专题三 函数应用中的分段计费问题 2020年中考数学冲刺难点突破 二次函数问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破 二次函数问题
专题三 函数应用中的分段计费问题
1、月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y (万件)与销售价格x (元/件)的关系如图3－3－3所示，其中AB 为反比例函数图象的一部分，BC 为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为W (万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本)
图3－3－3
(1)请求出y (万件)与x (元/件)之间的函数关系式．
(2)求出第一年这种电子产品的年利润W (万元)与x (元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润W (万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x (元)定在8元以上(x ＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润W (万元)与销售价格x (元/件)的函数示意图，求销售价格x (元/件)的取值范围．
【答案】（1）y ＝⎩⎪⎨⎪⎧160x （4≤x ≤8），－x ＋28（8＜x ≤28）；
（2）当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元．（3）当11≤x ≤21时，第二年的年利润W 不低于103万元．
【解析】 (1)求y (万件)与x (元/件)之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已知点坐标，运用待定系数法可求；
(2)根据“年利润＝年销售量×每件的利润－成本(160万元)”，可求出年利润W (万元)与x (元/件)之间的函数关系式，但要注意的是和第(1)问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两
个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；
(3)根据条件“第二年的年利润不低于103万元”，可得W ≥103，这是一个一元二次不等式，观察年利润W (万元)与销售价格x (元/件)的函数示意图，从而得出结果．
解：(1)当4≤x ≤8时，设 y ＝k x
，将A (4，40)代入，得 k ＝4×40＝160.
∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝160x
. 当8＜x ≤28时，设y ＝kx ＋b ，将B (8，20)，C (28，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝20，28k ＋b ＝0. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝28. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋28.
∴综上所述，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧160x （4≤x ≤8），－x ＋28（8＜x ≤28）；
(2)当4≤x ≤8时，W ＝(x －4)×y －160＝(x －4)×160x －160＝－640x
. ∴W 随着x 的增大而增大，
∴当x ＝8时，W max ＝－6408
＝－80. 当8＜x ≤28时，W ＝(x －4)×y －160 ＝(x －4)×(－x ＋28)－160＝－x 2＋32x －272＝－(x －16) 2－16. ∴当x ＝16时，W max ＝－16.∴－16＞－80，
∴当每件的销售价格定为16元时，第一年的年利润的最大值为－16万元．
(3)∴第一年的年利润为－16万元．
∴16万元应作为第二年的成本．。