

∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭的多．

易错点2 求切线时混淆“某点处”和“过某点”

若经过点P (2,8)作曲线3

y x =的切线，则切线方程为

A ．12160x y --=

B ．320x y -+=

C ．12160x y -+=或320x y --=

D ．12160x y --=或320x y -+=

【错解】设()3

f x x =，由定义得f ′(2)=12，

∴所求切线方程为()8122y x -=-，即12160x y --=.

【错因分析】曲线过点P 的切线与在点P 处的切线不同．求曲线过点P 的切线时，应注意检验点P 是否在曲线上，若点P 在曲线上，应分P 为切点和P 不是切点讨论．

【试题解析】①易知P 点在曲线3

y x =上，当P 点为切点时，由上面解法知切线方程为12160x y --=.

②当P 点不是切点时，设切点为A (x 0，y 0)，由定义可求得切线的斜率为2

03k x =.

∵A 在曲线上，∴300

y x =，∴32

00

0832

x x x -=-，∴3200340x x -+=， ∴()()2

00120x x +-=，解得01x =-或x 0=2(舍去)，

∴01y =-，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即320x y -+=. 故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为12160x y --=或320x y -+=. 【参考答案】D

1．导数的几何意义

函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率k . 2．曲线的切线的求法

若已知曲线过点00(),P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解： （1）当点00(),P x y 是切点时，切线方程为()000()y y f x x x '-=-； （2）当点00(),P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；

第二步：写出过()11()P x f x '，的切线方程为()()()111 y f x f x x x -='-； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；

第四步：将x 1的值代入方程()()()111 y f x f x x x -='-，可得过点00(),P x y 的切线方程．

2．已知函数0()(2018ln ),()2019f x x x f 'x =+=，则0x = A ．2e B ．1

C ．ln 2018

D ．e

【答案】B

【解析】()(2018ln ),f x x x =+Q

()2018ln 12019ln f 'x x x ∴=++=+，

又因为0()2019f 'x =， 所以02019ln 2019x +=， 解得01x =，故选B.

【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则以及初等函数的求导公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

在求曲线()y f x =的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线()f x 上）的切线方程，前者的切线方程为()()()000y f x f x x x -='-，其中切点()()

00,x f x ，后者一般先设出切点坐标，再求解.

易错点3 不能准确把握导数公式和运算法则

求下列函数的导数：

（1）2

2

()2f x a ax x =+-； （2）sin ()ln x x

f x x

=

. 【错解】（1）2

2

()(2)22f x a ax x a x ''=+-=+；