2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题 (文科) word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013大纲全国，文1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则U A ＝( )．

A ．{1,2}

B ．{3,4,5}

C ．{1,2,3,4,5}

D ．∅ 答案：B

解析：由题意得

U A ＝{3,4,5}．故选

B ．

2．(2013大纲全国，文2)已知α是第二象限角，sin α＝

5

13

，则cos α＝( )． A ．1213- B ．513- C ．513 D ．1213

答案：A

解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝1213==-.故选A ．

3．(2013大纲全国，文3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．

A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－1 答案：B

解析：∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0. ∴|m |2－|n |2＝0，

即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0. ∴λ＝－3.故选B ．

4．(2013大纲全国，文4)不等式|x 2－2|＜2的解集是( )．

A ．(－1,1)

B ．(－2,2)

C ．(－1,0)∪(0,1)

D ．(－2,0)∪(0,2) 答案：D

解析：|x 2－2|＜2⇒－2＜x 2－2＜2⇒0＜x 2＜4⇒0＜|x |＜2⇒－2＜x ＜0或0＜x ＜2.故选D ．

5．(2013大纲全国，文5)(x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( )．

A ．28

B ．56

C ．112

D ．224 答案：C

解析：T 2＋1＝2

8C x 8－

2·22＝112x 6.故选C ．

6．(2013大纲全国，文6)函数f (x )＝21log 1x ⎛

⎫+

⎪⎝⎭

(x ＞0)的反函数f －1

(x )＝( )． A ．

121x -(x ＞0) B ．121

x

-(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D ．2x

－1(x ＞0) 答案：A

解析：由y ＝f (x )＝21log 1x ⎛

⎫+ ⎪⎝

⎭⇒1＋1x

＝2y

⇒x ＝121y -. ∵x ＞0，∴y ＞0. ∴f －

1(x )＝

1

21

x -(x ＞0)．故选A ．

7．(2013大纲全国，文7)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，24

3

a =-，则{a n }的前10项和等于( )．

A ．－6(1－3－10

) B ．

19

(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－

10) 答案：C

解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0⇒a n ＋1＝1

3

-

a n ， ∴{a n }是以13

-为公比的等比数列．

又∵a 2＝4

3

-

，∴a 1＝4. ∴S 10＝

101413113

⎡⎤⎛⎫--⎢⎥

⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C ．

8．(2013大纲全国，文8)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )．

A ．22

x ＋y 2

＝1 B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 答案：C

解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝3

2

，|F 1F 2|＝2， 由椭圆定义得 |AF 1|＝2a －

32

.① 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝

2

32⎛⎫ ⎪⎝⎭

＋22

.② 由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆C

的方程为22

143

x y +=，应选C ．

9．(2013大纲全国，文9)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝( )．

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2 答案：B

解析：∵由题中图象可知x 0＋

π4－x 0＝2T .∴π2

T =.∴2π

π

2

ω

=

.∴ω＝4.故选B ．

10．(2013大纲全国，文10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()．

A．9 B．6 C．－9 D．－6

答案：D

解析：由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6.故选D．11．(2013大纲全国，文11)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()．

A．2

3

B

C

．

3

D．

1

3

答案：A

解析：如图，设AA1＝2AB＝2，AC交BD于点O，连结OC1，过C作CH⊥OC1于点H，连结DH.

∵BD⊥AC，BD⊥AA1，

∴BD⊥平面ACC1A1.

∵CH⊂平面ACC1A1，

∴CH⊥BD．∴CH⊥平面C1BD．

∴∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．

OC1

==

由等面积法得OC1·CH＝OC·CC1，

2

2

CH=.∴CH＝

2

3

.

∴sin∠CDH＝

2

2

3

13

CH

CD

==.故选A．

12．(2013大纲全国，文12)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝()．

A．

1

2

B

．

2

C

D．2

答案：D

解析：设AB：y＝k(x－2)，代入y2＝8x得：

k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

∴x1＋x2＝

2

2

48

k

k

+

，

x1x2＝4.(*)

∵MA·MB＝0，

∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0，

即(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0.

∴x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.①