2020届高考理科数学一轮复习讲义:第三章§3.2 导数的应用_PDF压缩

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1.利用导数的符号判断函数的单调性
在某个区间( a,b) 内,如果 f ′( x) >0,那么函数 y = f( x) 在这
个区间内单调递增,区间( a,b) 是函数 f( x) 的单调增区间;如果
f ′( x) <0,那么函数 y = f( x) 在这个区间内单调递减,区间( a,b)
为函数 f(x)的单调减区间.
4cos x-ax 在 R 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 ( )
A. [ 0,3]
B.[3,+∞ ) C.(3,+∞ ) D.[0,+∞ )
答案 B
解析 f ′( x) = 2cos 2x-4sin x-a = 2( 1- 2sin2 x) - 4sin x-a = -4sin2 x-4sin x+2-a = -(2sin x+1) 2 +3-a,由已知得 f ′( x) ≤0 在 R 上恒成立,因此 a≥3-(2sin x+1) 2 ,所以 a≥3.故选 B. 1-2 (2018 江西赣州二模,21) 已知 f(x) = (2-x) ex +a(x-
对应学生用书起始页码 P47
( 3) 极值点不一定是最值点,最值点也 不一 定是极 值点,但 如果连续函数在开区间( a,b) 内只有一个极值点,那么极大值点 就是最大值点,极小值点就是最小值点.
考点三 导数的综合应用
高频考点
1.不等式恒成立(有解)问题的处理方法 (1)形如 f(x)≥g(x)(x∈D)恒成立,主要方法如下: 法 1:构造函数:F( x) = f( x) -g( x) ( x∈D) ,使 F( x) ≥0( x∈
有解,即 F( x) max ≥0( x∈D) 有解,即求 F( x) 的最大值即可. 法 2:参变量分离:a≥φ(x)或 a≤φ(x) ( x∈D) 有解,即 a≥
φ( x) min 或 a≤φ( x) ( max x∈D) ,即求 φ( x) 的最值问题. 2.证明形如 f(x)≥g(x)的不等式成立的方法 法 1:构造函数:F( x) = f( x) -g( x) ,即 F( x) min ≥0 恒成立,
1 ,

所以

′( 1) =
1=
1 2
a,所以
a = 2.
又因为
g( 1) =
0=
1 2
a+b,所以
b = -1.
所以 g(x)= x-1.
( 2) 因为
φ( x) =
m( x- 1) x+1

f(
x)

m( x- 1) x+1
- ln

在 [ 1, + ∞

上是减函数,
所以
φ′(
x) =
-x2
+(2m-2) x(x+1) 2
0 在区间 D 上有解;
(4)已知可导函数 f(x)在区间 D 上存在减区间,则 f ′( x) <
0 在区间 D 上有解.
此类问题,一般是分离参数转化为函数的最值问题求解.
(2019 江西赣州五校协作体联考,21) 已知函数 f( x) =
ln x,g( x)=
1 2
ax+b.
(1)若 f(x) 与 g ( x) 的图象在 x = 1 处相切,求 g ( x) 的表
转化为求 F(x)的最小值问题. 法 2:若 f( x) min ≥g( x) max ,则 f( x) ≥g( x) 恒成立,证明 f( x)
的最小值大于或等于 g(x)的最大值. 法 3:中间变量法:f( x) ≥h( x) 且 h( x) ≥g( x),则 f( x) ≥
g( x) ( h( x) 为中间函数,且为一次函数较多) . 3.函数零点问题的处理 f(x)= 0 的根等价于 f( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标或转
二、利用导数解决函数的极值和最值问题
1.解决函数极值问题的一般思路
求 f(x) 的定义域

求导函数 f ′( x)



极↓值 解方程 f ′( x) = 0
↓ 验根附近的左右
极↓值 知方程 f ′( x) = 0 根的情况
↓ 得关于参数的
两侧 f ′( x) 的符号 ↓
极值
方程( 不等式) ↓
1) 2 ≤2ex 恒成立,
当 x = 1 时,ex ≤2ex 成立,则 a∈R;

x≠1
时,要满足题意,需
a≤ (
xex x-1)

恒成立,

g(
x)


xex x-1)



g′(
x)

ex(
x+1)

x-1) 2 -2xex( (x-1) 4
x-1)

ex(x2 -2x-1) (x-1) 3


第三章 导数及其应用 7
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§ 3.2 导数的应用
第三章 导数及其应用 5
考点一 函数的单调性
高频考点
对于在( a,b) 内可导的函数 f( x),若 f ′( x) 在( a,b) 的任意 子区间内都不恒等于 0,则
f ′( x) ≥0( x∈( a,b) ) ⇔f( x) 在( a,b) 上为增函数; f ′( x) ≤0( x∈( a,b) ) ⇔f( x) 在( a,b) 上为减函数.
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参数值( 范围)
2.求连续函数 y = f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数 y = f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将函数 y = f(x)的各极值与端点处的函数值 f( a), f(b)
比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3.可导函数 f(x)的极值点存在问题可转化为导函数 f ′( x)
令 g′( x)= 0,解得 x = 1± 2 .
当 x>1+ 2 时,g′( x) >0,
当 1<x<1+ 2 时,g′( x) <0,
∴ 当 x = 1+
(1+ 2 时,g( x) 取极小值,极小值为
2 ) e1+ 2 ;

当 1- 2 <x<1 时,g′( x) >0,
当 x<1- 2 时,g′( x) <0,
∴ 当 x = 1-
(1- 2 时,g( x) 取极小值,极小值为
2 ) e1- 2


(1- 2 ) e1- 2 (1+ 2 ) e1+ 2





(1- 2 ) e1- 2
∴ g(x)的最小值为


由题意,只需 a≤g( x) 最小值 ,


的取值范围是
æ
ç
è
-∞
,(1-
2 ) e1- 2

ùûúú
2.已知函数单调性求参数范围
(1)已知可导函数 f( x) 在区间 D 上单调递增,则在区间 D
上 f ′( x) ≥0 恒成立;
(2)已知可导函数 f( x) 在区间 D 上单调递减,则在区间 D
上 f ′( x) ≤0 恒成立;
(3)已知可导函数 f(x)在区间 D 上存在增区间,则 f ′( x) >
D) 恒成立,即 F( x) min ≥0( x∈D) 恒成立.求 F( x) 的最小值即可. 法 2:参 变 量 分 离: a ≥ φ ( x) 或 a ≤ φ ( x) 恒 成 立, 即 a ≥
φ( x) max 或 a≤φ( x) ( min x∈D) ,求 φ( x) 的最大值或最小值即可. (2)形如 f(x)≥g(x)(x∈D)有解问题的求解方法: 法 1:构造函数:F( x)= f( x) -g( x) ( x∈D) ,F( x) 在 x∈D 时

1) 2( a∈R) .
(1)讨论函数 f(x)的单调区间;
(2) 若对任意的 x∈R,都有 f( x) ≤2ex ,求 a 的取值范围. 解析 (1) f ′( x) = (1-x) ex +2a( x-1) = ( x-1) (2a-ex ) ,
当 a≤0 时,函数 f( x) 在( -∞ ,1) 上单调递增,在(1,+∞ ) 上
达式;

2)

φ(
x)

m( x- 1) x+1
-f(
x)
在[
1,+∞

上是减函数,求实数
m 的取值范围.
解题导引
(1) 由切线斜率及切点坐标求出 a,b → 结论
转化为 φ′( x) ≤0
参变量
求 m 的取值
(2) (x∈[1,+∞ ))恒成立
→ 分离
→ 范围
解析
(1) 由已知得 f ′( x)=
x-
1 ≤0
在[1,+∞

上恒成立,
即 x2 -(2m-2) x+1≥0 在[1,+∞ ) 上恒成立,

2m-2≤x+
1 x
,x∈[ 1,+∞
),
因为
x+
1 x
∈[2,+∞
),
所以 2m-2≤2,即 m≤2.
故实数 m 的取值范围是( -∞ ,2] .
1-1 ( 2019 皖东名校联盟,11) 已知 函 数 f ( x) = sin 2x +
(2)判定 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f( x) 在 x = x0 处连续时, a.如果在 x0 附近的左侧 f ′( x) > 0, 右 侧 f ′( x) < 0, 那 么 f( x0 ) 是极大值; b.如果在 x0 附近的左侧 f ′( x) < 0,右侧 f ′( x) > 0, 那么 f( x0 ) 是极小值. (3)对于可导函数 f(x)而言,若 x = x0 是 y = f( x) 的极值点, 则 f ′( x0 ) = 0,反之不成立. 2.函数的最值 (1) 在闭区间[ a,b] 上连续的函数 f( x) 在[ a,b] 上必有最大 值与最小值. (2)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,先求 f(x) 在( a,b) 内的极值;再将 f(x) 的各极值与 f( a) 、 f( b) 比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
化为 g(x)与 h(x)图象交点的横坐标或转化为 y = a 与 y = φ( x) 图象的交点问题处理.
6 5 年高考 3 年模拟 B 版( 教师用书)
对应学生用书起始页码 P47
一、利用导数解决函数单调性问题
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考点二 函数的极值与最值
高频考点
1.函数的极值 (1) 设函数 y = f( x) 在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所
有的点,都有 f( x) <f( x0 ) ,则 f( x0 ) 是函数 y = f( x) 的一个极大 值,记作 y极大值 = f( x0 ) ;如果对 x0 附近的所有的点,都有f( x) > f( x0 ) ,则 f( x0 ) 是函数 y = f( x) 的一个极小值,记作 y极小值 = f( x0 ) . 极大值与极小值统称为极值.
单调递减;

0<a<
e 2
时,函数
f(x)在( -∞
,ln
2a) ,( 1,+∞
) 上单调递
减,在( ln 2a,1) 上单调递增;

a>
e 2
时,函数
f(x)在( -∞
,1) ,( ln
2a,+∞
) 上单调递减,
在(1,ln 2a) 上单调递增;

a=
e 2
时,函数
f( x) 在

上单调递减.
(2) 对任意的 x∈R, f( x) ≤2ex 恒成立,即( 2-x) ex +a( x-
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