2001_2002年国内外数学竞赛题选解二

(1 ,2) , (1 ,3) , (2 ,3) , (1 ,2 ,3) , (1 ,2 ,4) ,
(1 ,3 ,4) , (2 ,3 ,4) , (1 ,2 ,3 ,4) . 如果能讲语言 1 , 2 , 3 的会议代表少于60 %, 用 xij …表示会讲语言 i , j , …的会议代表的数目 ,则有
2. 设 A 是集合{ 1 ,2 ,3 , …,16} 的一个 k 元子集 , 且 A 的任意两个子集的元素之和互不相等. 而对于 集合{ 1 ,2 ,3 , …,16} 的包含集合 A 的任意 k + 1 元子 集 B ,则存在 B 的两个子集 ,它们的元素之和相等.
(1) 证明 : k ≤5 ; (2) 求集合 A 的元素之和的最大值和最小值. (2002 ,保加利亚冬季数学竞赛) 证明 : (1) 因为 A 有 2 k 个子集 (包括空集) , 且任 意两个子集的元素之和互不相等 , 所以 A 的元素之 和至少有 2 k - 1 个. 若 k ≥7 ,则 2 k - 1 > 16 k ,不可能. 若 k = 6 , 考虑 A 的一 、二 、三 、四元子集 , 共有 C16 + C26 + C36 + C46 = 56 个不同的和 ,且最小的和是 1 , 最大的和是 16 + 15 + 14 + 12 = 57 (其中 16 + 13 = 15 + 14 ,故这 4 个数不能同在 A 中) . 若 1 ∈A ,则最大的和是 16 + 14 + 12 + 9 = 51 (其 中 16 = 15 + 1 ,故这 3 个数不能同在 A 中 ; 14 = 13 + 1 ,故这 3 个数不能同在 A 中 ; 12 = 11 + 1 , 故这 3 个 数不能同在 A 中 ;16 + 10 = 14 + 12 , 故这 4 个数不能 同在 A 中) ,最多有 51 个不同的和 ,矛盾. 若 2 ∈A ,则最大的和是 16 + 15 + 12 + 9 = 52 , 最 多有 51 个不同的和 ,矛盾. 若 1 ￠A ,2 ￠A ,则在[3 ,57 ]中至多有 55 个和 , 矛盾. 故 k ≤5. 解 : (2) 若 A = { a1 , a2 , …, ak} 元素的和小于 16 , 则集合 { a1 , a2 , …, ak , 16} 中无元素的和相等的子
32
+∞
∑ S = iai ,经过一次第二种操作后 S 的值下降至 i =1
S - 1. 由于 S 是非负的 ,则第二种操作的数目也是有 限的 ,所以操作是有限的.
(2) 设斐波那契 (Fibonacci) 数定义如下 : f1 = 1 , f2 = 1 , f n = f n - 1 + f n - 2 ( n ≥3) ,
∑ x12 +
x13 +
x123 + x124 +
x134 +
x1234 <
3 5
xij … ,
i, j, …
∑ x12 +
x23 +
x123 + x124 +
x234 +
x1234 <
3 5
xij … ,
i, j, …
∑ x13 +
x23 +
x123 + x134 +
x234 +
x1234 <
3 5
表分成如下的 8 类 :
(1 ,2) , (1 ,3) , (1 ,4) , (1 ,2 ,3) , (1 ,2 ,4) ,
(1 ,3 ,4) , (2 ,3 ,4) , (1 ,2 ,3 ,4) . 若结论不成立 ,则有
∑ x12 + x13 + x14 + x123 + x124 + x134 + x1234 <
(2002 ,罗马尼亚为 IMO 和巴尔干地区数学奥林 匹克选拔考试供题 (第二轮) )
证明 :假设这四种语言分别为 1 ,2 ,3 ,4. (1) 若存在一名会议代表只会一种语言 ,则显然 其他代表均会这种语言. (2) 每名会议代表至少会两种语言 ,且只讲两种 语言的代表中没有公共语言. 因此 ,对称地将会议代 表分成如下的 8 类 :
3 5
xij …,
i,j, …
∑ x12 +
x123 + x124 +
x234 +
x1234 <
3 5
xij … ,
i,j, …
∑ x13 + x123 +
x134 + x234 +
x1234 <
3 5
xij … ,
i, j, …
∑ x14 + x124 +
x134 + x234 +
x1234 <
3 5
设{ 14 ,15 ,16} < A ,则 13 ￠A . 若 12 ￠A ,则 16 + 15 + 14 + 11 + 8 = 64. 若 12 ∈A ,由于 11 + 16 = 12 + 15 , 10 + 16 = 12 + 14 ,故设 9 ∈A ,因此 ,集合 A = { 9 , 12 , 14 , 15 , 16} 满足 条件 ,其元素之和 66 是最大的. 3. 已知平面直角坐标系 xOy , O 为原点. A 为整 点 , OA 的长度是一个奇素数的整数次幂. 证明 :以 OA 为直径的圆周上的整点中至少有一半满足它们 任意两点之间的距离是整数. (2002 ,保加利亚春季数学竞赛) 证明 :设 OA = pn , p 是大于 2 的素数 , n 是一个 正整数. 令 A ( x , y) , 且满足 x2 + y2 = pn , 则 x 是奇 数 , y 是偶数或 x 是偶数 , y 是奇数. 不妨考虑第一种 情况. 如 图 1 , 过 OA 的 中
2003 年第 3 期
集 ,与 A 的定义矛盾. A = { 1 , 2 , 4 , 9} 满足条件 , 其元 素之和16是最小的 .
若 16 ￠A ,则 15 + 14 + 13 + 11 + 8 = 61. 若 16 ∈A ,15 ￠A ,则 16 + 14 + 13 + 12 + 8 = 63; 若 15 ∈A ,14 ￠A ,则 16 + 15 + 13 + 11 + 7 = 62.
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中等数学
2001 —2002 年国内外数学竞赛题选解 (二)
李建泉
(天津师范大学数学科学学院 ,300074)
(中等数学娄杂志姗编辑姗部 ,300020)
(天津市张实验 中茗学 ,300074)
二 、组合部分
1. 在一次国际会议上 ,有四种官方语言. 任意两 名会议代表可以用这四种语言之一进行讨论. 证明 : 至少有60 %的会议代表能讲同一种语言.
因此 ,对于 n ! 个排列 ,正 n 边形的顶点上每一 种放法 ,按顺时针对应着 n 个排列 , 这 n 个排列中 至少有一个是好的. 所以至少有 ( n - 1) ! 个好的排 列.
若 i = 1 ,2 , …, n - 1 时 , ai < 0 , an > 0 , 则好的排 列只能从 an 开始 ,其他 n - 1 个数进行全排列 ,共有 ( n - 1) ! 个好的排列.
由于 MP1 + N P1 = pn , 令 ( MP1 , N P1) = pa , 则存
在整数 l 、m , 且 ( l , m) = 1 , 使得 MP1 = pal2 , N P1 =
pam2 . 于是 MP2 = MP1·MN ,即
MP = l pad , N P = m pad . 同理 ,得 MQ1 = pbz2 , NQ1 = pbt2 ,
(2002 ,保加 利 亚 国 家 数 学 奥 林 匹 克 地 区 级 竞 赛)
解 :设这 n 个数按顺时针放在正 n 边形的 n 个 顶点上 ,取 s ,使得 as + as + 1 + …+ as + t是最小的 ,其 中下标取模 n 的余数 , 且假设 t 是最大的. 于是 , 对 于 t1 ≤t ,则 as + t1 + …+ as + t ≤0 ; 否则 , as + as + 1 + …+ as + t1 - 1 < as + as + 1 + …+ as + t , 与和是最小的 , 矛盾. 于是 ,从 as + t + 1开始 ,得到一个好的排列 , 即若 某个和 as + t + 1 + …+ as + t + k ≤0 , 则 as + as + 1 + …+ as + t + k ≤as + as + 1 + …+ as + t ,与和的最小及 t 的最 大性矛盾.
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而由假设 ,在圆周上的整点中至少有一半满足 a 、b 是奇偶相同的. 故结论成立.
4. 设正整数 n ≥3 , ( a1 , a2 , …, an) 是任意 n 元 不同的实数 , 且其和是正数. 若它的一个排列 ( b1 , b2 , …, bn) 满足对于任意的 k = 1 , 2 , …, n , 均有 b1 + b2 + …+ bk > 0 , 则这个排列称为好的. 求好的排列 至少有多少个 ?
n
∑ 易知 fi = f n + 2 - 1. i =1 +∞
∑ 设 T = aifi ,则经过每种操作之后 , T 的值不 i =1
变. 因开始时 T 的值为 f1 + f2 + …+ f n = f n + 2 - 1 ,
而第 n + 1 个正方形之后若有硬币 , 则 T 的值一定 大于等于 f n + 2 . 矛盾. 所以 ,在第 n + 1 个正方形之后 没有硬币出现.
点
x 2
,
y 2
且 与 Ox 平
行的直径设为 MN , 由于
y 是偶数 , 所 以 M 、N 的
纵坐标为整数. 易知 M 、
N 的横坐标
x ±pn 也 为 2
图
整数. 令 MN = pn = d. 在 MN 的同侧的圆周上取两
个整点 P、Q ,其在 MN 上的垂足分别为 P1 、Q1 ,则
MP1·N P1 = PP21 .
xij ….
i, j, …
以上三式相加得
∑ ∑ 2 xij … + x123 + x1234 < i,j, …
9 5
xij … ,
i,j, …
∑ 即 1 5
xij … +
i,j, …
x123
+
x1234 < 0.
矛盾.
(3) 每名会议代表至少会两种语言 ,只讲两种语
言的代表中有一种语言是公共的. 类似地 ,将会议代
所以 ,好的排列至少有 ( n - 1) ! 个. 5. 考虑一条由无穷多个正方形连成的纸带 , 有 些正方形里放着一些硬币. 每次可以选择以下两种 操作之一. (i) 若相邻的两个正方形 ,如第 n - 1 个和第 n 个 正方形里有硬币 ,则从这两个正方形的每一个中各取 一枚 ,并将其中一枚硬币放入第 n + 1 个正方形中 ; (ii) 如果 n ≥3 , 且第 n 个正方形中有不少于两 枚硬币 ,则从第 n 个正方形中取出两枚硬币 , 放在 第 n + 1 个正方形中一枚 ,第 n - 2 个正方形中一枚. (1) 证明 :如上的操作是有限的 ; (2) 假设在前 n 个正方形的每一个中各有一枚 硬币 ,证明 :无论怎样操作 ,在第 n + 1 个正方形之后 没有硬币出现. (第 19 届伊朗数学奥林匹克 (第一轮) ) 证明 : (1) 由于硬币是有限的 , 则第一种操作的 次数是有限的. 设 ai 为第 i 个正方形中硬币的数目 ,
且 MQ = z pbd , NQ = t pbd . 由托勒密 (Ptolemy) 定理 ,得 PQ·d + MP·NQ = MQ·PN .
从而 , PQ = ( mz - lt) pa + b . 若点 P、Q 在 MN 的异侧 ,有
PQ = ( mz + lt) pa + b . 因此 , PQ 是整数当且仅当 a 、b 的奇偶性相同.
xij ….
i, j, …
将第一个不等式乘 2 再与其他不等式相加 ,得
3 ( x12 + x13 + x14) + 4 ( x123 + x124 + x134) +
∑ 3 x234 + 5 x1234 < 3 xij …, i,j, …
即 x123 + x124 + x134 + 2 x1234 < 0. 矛盾.
6. 一个大学生在去年暑假用了 37 天学习高等 数学 ,并遵循如下规则 :
(i) 每天至少学 1 小时 ; (ii) 每天按整小时学 ,且最多学 12 小时 ; (iii) 全部学习时间不超过 60 小时. 证明 :此期间存在连续的若干天 ,该生学习时间 的总和为 13 小时. (第 19 届希腊数学奥林匹克) 证明 :设该生在第 i 天学了 ai 小时 ,则前 i 天学 习的时间总和为 Ai = a1 + a2 + …+ ai , 其中 1 ≤ai ≤ 12 , i = 1 ,2 , …,37. 由题意可得 1 ≤A1 < A2 < …< A37 ≤60 , 14 ≤A1 + 13 < A2 + 13 < …< A37 + 13 ≤73. 74 个整数在 1 至 73 中 , 一定存在 l 、k , 使得 Al = Ak + 13 ,即 Al - Ak = 13. 7. 设平面上 n ( n ≥4) 个点 A1 , A2 , …, An , 且任 意三点不共线 ,每点至少与 3 个点之间有连线段. 证 明 :在这 n 个点中存在不同的 2 k 个点 X1 , X2 , …, X2 k ( k > 1) ,使得 Xi 与 Xi + 1之间有连线段 , X2 k 与 X1 之间有连线段 ,其中 1 ≤i ≤2 k - 1. (第 19 届巴尔干地区数学奥林匹克) 证明 :设 P = X1 X2 …Xs 是最长的序列 , 其中 Xi 与 Xi + 1之间有连线段 , i = 1 ,2 , …, s - 1 ,且 Xi ∈{ A1 , A2 , …, An} , Xi ≠Xj , i ≠j. 由于 X1 至少与 3 个点之间有连线段 ,设不同于 X2 的两个点为 Y 和 Z. 由于 P 是最长的 , 所以 Y、Z ∈{ X3 , X4 , …, Xs } . 设 Y = Xi , Z = Xj , i < j , 则 C =