2010年1月概率论与数理统计(经管类)试题答案

2010年1月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题答案
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．若A 与B 互为对立事件，则下式成立的是（ C ） A ．Ω=)(B A P B ．)()()(B P A P AB P = C ．)(1)(B P A P -=
D ．∅=)(AB P
A ．
8
1 B ．
4
1 C ．
8
3 D ．
2
1
3．设A ，B 为两事件，已知3)(=A P ，3)|(=B A P ，5
)|(=A B P ，则=)(B P （ A ）
A ．51
B ．52
C ．53
D ．54
则=k （ D ） A ．0.1
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.4
的实数a ，有（ B ）
A ．⎰-=-a
dx x f a F 0
)(1)(
B ．⎰-=-a
dx x f a F 0
)(21
)(
C ．)()(a F a F =-
D ．1)(2)(-=-a F a F
则
=}0(XY P A ．121 B ．6
1
C ．31
D ．
3
2 A ．=≤-}1{Y X P 2
1 B ．=≤-}0{Y X P 21 C ．=
≤+}1{
Y X P 2
1
D ．=
≤+}0{Y X P 2
1 8．设随机变量X 具有分布5
}{==k X P ，5,4,3,2,1=k ，则
=)(X E （ B ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．设521,,,x x x 是来自正态总体),(σμN 的样本，其样本均值和样本方差分别为∑==5151i i x x 和2512
)(41∑=-=i i x x s ，则s
x )(5μ-服从（ A ）
A ．)4(t
B ．)5(t
C ．)4(2χ
D ．)5(2χ
10．设总体X ～),(2
σμN ，2
σ未知，n x x x ,,,21 为样本，∑=--=n
i i x x n s 1
22
)(11，检验假设0H ：2σ2
0σ=时采用的统计量是（ C ）
A ．)1(~/--=
n t n
s x t μ
B ．)(~/n t n
s x t μ-=
C ．)1(~)1(2
2
2
2
--=
n s n χσχ D ．)(~)1(220
2
2
n s n χσχ-=
二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
11．设4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=B A P ，则=)(B A P ___________．
12．设A ，B 相互独立且都不发生的概率为9
，又A 发生而B 不发生的概率与B 发生而A
不发生的概率相等，则=)(A P ___________．
14．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,00,24)(2
c
x x x f ，则常数=c ___________．
15．X 服从均值为2，方差为σ的正态分布，且3.0}42{=≤≤X P ，则=≤}0{X P _______．
16．设X ，Y 相互独立，且2
}1{=
≤X P ，3}1{=≤Y P ，则=≤≤}1,1{Y X P ___________．
17．X 和Y 的联合密度为⎩⎨⎧≤≤≤=--其他,01
0,2),(2y x e y x f y x ，则=>>}1,1{Y X P _________．
18．设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧=其他,
0),(y x f ，则Y 的边缘概率密度为________．
注：第18题联合概率密度是错误的，不满足规范性．
19．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从均匀分布)5,3(U ，则=-)32(Y X E __________．
n 则对任意的}|{|
lim ,0εμε<->∞
→p n
P n
n =___________．
21．X ～)1,0(N ，Y ～)2,0(2N 相互独立，设2
2Y C
X Z +
=，则当=C _____时，Z ～)2(2χ．
n 21均值，0>θ为未知参数，则θ的矩估计=θ
ˆ ___________．
00称这种错误为第___________类错误．
24．设总体X ～),(11σμN ，Y ～),(22σμN ，其中21σσσ==未知，检验0H ：21μμ=，
1H ：21μμ≠，分别从X ，Y 中取出9个和16个样品，计算得3.572=x ，1.569=y ，样本
方差25.14921=s ，2.14122=s ，则t 检验中统计量=t ___________（要求计算出具体数值）
．
0026．飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求明天飞机晚点的概率．
解：设=A {明天有雨}，=B {明天飞机晚点}，已知8.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，
4.0)(=A P ，则6.0)(=A P ，明天飞机晚点的概率为
44.02.06.08.04.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ．
27．已知9)(=X D ，4)(=Y D ，相关系数4.0=XY ρ，求)2(Y X D +，)32(Y X D -． 解：由)
()(),cov(Y D X D Y X XY =
ρ，即2
3)
,cov(4.0⨯=
Y X ，得4.2),cov(=Y X ，
),cov(4)(4)()2,cov(2)2()()2(Y X Y D X D Y X Y D X D Y X D ++=++=+
6.344.24449=⨯+⨯+=，
),cov(12)(9)(4)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X Y D X D Y X D -+=-+-+=-
2.434.2124994=⨯-⨯+⨯=．
四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
28． 设某种晶体管的寿命X （以小时计）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=100,
0100
,100)(2x x x x f ．
（1）若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间不到200小时的概率
是多少？（2）若一个电子仪器中装有3个独立工作的这种晶体管，在使用150小时内恰有一个晶体管损坏的概率是多少？
解：（1）注意到32
100100)(}150{1501502150=-===>+∞
+∞
+∞⎰⎰x dx x
dx x f X P ，
61
100100)(}200150{200
150200
1502200
150=-===<<⎰⎰x dx x
dx x f X P ，
所求概率为4
1
3/26/1}150{}200150{}150|200{==><<=
><X P X P X X P ；
（2）每一个晶体管在使用150小时内损坏的概率为
3
1321}150{1}150{=-
=>-=≤X P X P ， 设使用150小时内损坏的晶体管数为Y ，则Y ～⎪⎭
⎫
⎝⎛31,3B ，所求概率为
94
3231}1{2
13=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y
P ．
29．某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X ～)(λP ，已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足22
12
+=
X Y ．试求：
（1）参数λ的值；（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率；（3）该柜台每小时的平均销售情况)(Y E ． 解：X 的分布律为λλ-=
=e k k X P k
!
}{， ,2,1,0=k ．
（1）由}2{}1{===X P X P ，即λλ
λλ--=
e e 2
2
，得2=λ，X ～)2(P ；
（2）所求概率为21}0{1}1{--==-=≥e X P X P ；
（3）由X ～)2(P ，得2)()(==X D X E ，642)()()(22=+=+=X E X D X E ，
5262
1
2)(21)(2=+⨯=+=
X E Y E ． 五、应用题（本大题共1小题，10分）
30．某生产车间随机抽取9件同型号的产品进行直径测量，得到结果如下：
21.54, 21.63, 21.62, 21.96, 21.42, 21.57, 21.63, 21.55, 21.48 根据长期经验，该产品的直径服从正态分布)9.0,(2μN ，试求出该产品的直径μ的置信度为0.95的置信区间．（96.1025.0=u ，645.105.0=u ）（精确到小数点后三位） 解：已知9.00=σ，05.0=α，9=n ，算得57.21=x ，588.09
9.096.10
2/=⨯
=⋅n
u σα，μ
的置信度为0.95的置信区间为
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⋅+⋅-n u x n u x σσαα2/2/,]158.22,982.20[]588.057.21,588.057.21[=+-=．。