人教版初二数学讲义《因式分解的概念和基本方法》

定 义
示例剖析
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形
式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式． ()21a a a a +=+；()2324222x x x x +=+
()()2
32236332131a b a b ab ab a a ab a ++=++=+
实质：是一种恒等变形，是一种化和为积的
变形．
因式分解与整式乘法是相反方向的变形．
()ma mb mc m a b c −−−−→++++←−−−−
因式分解
整式乘法
多项式−−−−→←−−−−因式分解整式乘法
整式乘积 模块一 因式分解的概念
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6
因式分解的概念 和基本方法
分解因式的注意事项：
1、结果一定是乘积的形式；
2、每一个因式都是整式；
3、相同的因式的积要写成幂的形式.
4、没有大括号和中括号；
5、每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；
6、单项式因式写在多项式因式的前面；
7、每个因式第一项系数一般不为负；
8、若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
如：111x x x ⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭不是因式分解
21(1)(1)x x x -=+-是因式分解
()()22x y x y x y +-=-不是因式分解
()23232x x x x +-=+-不是因式分解
【例1】 ⑴下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. 223()33ab a b a b ab +=+
B. 2222421x x x x ⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭
C. 224(2)(2)a b a b a b -=+-
D. 23633(2)x xy x x x y -+=-
⑵一次课堂练习，小胖同学做了如下4道分解因式题，你认为他做得不够完整的一题是
（ ） A. ()
321x x x x -=- B. ()2
222x xy y x y -+=- C. ()22x y xy xy x y -=- D. ()()22x y x y x y -=+-
【解析】 ⑴C. 其中A 是整式乘法不是因式分解；B 中的因式不是整式；D 不是恒等变形.
⑵A. ()
()()32111x x x x x x x -=-=-+
【点评】 因式分解实质是一种恒等变形，是一种化和为积．．．．
的变形．因式分解与整式乘法是相反方向的变形．因式分解的结果：每个因式都必须是整式．．
，分解到不能再分解为止．
【例2】 ⑴一个多项式分解因式的结果是33(2)(2)b b +-，那么这个多项式是（ ） A ．64b - B ．64b - C ．64b + D ．64b --
⑵如果多项式235x mx --分解因式为()()57x x -+，则m 的值为（ ）
A 、2-
B 、2
C 、12
D 、12- ⑶若多项式2x ax b ++可因式分解为()()12x x +-，求a b +的值 .
【解析】 ⑴ B.
⑵ A ⑶ 3-.
由题意()()22122x ax b x x x x ++=+-=--，故12a b =-=-，，3a b +=-. 夯实基础
定 义
示例剖析
如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面进行因式分解。

确定公因式的方法：
1、系数——取多项式各项系数的最大公约数；
2、字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 注意事项： 逐一检查 一次提净 切勿漏一 注意符号
如：()ma mb mc m a b c ++=++ ()
32222+2abc a b a b ab ab c a ab -+-=--
()
22242221ab a bc ab ab b ac -+=-+
易错点：提公因式后项数不变，易漏掉常数项.
【例3】 把下列各式分解因式
⑴ 323812x y xy z + ⑵ 2()3()a b c b c +-+
=224()4()xy xy ⋅+⋅ =(
)()()()b c b c ⋅+-⋅+
=24(
)xy ⋅+
=(
)()b c -
+
⑶ 22129abc a b -= ；
⑷ 3342242235x y x y x y x y +++= ； ⑸ 2(3)(3)x x +-+= .
【解析】 ⑴ 222323x yz x yz ，，，；
⑵ 2323a a ，
，，； ⑶ 3(43)ab c ab -； ⑷ ()
2222351x y xy x y +++ ⑸ (3)(2)x x ++.
【例4】 因式分解：
能力提升
夯实基础
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模块二 提公因式法
⑴ 2
()3()x y x y +-+= . ⑵ 221()()n n x a b y b a +-+-= .
⑶ ()()()()x m x m y m m x m y -----= . ⑷ ()()m x y n x y x y +++--= ．
【解析】 ⑴ ()(3)x y x y ++-；
⑵ 2()()n a b x ay by --+； ⑶ 2()()m x m y ---； ⑷ ()()m x y n x y x y +++-- ()()()m x y n x y x y =+++-+ ()()1x y m n =++-．
【点评】 ⑵中()()22n
n
b a a b -=-是解题关键，或采用()
()
21
21
n n b a a b ++-=--．
【教师备选】已知a b ，互为相反数，求()()22a x y b y x ---的值. 【解析】 原式=0
【探究对象】 提公因式的应用
【探究目的】 掌握提公因式的基本法则. 【探究1】分解因式：⑴232212615a x abx y acx +-；
⑵()()()()2
2
23326a b x y b c a b x y b c ++-++； ⑶()()()3
2
222x y x y x y +-+++； ⑷433abx acx ax -+-；
⑸()()()()23322323x y x y y x x y --+-+； ⑹322327
364
a b a b ab -+
． 【解析】 这6道小题反映了提公因式法的6大原则：
⑴一次提净：应当先检查数系数，然后再一个个字母注意检查，将各项的公因式提出来，
使留下的式子没有公因式可以提取；
()23222126163425a x abx y acx ax ax by c +-=+-；
⑵视“多”为一：把多项式（如x y +，b c +等）分别整个看成是一个字母：
()()()()22
23326a b x y b c a b x y b c ++-++
()()()232233a b x y b c x y ab ab c =+++--
⑶切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，
千万不要忽略掉；
()()
()32
222x y x y x y +-+++()()()2
2221x y x y x y ⎡⎤=++-++⎣⎦
()()2224421x y x xy y x y =+++--+
⑷注意符号：如果提出公因式时提出了因数“1-”，则各项都应改变符号；
433abx acx ax -+-()3231ax bx cx =-+-或()
3231ax bx cx --+
⑸仔细观察：有时候对某些项稍作变换就可以发现公因式；
()()()()23322323x y x y y x x y --+-+ ()()()322323x y x y x y =---+⎡⎤⎣⎦ ()632y x y =--
⑹化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以
使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假 定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1-作为公因数 提出，使第一项系数称为正整数；
322327
364
a b a b ab -+
()322311224274a b a b ab =-+()223
4894
ab a b ab =-+ 【备选例题】化简下列多项式：()()()()
23
2006
11111x x x x x x x x x ++++++++++
【解析】 原式()()()
2005
1111x x x x x x ⎡⎤=+++++++⎣
⎦
()()()()
2004
11111x x x x x x x ⎡⎤=++++++
++⎣
⎦
…()
()2005
111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()2007
1x =+
【备选例题2】利用因式分解计算：32 3.14 5.431.40.14314⨯+⨯+⨯
【解析】 ()32 3.14 5.431.40.14314=3140.320.540.14⨯+⨯+⨯++
314=
定 义
示例剖析
利用乘法公式进行因式分解 基本公式：
1、平方差公式：()()22
a b a b a b -=+- ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；
②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.
2、完全平方公式：
平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
完全平方公式：222
2()a ab b a b ++=+ 2222()a ab b a b -+=-
立方和公式：3322=()()a b a b a ab b ++-+ 立方差公式：3322=()()a b a b a ab b --++ 常见公式变形：
（1）()()2
2
4a b a b ab +--= （2）()()()
2
2
222a b a b a b ++-=+
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模块三 公式法
2222()a ab b a b ±+=±
①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. （3）()()22
2222a b a b ab a b ab +=+-=-+ （4）()()3
333a b a b ab a b +=+-+
（5）()()()12111n n n a a a a a --⎡⎤-=-++++⎣⎦
（6）()2
222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++
易错点：公式运用不正确.
【例5】 把下列各式因式分解
⑴ 249a - ⑵ 22()()x m x n +-+
=22()()- =[()(
)][(
)(
)]+-
=(
)()+- =(
)(
)
⑶ 24129x x ++ ⑷ 2244a ab b -+-
=22()2()()()+⋅⋅+ =()-
=2(
) =22[(
)2(
)()()]--⋅⋅+
=2(
)-
⑸把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）
A.()()x x y x y +-
B.()
222x x xy y -+ C.()2
x x y + D.()2
x x y - （北京中考） ⑹ 因式分解：32x xy -=___________．
⑺ 分解因式：227183x x ++= .
【解析】 ⑴ 232323a a a ，
，，，，； ⑵ 2x m x n x m x n x m n m n ++++++-，，，，
，；⑶ 223323x x x +，，，，； ⑷ 2244222a ab b a a b b a b -+-，，，，，；⑸ D ；⑹ ()()x x y x y +-；⑺ 23(31)x +.
【例6】 ⑴ 把代数式2
44ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A ．()22a x -
B ．()2
2a x + C ．()2
4a x - D ．()()22a x x +-
（北京中考） ⑵ 若a 为有理数，则整式222(1)1a a a --+的值（ ）
夯实基础
能力提升
A ．不是负数
B ．恒为正数
C ．恒为负数
D ．不等于0
（北京101中学期中） ⑶ 分解因式：229()4()a x y b y x -+-= .
⑷ 分解因式：322x x x ---= . ⑸ 分解因式：33416m n mn -= .
⑹ 分解因式：()2
222214a b a b +--
【解析】 ⑴ A ；⑵ A ；
⑶ ()(32)(32)x y a b a b -+-；⑷2(1)x x -+； ⑸ 4(2)(2)mn m n m n +-；
⑹ 原式()()
22221212a b ab a b ab ⎡⎤⎡⎤=+-++--⎣⎦⎣⎦
()()22
11a b a b ⎡⎤⎡⎤=+---⎣⎦⎣⎦
()()()()1111a b a b a b a b =+++--+--.
【点评】 此题先提取公因式再运用公式法，属于两种基本方法的综合运用.
【例7】 因式分解：
⑴ 222224()b c b c -+； （三帆测试题）
⑵ 42167281m m -+；
⑶ 222(1)2(1)(1)a a a -+----.
【解析】 ⑴ ()()2
2
222bc b c =-+
()()222222bc b c bc b c =++--
()()2
2
b c b c =--+；
⑵ 42167281m m -+2222(4)2(4)99m m =-⋅⋅+22(49)m =-22(23)(23)m m =-+； ⑶222(1)2(1)(1)a a a -+----22[(1)2(1)(1)(1)]a a a a =-+++-+-2[(1)(1)]a a =-++-24a =-.
【点评】 此题为较复杂的公式法分解因式，需要对原式进行变形. 【备选例题1】 因式分解：66a b +.
【解析】
66a b +2323()()a b =+22222222()[()()]a b a a b b =+-+224224()()a b a a b b =+-+ 【备选例题2】 2411
94n n m x x y +-
+ 【解析】 原式=2411
94n n m x x y +-+
241149n n m x x y =++-22211()()23n m x y =+-221111
()()3232n m n m x y x y =++-+．
【备选例题3】333333()()()a b b c c a a b c ++++++++
【解析】 原式333333222[()][()][()]3()()a b c b c a c a b a b c a b c =++++++++=++++
探索创新
【备选例题4】若a ，b ，c 为正数，且满足444222222
a b c a b b c c a ++=++，那么,,a b c 之间有
什么关系？
【解析】由 444222222a b c a b b c c a ++=++，得 4442222222()2()a b c a b b c c a ++=++
故 422442244224(2)(2)(2)0a a b b b b c c c c a a -++-++-+= 即 222222222()()()0a b b c c a -+-+-=
得 2222220,0,0a b b c c a -=-=-=，即 222a b c == 又由a ，b ，c 为正数，即得a b c ==.
【总结】
因式分解的八大易错点：
易错点1——题上若无特别说明，则是在有理数范围内分解因式，例如()()
422422x x x -=+-，至此不能再分解；
易错点2——提公因式后，剩下的因式首项系数不能为负，解决办法是将此项移后或提出负号，
例如()32221x x y x x x y -++=---或()21x y x =-+ 易错点3——结果单项式放在前，多项式放在后，多项式按项数从小到大排列，
例如()()()()2
2121211x y x x x y -+-=-+-
易错点4——结果的多项式因式中有分数系数的应提出来，例如()()211
12244
x x x -=+-
易错点5——结果的每个因式应化到最简形式，不能带中括号，
例如[]2
22222()4()4()()2()(3)m n m n m n m n m n n m +--+-=+--=-
易错点6——结果若有相同因式应写成幂的形式；
易错点7——结果中的多项式因式应按某个字母的降幂排列； 易错点8——结果应将每个因式分解到不能再分解为止，
例如()()()
()()42228199933x x x x x x -=+-=++-
训练1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A ．()()22224x y x y x y +-=-
B ．()2211x y xy xy x y --=--
C ．()2
22442a ab b a b -+=- D ．()ax ay a a x y ++=+
（三帆中学期中）
【解析】 C .
训练2. 分解因式：()
()()()11m n m n
a x
b x a x b x +-++-++= .
【解析】 原式()()()()1m n a x b x a x b x -=+++-+⎡⎤⎣⎦
()()()1
m n a x b x a b -=++-. 【点评】 题中两项均有()()1
m n a x b x -++因子，故可用提取公因式法．
训练3. 已知2()2210x y x y +--+=，则999()x y += .
【解析】 ()2
2()22110x y x y x y +--+=+-=，可得1x y +=，故原式=1.
【点评】 该题用整体法考虑，把x y +看做整体，则可以运用完全平方公式，从而得到1x y +=.
训练4. 因式分解：⑴()2
222214a b a b +--；
⑵66x y -.
【解析】 ⑴原式()()
22221212a b ab a b ab ⎡⎤⎡⎤=+-++--⎣⎦⎣⎦
()()22
11a b a b ⎡⎤⎡⎤=+---⎣⎦⎣⎦
()()()()1111a b a b a b a b =+++--+--;
⑵法一：原式()()()()2
2
333333x y x y x y =-=+-
()(
)()()22
22
x y x xy y x y x xy y =+-+-++
法二：原式()()()()3
3
222
24224
x y x y x x y y =-=-++ ()()22422422
2x y x x y y x y =-++-
()()2
222
222
x y x y x y ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦
()()()()2222
x y x y x y xy x y xy =+-+-++.
【点评】 ⑴运用了分组法，该方法到秋季班讲解；
⑵建议教师用法一，法二使用了拆添项法和配方法，该方法也要到秋季班讲解.
思维拓展训练(选讲)
知识模块一 因式分解的概念 课后演练
【演练1】 下列分解因式错误．．
的是（ ） A ．()()22x y x y x y -=+- B ．()2
2211x x x ++=+ C ．()2
22x y x y +=+ D ．()2x xy x x y +=+
（人大附中）
【解析】 C .
【演练2】 ⑴ 若21x ax --可以分解为()()2x x b -+，则a +b 的值为（ ）
A ．1- B. 1 C. 2- D. 2
⑵ 已知()()21336x x x a x b -+=++，则ab 的值是（ ） A ．13 B ．13- C ．36 D ．36-
【解析】 ⑴ D. ()()()2222x x b x b x b -+=+--，故可得2b a -=-，2a b +=. ⑵ C. ab 为常数项.
知识模块二 提公因式法 课后演练
【演练3】 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
221(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x +++++=+++++
()()111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦ ()()2
11x x =++ ()3
1x =+
⑴ 上述分解因式的方法是 ，共应用了 次； ⑵ 若分解()()()
2
2011
1111x x x x x x x ++++++
++，则需应用上述方法 次，
结果是 ；
⑶ 分解因式21(1)(1)...(1)n x x x x x x x ++++++++= ．（n 为正整数）
【解析】 ⑴ 提公因式法；2；
⑵ 2011；()2012
1x +；
⑶ ()
1
1n x ++.
知识模块三 公式法 课后演练 实战演练
11
【演练4】 ⑴ 22229()12()4()a b a b a b -+-++因式分解的结果是（ ）
A ．2(5)a b -
B ．2(5)a b +
C ．(32)(32)a b a b -+
D ．()2
52a b -
⑵ 若2
16(4)(2)(2)n
x x x x -=++-，则n 是（ ）．
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
【解析】 ⑴ A ；⑵ B.
【演练5】 因式分解
⑴ 321025a a a -+
⑵ 2221x x y ++-
（十一学校期中）
⑶ 2225(3)9(32)m n m n +---
【解析】 ⑴ ()2
5a a -；
⑵ ()()11x y x y ++-+； ⑶ 2225(3)9(32)m n m n +---
22[5(3)][3(32)]m n m n =+---
22(5515)(96)m n m n =+---
(551596)(551596)m n m n m n m n =+-+-+--+ (1415)(41115)m n m n =----+.
12
【测1】下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A ．2(1)(2)32x x x x --=-+
B ．232(1)(2)x x x x -+=--
C ．244(4)4x x x x ++=-+
D ．22()()x y x y x y +=+-
【解析】 B
【测2】多项式33128ab c a b --中应提取的公因式是（ ）
A ．4ab 2
B ．4abc -
C ．24ab -
D ．4ab -
【解析】 D
【测3】 多项式2144t t -+可以分解为（ ）
A ．2(41)t -
B ．2(21)t --
C ．2(21)t -
D ．2(14)t - 【解析】 C .
【测4】 321025a a a -+ 【解析】 ()2
5a a -
【测5】 ()()
()22a b a ab b ab a b -+-+-分解因式的结果是（ ）
A 、()()
22a b a b -+ B 、()()2a b a b -+ C 、()3
a b - D 、()()a b a b +-
【解析】 B ．
课后测。