青岛大学考研专业课真题——信号与系统 2009年 (附带答案及评分标准)

科目代码： 827 科目名称： 信号与系统 （共 13 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
Ⅰ、填空题（共11题，每空格3分，共33分）
1．对冲激偶信号)(t δ'，='⎰∞
∞
-dt t )(δ ，=-'⎰∞
∞
-dt t f t t )()(0δ 。

2．时间函数)()(t u e t f t -=的傅里叶变换=)(ωF 。

3．已知()()x n nu n =，()()h n u n =，则卷积和序列)()()(n h n x n y *=在2n =点的取值为(2)y = 。

4．象函数2()221(0)F z z z z -=-++<<∞，则原序列=)(n f 。

5．序列()()x n u n =-的z 变换及其收敛域为 。

6．s 平面的实轴映射到z 平面是 。

7．题图7所示因果周期信号的拉氏变换()F s = 。

8．无失真传输网络的频域系统函数()H j ω= 。

9．某因果LTI （线性时不变）离散时间系统的系统函数3()31
z H z z =
-，则系统对
余弦激励序列()cos()()x n n n π=-∞<<∞的响应()y n = 。

10．写出题图10所示流图描述的连续时间系统
的微分方程 。

题图7
t
题图10
科目代码： 827 科目名称： 信号与系统 （共 13 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
t
题图13
2
2
Ⅱ、计算题（共8题，117分）
（11分）11．描述某线性时不变因果离散时间系统的差分方程为
)1()()1(5.0)(--=-+n x n x n y n y
已知当)()(n u n x =时，全响应的1)1(=y ，求零输入响应)(n y zi 。

（12分）12．某因果LTI 连续时间系统，其输入、输出用下列微分—积分方程
描述
()5()()()()d r t r t e f t d e t dt
τττ∞-∞
+=
--⎰
其中()()3()t f t e u t t δ-=+，求该系统的单位冲激响应()h t 。

（12分）13．求题图13所示周期三角形脉冲的傅里叶级数并画出频谱图。

（12分）14．某因果LTI 连续时间系统的零、极点分布如题图14所示，且已知
单位冲激响应()h t 的初值(0)4
h +=。

σ
科目代码： 827 科目名称： 信号与系统 （共 13 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效 （1）求系统函数)(s H ；
（2）问该系统是否存在频率响应？若不存在，请说明理由；若存在，求当
()610cos()4
e t t π
=++
时的响应)(t r 。

（15分）15．电路如题图15所示，0t <时开关K 处于“1”的位置而且已经达
到稳态；当0t =时开关K 由“1”转向“2”。

（1）试画出开关动作后的复频域等效电路； （2）求响应电流()i t 在0t +≥内的表达式。

（15分）16．因果离散时间系统如题图16所示。

（1）选择合适的状态变量，列写状态方程和
输出方程（矩阵方程形式）； （2）判断系统的稳定性。

题图16
题图15
11R =Ω
()i t 1H
4L = 232
R =
Ω
科目代码： 827 科目名称： 信号与系统 （共 13 页）
请考生写明题号，将答案全部答在答题纸上，答在试卷上无效
（20分）17．已知信号)(t g 和)(t f 的傅里叶变换为
⎪⎩⎪⎨
⎧
<=其它
,0
2
||,)
cos()(π
ωωωG
)()()(00ωωωωω++-=G G F
（1） 求出)(t g 和)(t f 的闭式表达式；
（2） 对)(t g 进行时域均匀抽样，抽样频率为多少时，才可能无失真恢复之； （3） 在题图17所示的解调过程中，试确定A 、1ω、2ω之值，
使得)()(t g t y =。

（20分）18．已知离散时间系统的差分方程为
)2(81.0)()2(81.0)(--=-+n x n x n y n y
（1）求系统函数)(z H ，画出零、极点分布图；
（2）求频率响应)(ωj e H ，粗略绘出幅频响应曲线，判断系统具有何种滤波特性； （3）求系统的单位样值响应)(n h ，画出)(n h 的波形；
（4）以使用最少数量的单位延时器为条件，画出系统的仿真框图。

题图17
2()y t
Ⅰ、填空题（共11题，每空格3分，共33分）
1．对冲激偶信号)(t δ'，='⎰∞
∞
-dt t )(δ 0 ，=-'⎰∞
∞
-dt t f t t )()(0δ 0()f t '-。

2．时间函数)()(t u e t f t -=的傅里叶变换=)(ωF
11j ω
-。

3. 已知()()x n nu n =，()()h n u n =，则卷积和序列)()()(n h n x n y *=在2n =点的取值为
(2)y = 3 。

4．象函数2
()221(0)F z z
z z -=-++<<∞，则原序列=)(n f 2(2)2(1)()n n n δδδ--+++。

5．序列()()x n u n =-的z 变换及其收敛域为
1,11z z
<-。

6．s 平面的实轴映射到z 平面是 正实轴 。

7．题图7所示因果周期信号的拉氏变换()F s =
2
2
()(1)
s
s e π
π-+-或
2
2
2(1)()(1)
s
s
e s e
ππ--++-。

8．无失真传输网络的频域系统函数()H j ω= 0
j t Ke
ω-。

9．某因果LTI （线性时不变）离散时间系统的系统函数3()31
z H z z =
-，则系统对余弦激励序列
()cos()()x n n n π=-∞<<∞的响应()y n = 3cos()4
n π。

10．写出题图10所示流图描述的连续时间系统的微分方程
22
()5
()6()5
()14()d d d r t r t r t e t e t dt
dt
dt
++=+。

题图7
t
题图10
Ⅱ、计算题（共8题，117分）
（11分）11．描述某线性时不变因果离散时间系统的差分方程为
)1()()1(5.0)(--=-+n x n x n y n y
已知当)()(n u n x =时，全响应的1)1(=y ，求零输入响应)(n y zi 。

解： ()(0.5)n zi y n C =- 4分
(0)1,(1)0.5zs zs y y ==- (1) 1.5zi y ⇒= 5分 (1)(0.5)3,zi y C C =-⇒=- ()3(0.5)n
zi y n =-- 2分
（12分）12．某因果LTI 连续时间系统，其输入、输出用下列微分—积分方程描述
()5()()()()d r t r t e f t d e t dt
τττ∞-∞
+=
--⎰
其中()()3()t f t e u t t δ-=+，求该系统的单位冲激响应()h t 。

解：
()5()()()()d h t h t f t d t dt
δτττδ∞-∞
+=
--⎰
()()()2()
t
f t t e u t t δδ-=-=+ 3分
时域解法：5()t
h h t Ae -= 2分
1()4
t
p h t B e
B -=⇒=
2分
(0)(0)22h h +-=+= 3分 571()(
)()44
t
t
h t e
e u t --=+
2分
s 域解法：对
()5()()2()t
d h t h t
e u t t dt
δ-+=+两边取拉氏变换
1()5()21
sH s H s s +=
++ 4分
1271
11
()(5)(1)
5
45
41
H s s s s s s =
+
=
+
+++++ 3分
571()()()44
t
t
h t e
e u t --=+
2分
t
题图13
2
（12分）13．求题图13所示周期三角形脉冲的傅里叶级数并画出频谱图。

解：122211()()(242422
n n n T ET T E E n F Sa Sa Sa T ωωωωπ==
⋅== 112
n=n=()(
)2
2
jn t
jn t
n E n f t F e
Sa e
ωωπ∞
∞
-∞
-∞
=
=
∑
∑
指数形式 求级数表达式 9分
2
12
2
1
41sin (
cos()22
n E E
n n t n
πωπ
∞
==
+
⋅⋅∑
三角形式
1112
2
2
411[cos()cos(3)cos(5)]2
3
5
E E
t t t ωωωπ
=+
+++
1
2
(
)
24
n n E T F Sa ωωω==
画频谱图 3分
002
E c
F ==
1
2
2(
)
4
n n n T c F E Sa ωωω===
0 E E ω
113
（12分）14．某因果LTI 连续时间系统的零、极点分布如题图14所示，且已知单位冲激响应()h t 的
初值(0)4h +=。

（1）求系统函数)(s H ；
（2）问该系统是否存在频率响应？若不存在，请说明理由；
若存在，求当()610cos()4
e t t π
=++
时的响应)(t r 。

解：（1）1
2()(1)(3)
s H s K
s s +
=++ 5分
由 (0)4l i m (s h s H s +→∞
=
=
， 得 4K = 3分
即 1
4()
2()(1)(3)
s H s s s +
=++
（2）该系统存在频率响应 1分
2()
3
s j H s ==
，1()1s j H s == 2分
()410cos()4
r t t π
=++
1分
σ
题图14
（15分）15．电路如题图15所示，0t <时开关K 处于“1”的位置而且已经达到稳态；当0t =时开关K 由“1”转向“2”。

（1）试画出开关动作后的复频域等效电路； （2）求响应电流()i t 在0t +≥内的表达式。

解：（1）选择如图所示的参考方向
12
24(0)A 5
L i R R -=
=+ 4分
212
6(0)2V 5
C R v R R -=
⨯=
+
6分
（2） 1
1114
6
(1)()
()5113
6
1()()()4
255
I s I s s
s
s s
s I s I s s
s s
⎧+-=-⎪⎪⎨
⎪-+++=+⎪⎩ 5分
解得 2
214
88
16
81412155()(710)532155
s s I s s s s s s s +
+==⋅+⋅-⋅++++
25428(),03
15
5
t
t
i t e
e
t --+=-
+
≥
题图15
11R =Ω
()i t 1H
4
L =
232
R =
Ω
()L i t
1
()I s
（15分）16．一因果离散时间系统如题图16所示。

（1）选择合适的状态变量，列写状态方程和输出方程
（矩阵方程形式）； （2）判断系统的稳定性。

解：选择如图所示的状态变量 2分
状态方程 112121(1)()()
21(1)()2()()
4
n n x n n n n x n λλλλλ⎧
+=+⎪⎪
⎨
⎪+=++⎪⎩
输出方程 1()2()y n n λ=
化为矩阵形式 11221
0(1)()12
()(1)()1
124
n n x n n n λλλλ⎡⎤
⎢⎥
+⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
[]12()()2
0()n y n n λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 列写状态方程10分，未化为矩阵形式扣2分
（2） 由 10
12
()(2)012
2
4
I A λλλλλ-
-=
=-
-=-
- 3分
解得 121,22
λλ==
2λ在单位圆外，系统不稳定。

题图16
（20分）17．已知信号)(t g 和)(t f 的傅里叶变换为
⎪⎩⎪⎨
⎧
<=其它
,0
2||,)
cos()(π
ωωωG
)()()(00ωωωωω++-=G G F
（1） 求出)(t g 和)(t f 的闭式表达式；
（2） 对)(t g 进行时域均匀抽样，抽样频率为多少时，才可能无失真恢复之； （3） 在题图17所示的解调过程中，试确定A 、1ω、2ω之值，使得)()(t g t y =。

解：（1）画出()G ω图形，引入辅助函数1()G ω如图示，则 11()()22g t Sa t π
=
， 1()()c o s ()
G G ωωω= 111()[(1)(1)]2
g t g t g t =
-++
2
cos(
)
1(1)(1)1
2
{[
][
]}4
2
2
1t t t Sa Sa t
π
πππ
-+=
+=
- 10分
002
cos(
)
2
2()2()cos()cos()1t f t g t t t t
π
ωωπ
==
- 4分
（2）)(t g 的最高频率1
2H z 24
m f π
π
==
12(H z )2
s m f f ≥⨯=
3分
（3）20ωω=、
1022
2
π
π
ωω≤≤-
、1A = 3分
2
000()c o s ()2()c o s ()()()c o s (2
)
f t t
g t t g t
g t
t ωωω==+
题图17
2cos()
t ()y t
ω
2
2
2
2
（20分）18．已知离散系统的差分方程为
)2(81.0)()2(81.0)(--=-+n x n x n y n y
（1）求系统函数)(z H ，画出零、极点分布图；
（2）求频率响应)(ωj e H ，并粗略绘出幅频响应曲线，判断此系统具有何种滤波特性； （3）求系统的单位样值响应)(n h ，画出)(n h 的波形；
（4）以使用最少数量的单位延时器为条件，画出系统的仿真框图。

解：（1）对差分方程进行z 变换求)(z H
)(81.0)()(81.0)(2
2
z X z
z X z Y z z Y ---=+
81
.081.081.0181.01)
()()(2
2
2
2+-=
+-=
=
--z z z
z z X z Y z H 5分
零点 9.02,1±=z 极点2
2,19.09.0π
j
e j p ±=±=。

画零、极点图 3分
（2）频率响应81
.081.0)
()(22+-=
==ω
ωω
ω
j j e
z j e
e z H e
H j
根据零、极点图可判定在0=ω及πω=处有极小值，
而在2
π
ω±=处有极大值，故是个带通滤波器。

画频响特性 5分， 判断滤波特性 1分
Re z
jIm z
π
2
π
π2
3π )(ω
j e
H
（3）)]([)(1
z H n h -=Z
19.09.019
.09
.081
.081.0)(2
2
2
2
--+
-=
-++
-=
+-=
-π
π
j
j
e
z z e
z z j z z j z z z z z H
∴ 12
2
()[()](0.9)()(0.9)()j
j
n
n
h n H z e
u n e
u n π
π
--==+Z
2(0.9)cos(
)()()2
n
n u n n πδ=⨯-
表达式 2分， 画波形 2分
（4） 2分
0 2 4 6 8 10。