博弈论作业——精选推荐

博弈论作业
1.海盗分金中如果假设需要同意的人超过半数提议才能通过，则理性结局又会是什么？如果200个人参加（只要半数即可通过）又将如何？500人呢？
解：半数即可通过——倒推分析结果如下
（1000，0）
（999,0,1）
（999,0,1,0）
（998,0,1,0，1）
下一步的分钱方案中，只需要把上一步得钱非0的强盗的得钱数改为0，而其它强盗则反之。

进而有非0和0的间隔分布，除了提出方案的强盗外，其它得钱非0的强盗得到1块钱。

因此有200个强盗分1000个金币的情形为 ( X, 0, 1, …, 0 )可得X=901
因此有500个强盗分1000个金币的情形为 ( X, 0, 1, …, 0 )可得X=751
超过半数才可通过——倒推结果如下
（0,1000）
（999,1,0）
（997,0,2,1）
（997,0,1,0，2）
因此，5个强盗分1000个金币的情形为（997,0,1,0，2）2.在无限期的鲁宾斯坦模型中，假设分割只能是0.01的整数倍，即X只能为0，0.01；0.02；…….0.99或1，求δ=0.5
和δ非常接近于1时的子博弈完美均衡(假设两个人的折现
因子相同)
两个人要分一块冰淇淋，甲将分得冰淇淋的x份额（x ≥ 0），乙将得到1-x的份额（1-x ≥ 0）。

两人进行轮流出价。

首先，甲提出一个划分方法(x，1-x)，乙可以接受或拒绝这个提议，如果他接受了，则博弈结束，他们按照这种划分去切割冰淇淋；如果乙拒绝这个提议，那么他会提出一个划分方法(y，1-y)，甲可以接受或者拒绝，博弈过程将这个方式持续进行下去，直到他们达成一个协议。

每当协议的达成拖延时，他们的得益会有一个折扣（贴现），两人的贴现因子由iδ (0<iδ<1)表示。

这种折扣代表了讨价还价的成本。

其它条件相同，对参与者而言，达成一个协议所需的时间越长，冰淇淋就会越小。

两人贴现相同，如果假定1δ＝2δ＝δ的话，上述讨价还价博弈的唯一的均衡结果将会是（1 / (1 + δ), δ / (1 + δ)）。

因此，当δ=0.5时，均衡结果是（2∕3,1∕3）
当δ趋近于1时，均衡结果是（1∕2,1∕2）
3.两个人分蛋糕博弈，但有先后次序，由甲负责分为两份，
但乙先挑，在以下情况下分析其理性结局是什么（假设蛋糕无限可分，而且双方都知道以下事实），并分析局中人是否愿意更换角色：
（1）甲乙对蛋糕的评价都是20元，而且双方都知道这一点。

解：很明显——均分成两份
（2）蛋糕分两部分，一部分是奶油蛋糕，另一部分是冰淇淋蛋糕，甲喜欢奶油蛋糕，认为值10元，冰淇淋蛋糕值6元，乙喜欢冰淇淋蛋糕，认为它值12元，奶油蛋糕仅值4元。

甲和乙有两个蛋糕，奶油蛋糕和冰淇淋蛋糕。

甲负责把这两个蛋糕切成两份，然后由乙来先挑自己的那一份。

我们假设甲在分蛋糕的时候，是想把奶油蛋糕的X和冰淇淋蛋糕的Y留给自己，而希望乙会如愿接受奶油蛋糕的（1-X）和冰淇淋蛋糕的（1-Y）。

同时，设在甲的“价值观”看来，甲的利益是
S，乙的利益是2S；在乙的“价值观”看来，甲的利
1
益是'
S，乙的利益是'2S。

1
那么，由题意可得，
S=10×X+6×Y
1
S=10×（1-X ）+6×（1-Y）=16- 10×X+6×Y
2
'
S=4×X+12×Y
1
'
S=4×（1-X）+12×（1-Y）=16-4×X+12×Y
2
由约束条件一，可得
S>=2S5×X+3×Y≥4
1
由约束条件二，可得
'
S<='2S X+3×Y≤2
1
另外，
0≤X≤1
0≤Y≤1
那么原题意可转化为求函数
S=10×X+6×Y 在约束域中
1
的最大值，由线性规划可得
当X=1，Y=1／3时，S1=12最大
当X+Y=4／5时，S1=8最小
（3）更一般，甲认为奶油蛋糕价值a元，冰激凌蛋糕值b 元，a大于b，乙相应评价则分别是c和d，c大于d；
假设甲在分蛋糕的时候，是想把奶油蛋糕的x和冰淇淋蛋糕的y留给自己，而希望乙会如愿接受奶油蛋糕的（1-x）和冰淇淋蛋糕的（1-y）。

同时，设在甲的“价值观”看来，甲的利益是
S，乙的利益是2S；在乙的“价值观”看来，甲的
1
利益是'
S，乙的利益是'2S。

1
那么，由题意可得，
S=ax+by
1
S=a+b-(ax+by)
2
'
S=dx+cy
1
'2S =c+d-(dx+cy)
由约束条件一，可得
1S ≥2S ax+by>= 12 (a+b)
由约束条件二，可得
'1S ≤'2S dx+cy<=12
(c+d) 另外，
0≤x ≤1
0≤y ≤1
目标函数
1S =ax+by ①122
a a y x
b b =-+
+ ②122d d y x c c =-++ 易知， 二者相交于点（12，12
）， 此外函数①经过点B （1, 1
2(1-a b
））， 函数②经过点A （1, 12(1-d c ）），因为a>b, c>d ，所以则有点B （1,
1
2(1-a b ））在点（1,0）的下方，点A （1, 1
2(1-d c )）在点（1,0）的上方。

当X=1，Y=12(1-d c )时，1S =a+2b -2bd c 最大
（4）蛋糕上有一颗樱桃（不可分割），假设甲喜欢樱桃，认为它值10元，蛋糕值10元，而乙不喜欢樱桃，认为蛋糕值20元。

显然，甲会分得樱桃和X 份额的蛋糕，乙会分得1-X 份额的蛋糕。

同上S1=10+10X,
S2=10(1-X),
S1’=20X,
S2’=20(1-X)
同理，S1≥S2;S1’≤S2’得x=1／2时，S1最大15
4.有一种双人的游戏局势如下：在一个大于1x1的表格
中每个格子处放了一根火柴，每个人每次一定要拿走其中一根，而同时表格的右上角（包括右边和上方）的所有火柴都被拿掉，两人轮流进行，谁将火柴全部清空谁就输。

试证明先行者一定能获胜。

设甲乙二人，若axb个空格，设其中某一步默认同时拿走表格右上角所有火柴，
若axb为奇数，则a+b为偶数，a+b-1为奇数，
若乙拿走，还剩偶数个，由甲乙依次得，乙拿走最后一根。

若axb为偶数，则①a+b为偶数，a+b-1为奇数，
若甲拿走，还剩奇数个，由甲乙依次得，乙拿走最后一根。

②a+b为奇数，a+b-1为偶数，
若乙拿走，还剩偶数个，由甲乙依次得，乙拿走最后一根。

由以上判断，甲应作出判断，是有自己拿，还是迫使乙拿。

例：有三顶黑帽子、2顶白帽子，让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子，每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，只能看见站在前面那些人的帽子颜色。

最后那个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人帽子的颜色但看不见在他后面那个人帽子
的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。

从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子的颜色，如果他回答说不知道，就继续问前面那个人。

现在最后面那个人说他不知道，中间那个人也说不知道，当问到最前面那个人时，他却说已经知道。

为什么？
解：因为若第三个人看到前两个人都是白帽子时，他会知道自己戴的是黑帽子，所以前两个人戴的不全是白帽子，可能是一个是一黑一白，也可能是全黑。

若第一个人戴白帽子，则第二个人就会根据第三个人的回答知道自己戴了黑帽子，可第二个人并不知道，所以第一个人知道自己戴的是黑帽子。

帽子谜题
有n个完全理性的人围圆桌而坐，戴的帽子非黑即白，每个人都可以看到其他人的帽子，但看不到自己的，一个旁观者宣布：“每个人的帽子非黑即白，至少有一个是白的，我会从1开始慢慢点计白帽子的数目，在每次报出数目之后你有机会举手，但只有在你知道自己帽子颜色的时候举手。

”问题是：什么时候会有人举手？
数学证明：
解：设共有m个白帽子，戴白帽子的人能看到m-1个白帽子，戴黑帽子的人能看到m个白帽子，当报到m-1个时，戴黑帽子的人不会有反应，因为报出数目比可视数目少1，故无法判断自己帽子颜色；但戴白帽子的人的可视数目等于报出数目，可戴黑帽子的人却没有反应，可从黑帽人的角度推断出还差1个白帽没被报出，共m个白帽子，便知自己戴的是白帽子。