三角函数的概念 (经典公开课)

2．三角函数值的符号 (1)图形表示
(2)记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四ห้องสมุดไป่ตู้弦．
3．公式一 (1)式子表示：sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中 k∈Z. (2)文字表示：终边相同的角的同一三角函数的值 相等 ．
题型 1◆ 利用定义求三角函数值 典例 已知角 α 的终边过点 P(－3a,4a)(a≠0)，则 2sin α＋cos α＝ ±1 . 解析：因为点 P 的坐标为(－3a,4a)(a≠0)， 所以 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|. (1)当 a>0 时，则 r＝5a，角 α 在第二象限， sin α＝yr＝54aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， 所以 2sin α＋cos α＝85－35＝1.
解：(1)原式＝sin32π＋2π＋cosπ2＋2π＋cos(π－6π)＋tan π4＝sin32π＋cosπ2 ＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1. (2) 原 式 ＝ a2sin(90°＋ 2×360°) － b2cos(180°＋ 2×360°) ＋ 2abtan(45°＋ 3×360°)＝a2sin 90°－b2cos 180°＋2ab·tan 45°＝a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.
教学时，建议教师采用定义任意角三角函数的方法：将角 α 的顶点放在 坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，在角的终边上任取一点 P(x，y)， 与原点距离为 r，由此得出：sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.在这样定义了 任意角三角函数后，再引导学生观察，定义中若 r＝1，即得到教材中的 定义，它们之间是一般与特殊的关系，并且前者应用更广泛．
以 sin 1·cos 2·tan 3>0.
典例 2 如果点 P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，则角 θ 是( B )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角 解析：因为点 P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，所以 sin θ·cos θ<0,2cos
1．已知角 α 的终边上一点 P(m， 3)，且 cos α＝ 410，则 m＝ 5 . 解析：由题意，得 x＝m，y＝ 3， ∴r＝|OP|＝ m2＋3，
∴cos α＝xr＝ mm2＋3＝ 410， 很明显 m>0，解得 m＝ 5.
2．已知角 α 的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上，求 sin α，cos α 的值． 解：设射线 y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为 P(x，y)，
A．1
B．0
C．2
D．－2
解析：∵α 为第二象限角，
∴sin α>0，cos α<0，
∴|ssiinn αα|－|ccooss αα|＝ssiinn αα－－cocsosαα＝2.
题型 3◆公式一的应用 典例 求值：(1)cos－233π＋tan 147π；(2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765° ＋cos 540°. 解：(1)原式＝cosπ3＋－4×2π＋tanπ4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2) 原 式 ＝ sin(360°＋ 270°) ＋ tan(3×360°＋ 45°) ＋ tan(2×360°＋ 45°) ＋ cos(360°＋180°)＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°＝－1＋1＋1－1＝ 0.
一、导入新课 欧拉是著名的瑞士数学家，近代三角学是从欧拉《无穷分析引论》开始 的，他首先研究了三角函数，使三角学从原来静态研究三角形的解法中 解脱出来．欧拉首先在直角坐标系中定义了单位圆，以函数线与半径的 比值定义了三角函数，同时还引入了弧度制．欧拉对三角学的分析性研 究使三角学的重点转为研究三角函数及其应用．角的概念扩充后，对任 意角的三角函数如何定义呢？让我们一起进入任意角三角函数的学习 吧！
θ<0，即scions
θ>0， θ<0.
所以角 θ 为第二象限角．
判断三角函数符号的常用方法 (1)确定角：根据题目给出的条件，确定角所在的象限； (2)定符号：根据角所在的象限，结合题目的具体特点，最终确定符号．
当 α 为第二象限角时，|ssiinn αα|－|ccooss αα|的值是( C )
二、提出问题 1．初中是如何定义正弦、余弦、正切的？ 2．什么是单位圆？在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切是什么？ 3．任意角的三角函数的符号怎样确定？ 4．终边相同的角的三角函数有什么关系？ [学习目标] 1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正 切)的定义．(数学抽象) 2.理解并掌握三角函数值在各象限的符号及诱导 公式一．(数学抽象) 3.能利用公式一进行求值．(数学运算)
1．三角函数的定义
(1)单位圆法：如图 1，在平面直角坐标系中，设 α 是一个任意角，α∈R，
它的终边 OP 与 单位圆 交于点 P(x，y)，那么：
sin α＝ y ，α∈R；
cos α＝ x ，α∈R；
y tan α＝ x
，x≠0，α≠π2＋kπ(k∈Z)．
(2)坐标法：如图 2，设 α 是一个任意角，它的终边上任意一点 P(不与原 点 O 重合)的坐标为(x，y)，点 P 与原点的距离为 r，则 r＝|OP|＝ x2＋y2. 根据三角函数的定义写出角 α 的正弦、余弦、正切． sin α＝yr；cos α＝xr；tan α＝yx(x≠0)．
第五章
三角函数
5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念
三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分的 学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一概念，另一方面紧扣三角函 数定义，可以自然的导出本章的具体内容：任意角三角函数的定义、符 号判断，诱导公式(一)等，是进一步学习三角函数的定义域、值域、图象 和性质的基础． 本节课利用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数，然后根据角终边 所在位置不同，分别探讨各三角函数在各象限的符号，最后结合实例探 讨任意角的正弦、余弦、正切的求法，终边相同的角的三角函数的关系．
y＝2x，
则x2＋y2＝1， x≥0，
解得x＝ 55， y＝2 5 5，
即
P
55，2
5
5，
所以 sin α＝y＝255，cos α＝x＝ 55.
题型 2◆三角函数的符号及应用
典例 1 sin 1·cos 2·tan 3 的值是( A )
A．正数
B．负数
C．0
D．不存在
解析：因为 0<1<π2，π2<2<π，π2<3<π，所以 sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0，所
公式一的应用 (1)根据终边相同的角的化简公式，把已知角写成 α＋2kπ 或 α＋k·360°的 形式，再利用公式一化简； (2)若是弧度的形式，一定要注意 π 的系数为偶数时才能利用公式一化简， 为奇数时不能直接应用．
求值：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a2sin 810°－b2cos 900°＋ 2abtan 1 125°.
(2)当 a<0 时，则 r＝－5a，角 α 在第四象限， sin α＝－4a5a＝－45，cos α＝－ －35aa＝35，所以 2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α＝±1.
利用三角函数定义求值的方法 (1)单位圆中：利用单位圆上的点到原点的距离为 1，求出点的坐标，即 角对应的三角函数值； (2)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取一个点，再利用定义 求解； (3)参数问题：若点的坐标、角的三角函数值中含有字母，则应注意字母 是否需要分类讨论．