卓资县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

卓资县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ）
A ．3
B ．
C ．±
D ．以上皆非
2． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）
A ．0°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
3． 1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆ ）
C. 1
D. 1
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力． 4． 下列判断正确的是（ ）
A ．①不是棱柱
B ．②是圆台
C ．③是棱锥
D ．④是棱台
5． 执行如图所以的程序框图，如果输入a=5，那么输出n=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
7．若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为（）
A．1 B．或C．D．3或
8．三个数60.5，0.56，log0.56的大小顺序为（）
A．log0.56＜0.56＜60.5B．log0.56＜60.5＜0.56
C．0.56＜60.5＜log0.56 D．0.56＜log0.56＜60.5
9．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）＞0的解集为（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（1，+∞）D．（2，+∞）
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．8+2B．8+8C．12+4D．16+4
11．用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）
A ．a 、b 都能被5整除
B ．a 、b 都不能被5整除
C ．a 、b 不都能被5整除
D ．a 不能被5整除
12．集合{}5,4,3,2,1,0=S ,A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有个 A.4 B. 5 C.6 D.7
二、填空题
13．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111] 14．已知函数f （x ）=（2x+1）e x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（0）的值为 ． 15．设α为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1）且•=
，则sin （α+
）= ．
16．如图，一船以每小时20km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向，行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔间的距离为 km ．
17．幂函数1
22
2)33)(+-+-=m m x m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．
18．
如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当
四边形P ACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．
三、解答题
19．设
，证明：
（Ⅰ）当x ＞1时，f （x ）＜（ x ﹣1）；
（Ⅱ）当1＜x ＜3时，．
20．已知数列a1，a2，…a30，其中a1，a2，…a10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a10，a11，…a20，是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30，是公差为d2的等差数列（d≠0）．
（1）若a20=40，求d；
（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a30，a31，…a40，是公差为d3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
21．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0
（1）求实数m的值．
（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间
（3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．
22．设函数f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．
（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长；
（2）若∠BPC=，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2y
y
a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值． 【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
卓资县第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：∵a 3，a 9是方程3x 2
﹣11x+9=0的两个根， ∴a 3a 9=3，
又数列{a n }是等比数列，
则a
62
=a 3a 9=3，即a 6=±
．
故选C
2． 【答案】C
【解析】解：连结A 1D 、BD 、A 1B ，
∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，∴EF ∥A 1D ，
∵A 1B ∥D 1C ，∴∠DA 1B 是CD 1与EF 所成角，
∵A 1D=A 1B=BD ， ∴∠DA 1B=60°． ∴CD 1与EF 所成角为60°．
故选：C ．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
3． 【答案】D
【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PF
PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴2222
12124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-， 2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径
12122PF PF F F r c +-=
=，外接圆半径R c =.c =，整理，得
2()4c
a
=+1e =，故选D. 4． 【答案】C
【解析】解：①是底面为梯形的棱柱；
②的两个底面不平行，不是圆台；
③是四棱锥；
④不是由棱锥截来的，
故选：C．
5．【答案】B
【解析】解：a=5，进入循环后各参数对应值变化如下表：
p 15 20 结束
q 5 25
n 2 3
∴结束运行的时候n=3．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用，考查了条件结构和循环结构的知识点．解题的关键是理解题设中语句的意义，从中得出算法，由算法求出输出的结果．属于基础题．
6．【答案】B
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；
对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m 与n相交，
且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，
故命题B正确．
对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C 不正确；
对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．
故选B．
【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．
7．【答案】D
【解析】解：当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=
由e=，得=，即m=3
当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=
由e=，得=，
即m=．
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．解题时要对椭圆的焦点在x轴和y轴进行分类讨论．
8．【答案】A
【解析】解：∵60.5＞60=1，
0＜0.56＜0.50=1，
log0.56＜log0.51=0．
∴log0.56＜0.56＜60.5．
故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
9．【答案】C
【解析】解：令F（x）=，（x＞0），
则F′（x）=，
∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，
∴F（x）为定义域上的减函数，
由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，
得：＞，
∴＜x，∴x＞1，
故选：C ．
10．【答案】D
【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA
1=2，AB=2，高为
，
根据三视图得出侧棱长度为=2，
∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16
，
故选：D
【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．
11．【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证． 命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”． 故选：B ．
12．【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中“孤立元素”定义可知，若集合B 中不含孤立元素，则必须没有三个连续的自然数存在，所有B 的可能情况为：{}0,1,3,4，{}0,1,3,5，{}0,1,4,5，{}0,2,3,5，{}0,2,4,5，{}1,2,4,5共6个。

故选C 。

考点：1.集合间关系；2.新定义问题。

二、填空题
13．【答案】[]1,1- 【解析】
考点：函数的定义域.
14．【答案】3．
【解析】解：∵f（x）=（2x+1）e x，
∴f′（x）=2e x+（2x+1）e x，
∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．
故答案为：3．
15．【答案】：．
【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=，
∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cosα﹣sinα=⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，
∴cos2α==，
∵α为锐角，sin（α+）＞0，
∴sin（α+）
====
．
故答案为：．
16．【答案】
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，
在△ABC中，根据正弦定理得：BC==海里，
则这时船与灯塔的距离为海里．
故答案为
．
17．【答案】 【解析】
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数()y x
R α
α=∈是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函数()y x R αα=∈在()0,+∞上单调递增，则α0>，若在()0,+∞上单调递减，则0α<；（3）在比较幂值
的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1 18．【答案】
【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9. 圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，
∴四边形P ACB 的周长为2（P A ＋AC ） ＝2
PC 2－AC 2＋2AC ＝2
PC 2－9＋6.
当PC 最小时，四边形P ACB 的周长最小． 此时PC ⊥l .
∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0x －y －3＝0
，解得点P 的坐标为（4，1）， 由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线P A ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行， 即∠ACB ＝90°，
∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×3＝9
2
.
即△ABC 的面积为9
2
.
答案：92
三、解答题
19．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）（证法一）：
记g （x ）=lnx+
﹣1﹣（x ﹣1），则当x ＞1时，g ′（x ）=+
﹣＜0，
又g （1）=0，有g （x ）＜0，即f （x ）＜（ x ﹣1）；…4′
（证法二）由均值不等式，当x ＞1时，2
＜x+1，故
＜+．①
令k （x ）=lnx ﹣x+1，则k （1）=0，k ′（x ）=﹣1＜0，故k （x ）＜0，即lnx ＜x ﹣1②
由①②得当x ＞1时，f （x ）＜（ x ﹣1）；
（Ⅱ）记h （x ）=f （x ）﹣，由（Ⅰ）得，
h ′（x ）=+﹣
=﹣
＜﹣
=
，
令g （x ）=（x+5）3
﹣216x ，则当1＜x ＜3时，g ′（x ）=3（x+5）2
﹣216＜0， ∴g （x ）在（1，3）内是递减函数，又由g （1）=0，得g （x ）＜0， ∴h ′（x ）＜0，…10′
因此，h （x ）在（1，3）内是递减函数，又由h （1）=0，得h （x ）＜0，
于是，当1＜x ＜3时，f （x ）＜
…12′
20．【答案】
【解析】解：（1）a10=1+9=10．a20=10+10d=40，∴d=3．
（2）a30=a20+10d2=10（1+d+d2）（d≠0），
a30=10，
当d∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞）
（3）所给数列可推广为无穷数列{a n]，
其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，
当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为d n的等差数列．
研究的问题可以是：试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围．
研究的结论可以是：由a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3），
依此类推可得a10（n+1）=10（1+d+…+d n）=．
当d＞0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等．
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，会根据特例总结归纳出一般性的规律，是一道中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵f（4）=0，
∴4|4﹣m|=0
∴m=4，
（2）f（x）=x|x﹣4|=图象如图所示：
由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减．
（3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数，
由图可知k∈（0，4）．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣3|﹣|2x﹣2|≥1
x
时，3﹣x+2x﹣2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1＜x＜3时，3﹣x﹣2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤；
x≥3时，x﹣3﹣2x+2≥1，∴x≤﹣2∴1＜x≤，无解，…
所以f（x）≥1解集为[0，]．…
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）﹣|2x﹣5|≤0可化为|x﹣a|≤3，
∴a﹣3≤x≤a+3，…
∴，…
∴﹣1≤a≤4．…
23．【答案】
【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，
∴∠PCB=，PC=，
∵∠ACB=，∴∠ACP=，
在△PAC中，由余弦定理得：PA2=AC2+PC2﹣2AC•PC•cos=5，
整理得：PA=；
（2）在△PBC中，∠BPC=，∠PCB=θ，
∴∠PBC=﹣θ，
由正弦定理得：==，
∴PB=sinθ，PC=sin（﹣θ），
∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin=sin（﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），
则当θ=时，△PBC面积的最大值为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
24．【答案】
【解析】（1）由题意，知不等式|2|21(0)
x m m
≤+>解集为(][)
,22,
-∞-+∞．
由|2|21
x m
≤+，得11
22
m x m
--≤≤+，……………………2分
所以，由12
2
m+=，解得
3
2
m=．……………………4分
（2）不等式()2|23|
2
y
y
a
f x x
≤+++等价于|21||23|2
2
y
y
a
x x
--+≤+，
由题意知
max
(|21||23|)2
2
y
y
a
x x
--+≤+．……………………6分。