2022-2023学年河南省洛阳市偃师市九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若二次根式24x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．x ≤
12
B ．x ≥
12
C ．x ≤2
D ．x ≥2
2．某学校要种植一块面积为100 m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m ，则草坪的一边长为y （单位：m ）随另一边长x （单位：m ）的变化而变化的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
A ．已知：在⊙O 中，∠AOB=∠COD ，弧AB=弧CD ．求证：AB=CD
B ．已知：在⊙O 中，∠AOB=∠COD ，弧AB=弧B
C ．求证：AD=BC C ．已知：在⊙O 中，∠AOB=∠CO
D ．求证：弧AD=弧BC ，AD=BC D ．已知：在⊙O 中，∠AOB=∠COD ．求证：弧AB=弧CD ，AB=CD
4．抛物线2
y ax bx c =++（0a ≠）的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是1x =，
下列结论是：①0abc >；②20a b +=；③方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④420a b c -+=；⑤若点(,)A m n 在该抛物线上，则2am bm c a b c ++≤++，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，△ABC 的顶点在网格的格点上，则tanA 的值为（ ）
A ．
12
B ．
105
C ．
33
D ．
1010
6．如图，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，圆O 半径为2，则六边形的边心距OM 的长为（ ）
A ．2
B ．23
C ．4
D ．3
7．如图，将Rt ∆ABC 绕直角项点C 顺时针旋转90°，得到∆A' B'C ，连接AA'，若∠1=20°，则∠B 的度数是( )
A ．70°
B ．65°
C ．60°
D ．55°
8．如图，已知AE 与BD 相交于点C ，连接AB 、DE ，下列所给的条件不能证明△ABC ～△EDC 的是（ ）
A ．∠A ＝∠E
B ．
AC BC
EC DC
= C ．AB ∥DE D ．
AC BC
DE DC
= 9．如图，是由一些相同的小正方形围成的立方体图形的三视图，则构成这种几何体的小正方形的个数是（）
A ．4
B ．6
C ．9
D ．12
10．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，过B 点作BH AD ⊥于点H ，若120BCD ∠=，23AH =，则BH 的长度为( )
A ．43
B ．6
C ．62
D ．不能确定
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在Rt ABC 中，90,8C BC ∠=︒=，1
2
tanB =，点D 在BC 上，且BD AD =，则AC =______．cos ADC ∠=______．
12．如图，在直角坐标系中，点(2,0)A ，点(0,1)B ，过点A 的直线l 垂直于线段AB ，点P 是直线l 上在第一象限内的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，把ACP △沿AP 翻折180︒，使点C 落在点D 处，若以A ，D ，P 为顶点的三角形与△ABP 相似，则满足此条件的点P 的坐标为__________．
13．已知x ＝﹣1是方程x 2+ax +4＝0的一个根，则方程的另一个根为_____．
14．如图，小明从路灯下A 处，向前走了5米到达D 处，行走过程中，他的影子将会(只填序号)________．①越来越长，②越来越短，③长度不变．
在D 处发现自己在地面上的影子长DE 是2米，如果小明的身高为1.7米，那么路灯离地面的高度AB 是________米．
15．已知扇形的面积为4π，半径为6，则此扇形的圆心角为_____度．
16．一个正多边形的每个外角都等于60︒，那么这个正多边形的中心角为______． 17．如图，四边形ABCD 是
O 的内接四边形，且8AB AD ==，点E 在BC 的延长线上，若60DCE ∠=︒，则O
的半径OB =_________________．
18．如图，已知⊙O 的半径为1，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，延长BO 交AC 于点D ，连接OA ，OC ，若AD 2＝AB •DC ，则OD ＝__．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，点C 在以AB 为直径的圆上，D 在线段AB 的延长线上，且CA=CD ，BC=BD ． （1）求证：CD 与⊙O 相切；
（2）若AB=8，求图中阴影部分的面积．
20．（6分）如图，C 是线段AB 上--动点，以AB 为直径作半圆，过点C 作CD AB ⊥交半圆于点D ，连接AD .已知
8AB cm =，设A C 、两点间的距离为xcm ，ACD 的面积为2ycm .(当点C 与点A 或点B 重合时，y 的值为0)请根
据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究. (注: 本题所有数值均保留一位小数)
()1通过画图、测量、计算，得到了x 与y 的几组值，如下表:
xcm
0.5 1.0 1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0 5.5
6.0 6.5
7.0
7.5
8.0
2
ycm
0.5
1.3
2.3
a
4.6
5.8
7.0
8.0 8.9 9.7
10.2
10.4
10.2
b
c
补全表格中的数值: a = ；b = ；c = .
()2根据表中数值，继续描出()1中剩余的三个点(),x y ，画出该函数的图象并写出这个函数的一条性质; ()3结合函数图象，直接写出当
ACD 的面积等于25cm 时，AC 的长度约为___ _cm .
21．（6分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB ，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C 射进房间的地板F 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D 射进房间的地板E 处，小明测得窗子距地面的高度OD ＝1m ，窗高CD ＝1.5m ，并测得OE ＝1m ，OF ＝5m ，求围墙AB 的高度．
22．（8分）如图1,在平面内,不在同一条直线上的三点,,A B C 同在以点O 为圆心的圆上,且ABC ∠的平分线交O 于
点D ,连接AD ,CD ．
（1）求证：AD CD =；
（2）如图2,过点D 作DE BA ⊥,垂足为点E ,作DF BC ⊥,垂足为点F ,延长DF 交O 于点M ,连接CM ．若
AD CM =,请判断直线DE 与
O 的位置关系,并说明理由．
23．（8分）如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．
小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： （1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．
（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？ （3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．
24．（8分）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是AD 边上的动点，从点A 开始沿AD 向D 运动．以BE 为边，在BE 的上方作正方形BEFG ，EF 交DC 于点H ，连接CG 、BH ．请探究： （1）线段AE 与CG 是否相等？请说明理由．
（2）若设AE =x ，DH =y ，当x 取何值时，y 最大？最大值是多少？ （3）当点E 运动到AD 的何位置时，△BEH ∽△BAE ？
25．（10分）如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2
k y x
=
的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为()1,4-，点B 的坐标为()4,n .
（1）根据图象，直接写出满足2
1k k x b x
+>的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；
（3）点P 在线段AB 上，且:1:2AOP BOP S S ∆∆=，求点P 的坐标.
26．（10分）关于x 的方程x 2－4x ＋2m+2＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分) 1、A
【分析】根据二次根式被开方数为非负数即可求解. 【详解】依题意得2-4x≥0 解得x ≤1
2
故选A. 【点睛】
此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数. 2、C
【详解】由草坪面积为100m 2，可知x 、y 存在关系y=，然后根据两边长均不小于5m ，可得x≥5、y≥5，则x≤20，
故选 ：C ． 3、D
【分析】根据命题的概念把原命题写成:“如果...求证...”的形式.
【详解】解：“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”，改写成：已知：在⊙O 中，∠AOB=∠COD.求证：弧AB=弧CD ，AB=CD 故选：D 【点睛】
本题考查命题，掌握将命题改写为“如果...求证...”的形式,是解题的关键. 4、D
【分析】根据二次函数的对称性补全图像，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，∵与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是1x =， 实验求出二次函数与x 轴的另一个交点为（-2,0） 故可补全图像如下，
由图可知a ＜0，c ＞0，对称轴x=1,故b ＞0， ∴0abc >，①错误， ②对称轴x=1,故x=-12b
a
-
=,∴20a b +=，正确； ③如图，作y=2图像，与函数有两个交点，∴方程22ax bx c ++=有两个不相等的实数根，正确；④∵x=-2时，y=0,即420a b c -+=，正确；⑤∵抛物线的对称轴为x=1,故点(,)A m n 在该抛物线上，则2am bm c a b c ++≤++，正确； 故选D
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的对称性.
5、A
【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．【详解】解：如图作CD⊥AB于D,
CD=2,AD=22,
tanA=
21
2
22
CD
AD
==,
故选A.
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6、D
【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出
3
=
2
OM即可求解．
【详解】解：连接OB、OC，如图所示：
则∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=2，
∵OM⊥BC，
∴△OBM为30°、60°、90°的直角三角形，
∴
33
==2=3
22
OM
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
7、B
【分析】根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．
【详解】∵将Rt∆ABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到∆A' B'C，
∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，
∴∠AA′C=45°，
∵∠1=20°，
∴∠B′A′C=45°-20°=25°，
∴∠A′B′C=90°-25°=65°，
∴∠B=65°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．
8、D
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【详解】A 、若∠A ＝∠E ，且∠ACB ＝∠DCE ，则可证△ABC ～△EDC ，故选项A 不符合题意； B 、若
AC BC
CE DC
=，且∠ACB ＝∠DCE ，则可证△ABC ～△EDC ，故选项B 不符合题意； C 、若AB ∥DE ，可得∠A ＝∠E ，且∠ACB ＝∠DCE ，则可证△ABC ～△EDC ，故选项C 不符合题意； D 、若
AC BC
DE DC
=，且∠ACB ＝∠DCE ，则不能证明△ABC ～△EDC ，故选项D 符合题意； 故选：D ． 【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键，判定时需注意找对对应线段. 9、D
【分析】根据三视图，得出立体图形，从而得出小正方形的个数．
【详解】根据三视图，可得立体图形如下，我们用俯视图添加数字的形式表示，数字表示该图形俯视图下有几个小正方形
则共有：1+1+1+2+2+2+1+1+1=12 故选：D 【点睛】
本题考查三视图，解题关键是在脑海中构建出立体图形，建议可以如本题，通过在俯视图上标数字的形式表示立体图形帮助分析． 10、B
【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A 的度数，然后根据解直角三角形的方法即可求解． 【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，120BCD ∠=， ∴∠A ＝180︒−120︒＝60︒，
∵BH⊥AD，AH=
∴BH＝AHtan60°=6
=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形及勾股定理的知识，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．二、填空题(每小题3分,共24分)
11、43 5
【分析】在Rt△ABC中，根据
1
t an
2
AC
B
BC
==，可求得AC的长；在Rt△ACD中，设CD=x，则AD=BD=8-x，根
据勾股定理列方程求出x值，从而求得结果．【详解】解：在Rt△ABC中，
∵
1
t an
2
AC
B
BC
==，
∴AC=1
2
BC=1．
设CD=x，则BD=8-x=AD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，x2+12=(8-x)2，解得x=2．
∴CD=2，AD=5，
∴
3 cos
5
CD
ADC
AD
∠==．
故答案为：1；3
5
．
【点睛】
本题考查解直角三角形，掌握相关概念是解题的关键．
12、
5
,1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
或(4,4)
【分析】求出直线l的解析式，证出△AOB∽△PCA，得出
1
2
BO AC
AO PC
==，设AC=m（m＞0），则PC=2m，根据
△PCA≌△PDA，得出
1
2
AD AC
PD PC
==，当△PAD∽△PBA时，根据
1
2
AD BA
PD PA
==，
222
(2)
AP m m
=+=，得出m=2，从而求出P点的坐标为（4，4）、（0，-4），若△PAD∽△BPA，得出
1
PA AD
==，求出PA=
2
22
(2)
m m
⎛
+= ，求出
1
m=，即可得出P点的坐标为
5
,1
⎛⎫
⎪．
【详解】∵点A （2，0），点B （0，1）， ∴直线AB 的解析式为y=-
1
2
x+1 ∵直线l 过点A （4，0），且l ⊥AB ，
∴直线l 的解析式为；y=2x-4，∠BAO+∠PAC=90°， ∵PC ⊥x 轴，
∴∠PAC+∠APC=90°， ∴∠BAO=∠APC ， ∵∠AOB=∠ACP ， ∴△AOB ∽△PCA ，
∴BO
AO
CA PC =， ∴1
2
BO
AC AO
PC ==， 设AC=m （m ＞0），则PC=2m ， ∵△PCA ≌△PDA ， ∴AC=AD ，PC=PD ， ∴
1
2
AD AC PD PC ==， 如图1：当△PAD ∽△PBA 时，
则
AD PD
BA PA =， 则
1
2
AD BA PD PA ==， ∵22152=+ ∴5
∴222(2)(25)m m +=，
∴m=±2，（负失去）
∴m=2，
当m=2时，PC=4，OC=4，P点的坐标为（4，4），如图2，若△PAD∽△BPA，
则
1
2 PA AD
BA PD
==，
∴
15
22 PA AB
==，
则
2 22
5
(2)
2
m m
⎛⎫
+= ⎪
⎪
⎝⎭
，
∴m=±1
2
，（负舍去）
∴m=1
2
，
当m=1
2
时，PC=1，OC=
5
2
，
∴P点的坐标为（5
2
，1），
故答案为：P（4，4），P（5
2
，1）．
【点睛】
此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数等，关键是根据题意画出图形，注意点P在第一象限有两个点．
13、﹣4
【分析】根据根与系数的关系：
12c
x x
a
=即可求出答案．【详解】设另外一根为x，
∴x＝﹣4，
故答案为：﹣4
【点睛】
本题考查根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
14、①；5.95.
【解析】试题解析：小明从路灯下A处，向前走了5米到达D处，行走过程中，他的影子将会越来越长；∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA，
∴CD DE
BA AE
=，即
1.72
25
AB
=
+
，
∴AB=5.95（m）．考点：中心投影．15、1
【分析】利用扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
2
360
n R
S
π
=
扇
由此构建方程即可
得出答案．
【详解】解：设该扇形的圆心角度数为n°，∵扇形的面积为4π，半径为6，
∴4π＝
2
6 360
nπ⋅
，
解得：n＝1．
∴该扇形的圆心角度数为：1°．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握公式是解此题的关键．16、60°
【分析】根据题意首先由多边形外角和定理求出正多边形的边数n，再由正多边形的中心角=360
n
︒
，即可得出结果．
【详解】解：正多边形的边数为360606
÷=，故这个正多边形的中心角为360660. 故答案为：60°.
本题考查正多边形的性质和多边形外角和定理以及正多边形的中心角的计算方法，熟练掌握正多边形的性质，并根据题意求出正多边形的边数是解决问题的关键．
17、83 3
【分析】根据圆内接四边形的性质，证得ABC是等边三角形，再利用三角函数即可求得答案. 【详解】如图，连接BD，过点O作OF⊥BD于F，
∵四边形ABCD是O的内接四边形，且AB=AD=8，∠DCE=60︒，
∴∠DCE=∠A=60︒，∠BOD=2∠A=120︒，
∴ABC是等边三角形，AB=AD=BD= 8，
∵OB=OD，OF⊥BD，
∴∠BOF=1
60
2
BOD
∠=︒，BF=
1
4
2
BD=，
∴
483 sin sin603
BF
OB
BOF
∠
====
︒.
83
.
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形函数的应用等知识，运用“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”证得∠A=60︒是解题的关键.
18、51
2
．
【分析】
可证△AOB≌△AOC，推出∠ACO=∠ABD，OA=OC，∠OAC=∠ACO=∠ABD，∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；依据对应边成比例，设OD=x，表示出AB、AD，根据AD2=AB•DC，列方程求解即可．
在△AOB和△AOC中，
∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ABO＝∠ACO，
∵OA＝OA，
∴∠ACO＝∠OAD，
∵∠ADO＝∠BDA，
∴△ADO∽△BDA，
∴AD OD AO BD AD AB
==，
设OD＝x，则BD＝1+x，
∴
1
1
AD x
x AD AB
==
+
，
∴OD=AB=，
∵DC＝AC﹣AD＝AB﹣AD，AD2＝AB•DC，
）2═，整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x=x=，
因此AD
1
2 =，
故答案为
1
2
．
【点睛】
本题考查了圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用参数解决问题是数学解题中经常用到的方法．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）8 3π
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，由等腰三角形的性质得出
（2）证明OB=OC=BC，得出∠BOC=60°，∠D=30°，由直角三角形的性质得出CD=3OC=43，图中阴影部分的面积=△OCD的面积-扇形OBC的面积，代入数据计算即可．
【详解】证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵CA=CD，BC=BD，
∴∠A=∠D=∠BCD，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴∠ACO=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCO=∠ACO+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∴CD⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切；
（2）解：∵AB=8，
∴OC=OB=4，
由（1）得：∠A=∠D=∠BCD，
∴∠OBC=∠BCD+∠D=2∠D，
∵∠BOC=2∠A，
∴∠BOC=∠OBC，
∴OC=BC，
∵OB=OC，
∴OB=OC=BC，
∴∠BOC=60°，
∵∠OCD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴CD=3OC=43，
∴图中阴影部分的面积=△OCD 的面积-扇形OBC 的面积=12×
4×43-2
604360⨯π=83-83
π． 【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键． 20、（1）3.1，9.3，7.3；（2）见解析；（3）2.7或7.8. 【分析】D
（1）如图1，当x=1.5时，点C 在C 处，x=2.0时，点C 在C 1处，此时，D 'C'=DC ，则2
1.5
ADC AD C y S S ''
==
，同
理可求b 、c ；
（2）依据表格数据描点即可； （3）从图象可以得出答案.
【详解】解：() 1如图当x=1.5时，点C 在C 处，x=2.0时，点C 在C 1处 ∴D 'C'=DC ∴24
1 2.3 3.1.5
3
ADC
AD C
y S
S ''
=⨯=
== 同理可得：b=9.3，c=7.3
∴ 3.1,9.3,7.3a b c === ( 允许合理的误差存在)
()2如图
由函数图像可知，当06x ≤≤时，y 随x 增大而增大，当68x <≤时，y 随x 增大而减小;当6x =时，y 的最大值为
10.4.
【点睛】
本题考查的是二次函数综合应用，确定未知点数据、再描点、准确画出函数图像是解答本题的关键.
21、1m
【分析】首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=15°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得AB CO BF OF
=，
然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．【详解】解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=15°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=15°，
∴AB=BE，
设AB=EB=x m，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴AB CO
BF OF
=，
1.51
(51)5
x
x
+
∴=
+-
，
解得：x=1．
经检验：x=1是原方程的解．答：围墙AB的高度是1m．【点睛】
22、（1）见解析 （2）见解析
【分析】(1)根据角平分线的定义和圆周角定理的推论，即可得到结论；
(2)连接OD ,过D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于E ,由BC 为直径,得AB AC ⊥,由AD CD =，得OD AC ⊥，进而可得OD DE ⊥，即可得到结论.
【详解】（1）∵BC 平分ABC ∠,
∴ABD CBD ∠=∠,
∴AD CD =,
∴AD CD =；
（2）直线DE 与O 相切，理由如下：
连接OD ,过D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于E ,
∵BC 为直径,
∴90BAC ∠=︒,
∴AB AC ⊥,
∵AD CD =,
∴OD AC ⊥,
∴OD AB ,
∵DE AB ⊥,
∴OD DE ⊥,
∴DE 为O 的切线．
【点睛】
本题主要考查垂径定理和圆的切线的判定定理，掌握圆的切线的判定定理，是解题的关键.
23、（1）//CF AB ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF 的最小值为1
【分析】（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=1，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；
（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=12∠BEF=10°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解；
（3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解.
【详解】（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F
∴BE EF =，80BEF ∠=
∴180502
BEF EBF BFE -∠∠=∠== ，即50BFD ∠= ∵AB=AC=1，D 是BC 的中点
∴BD DC =,AD BC ⊥
∴BF CF =，ABD ACD △≌△
∴FBD FCD △≌△，1005022
BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠=
∴50CFD BAD ∠=∠=
∴//CF AB
（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF
由（1）可知：EB=EF=EC
∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心
∴∠BCF=12
∠BEF=10°
∵50BAD ∠=，AD BC ⊥
∴9040ABC BAD ∠=-∠=
∴ABC BCF ∠=∠
∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立
（3）由（1）和（2）知，//CF AB
∴点F 的运动路径在CF 上
如图，作AM ⊥CF 于点M
∵8090BEF ∠=<
∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置
∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小
此时AF 1=AB=AC=1，即AF 的最小值为1．
【点睛】
本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解．
24、（1）AE =CG ，见解析；（2）当x =1时，y 有最大值，为
12；（3）当E 点是AD 的中点时，△BEH ∽△BAE ，见解析.
【解析】(1)由正方形的性质可得AB=BC ，BE=BG ，∠ABC=∠EBG=90°，由“SAS”可证△ABE ≌△CBG ，可得AE=CG ；
(2)由正方形的性质可得∠A=∠D=∠FEB=90°，由余角的性质可得∠ABE=∠DEH ，可得△ABE ∽△DEH ，可得y 2x x 2
-=，由二次函数的性质可求最大值； (3)当E 点是AD 的中点时，可得AE=1，DH=12，可得AE EH AB BE =，且∠A=∠FEB=90°，即可证△BEH ∽△BAE ． 【详解】(1)AE=CG ，理由如下：
∵四边形ABCD ，四边形BEFG 是正方形，
∴AB=BC ，BE=BG ，∠ABC=∠EBG=90°，
∴∠ABE=∠CBG ，且AB=BC ，BE=BG ，
∴△ABE ≌△CBG(SAS)，
∴AE=CG ；
(2)∵四边形ABCD ，四边形BEFG 是正方形，
∴∠A=∠D=∠FEB=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠AEB+∠DEH=90°，
∴∠ABE=∠DEH ，
又∵∠A=∠D ，
∴△ABE ∽△DEH ， ∴
DH DE AE AB
=， ∴y 2x x 2
-= ∴21y x x 2=-+=211(x 1)22
--+， ∴当x=1时，y 有最大值为12； (3)当E 点是AD 的中点时，△BEH ∽△BAE ，
理由如下：
∵E 是AD 中点，
∴AE=1， ∴1DH 2
= 又∵△ABE ∽△DEH ， ∴
EH DH 1BE AE 2
==， 又∵AE 1AB 2
=， ∴AE EH AB BE =，且∠DAB=∠FEB=90°， ∴△BEH ∽△BAE.
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
25、（1）1x <-或04x <<；（2）4y x =-，3y x =-+；（3）27,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】(1) 观察图象得到当1x <-或04x <<时，直线y=k 1x+b 都在反比例函数2k y x =
的图象上方，由此即可得； (2)先把A(-1，4)代入y=2k x 可求得k 2，再把B(4，n)代入y=2k x
可得n=-1，即B 点坐标为(4，-1)，然后把点A 、B 的坐标分别代入y=k 1x+b 得到关于k 1、b 的方程组，解方程组即可求得答案；
(3)设AB 与y 轴交于点C ，先求出点C 坐标，继而求出7.5AOB S ∆=，根据P :1:2AO BOP S S ∆∆=分别求出 2.5AOP S ∆=，5BOP S ∆=，再根据 1.5AOC S ∆=确定出点P 在第一象限，求出1COP S ∆=，继而求出P 点的横坐标23P x =
，由点P 在直线3y x =-+上继而可求出点P 的纵坐标，即可求得答案.
【详解】(1)观察图象可知当1x <-或04x <<，k 1x+b>
2k x ； (2)把()1,4A -代入2k y x =
，得24k =-， ∴4y x
=-， ∵点()4,B n 在4y x =-
上，∴1n =-， ∴()4,1B -，
把()1,4A -，()4,1B -代入11y k x b =+得
11441k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得113k b =-⎧⎨=⎩
， ∴3y x =-+；
(3)设AB 与y 轴交于点C ，
∵点C 在直线3y x =-+上，∴()0,3C ，
()()113147.522
AOB A B S OC x x ∆=⋅+=⨯⨯+=， 又:1:2AOD BOP S S ∆∆=， ∴17.5 2.53AOP S ∆=
⨯=，5BOP S ∆=， 又131 1.52
AOC S ∆=⨯⨯=，∴点P 在第一象限， ∴ 2.5 1.51COP S ∆=-=，
又3OC =，∴1312P x ⨯⨯=，解得23
P x =， 把23P x =代入3y x =-+，得73P y =， ∴27,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
26、m=1，122x x ==
【分析】直接利用根的判别式得出m 的取值范围，再由m 为正整数进而求出m 的值，然后再将m 代入方程中解方程得出答案．
【详解】解：∵关于x 的方程x 2－4x ＋2m+2＝0有实数根
∴2
41641(22)=880∆=-=-⨯⨯+-+≥b ac m m
解得1m
又m 为正整数
∴1m =
将1m =代回方程中，得到x 2－4x ＋4＝0
即2(2)0x -=
求得方程的实数根为：122x x ==.
故答案为：1m =，方程的实数根为：122x x ==
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，当240b ac ∆=->时方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时方程有两个相
∆=-<时方程无实数根. 等的实数根；240
b ac。