学案：3.1不等关系与不等式(1)
人教A版高中数学必修五河北省张家口第三章不等关系与不等式学案
3.1 不等关系与不等式（一）一、教学目标1．通过具体实例使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组，解决实际问题。
让学生学会用数学思想来思考问题，用数学知识来解决问题。
2. 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．3. 培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力。
二、教学重、难点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
差值比较法：作差→变形→判断差三、教学过程（一）[创设问题情境]下面的几个不等关系用什么样的不等词表示？能用简洁的数学符号表示吗？你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？1. 限速40km/h 的路标，表示汽车的速度v 不超过40km/h 。
2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%。
3. a 与b 的和是非负数。
4. 大圆1O 的半径为R ，小圆2O 的半径为r ，两圆的圆心距为d ，若两圆相交，则d 需要满足什么条件？5. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？6. 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍。
7. 某厂使用两种零件A 、B,装配两种产品甲乙，该厂的生产能力是甲月产量最多2500件，乙月产量最多1200件，而组装一件产品，甲需要4个A ，2个B ；乙需要6个A ，8个B 。
某个月，该厂能用的A 最多有14000个，B 最多有12000个，用不等式将甲乙两种产品产量之间的关系表示出来。
3.1 不等关系与不等式导学案
3.1.1 不等关系与不等式（一）.生活中的不等关系(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度,且小于第二宇宙速度;(2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品------杆状物不超过200cm,重量不得超过20kg;(3)我们班的讲台高度大于同学坐的桌子的高度。
问题1:上面的不等关系是用什么不等式表示的?（二）.用不等式(组)表示不等关系(1)限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h .2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度( V )不小于第一宇宙速度( 记作V1 ),且小于第二宇宙速度(记V2 ). (3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.问题2:什么是不等式?问题3. 设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d与AB 的关系怎么表示？问题4、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？思考：(1 )销售量减少了多少?(2)现在销售量是多少?(3)销售总收入为多少?问题5.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。
按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系.(2)用不等式（组）表示上述不等关系.课堂练习：书本：P74，练习1、2思考：不等式a ≥b 或b ≤a 的含义。
问题6：有什么特点？观察不等式"","",""f e d c b a <<<知识探究(二)：比较实数大小的基本原理思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a ，b ，其大小关系有哪几种可能？思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？思考4：如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？思考5：如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？问题7：判断两个实数大小的依据是什么？例1．比较x 2－x 与x －2的大小.例1-2：比较下面两式的大小：））与（（与与与与6756)5(64)9)(7)(4(224)3(33)2(42232)1(42222222--+++++++++++x x x yx y x xx x x x x（备选）例2 已知a b m 、、都是正数,且a b >,求证: b m b a m a +>+问题8：若b>a,结论又会怎样呢?小结：1.判断两个实数大小的依据是：00a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<2.作差法的步骤：（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论. 其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；分子有理化等。
高中数学必修5教案3.1不等关系与不等式(1)
例4、已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.
归纳：作差比较法的步骤是：
1、作差；
2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；
3、判断符号；
4、作出结论．
（学生讨论）
教
学
小
结
课堂小结
1．通过具体情景，建立不等式模型；
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。
2.讲授新课
1）用不等式表示不等关系
引例1：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
2．比较两实数大小的方法——求差比较法
课后
反思
3
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
经典教案3.1不等关系与不等式(1).doc
（2）当销售量小于 吨时，即 ，公司亏损，即 .
【方法总结】正确理解图象所表达的意思是解决该问题的关键.
例2 比较 与 的大小，其中 R.
【审题要津】比较 与 的大小，只要作差后判出差的符号即可.
解：
， .
【方法总结】两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：
解： .
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9 、4 、3 ，乙种饮料用用奶粉、咖啡、糖分别为4 、5 、5 ，已知每天使用原料为奶粉3600 、咖啡2000 、糖3000 .写出满足上述所有不等关系的不等式.
解：设配制甲种饮料 ，配制乙种饮料 .
则
8.比较 与 .
解： - = .
第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.
例3 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.
4.不等式 的含义.
不等式 应读作“ 大于或者等于 ”，其含义是指“或者 > ，或者 = ”，等价于“ 不小于 ，即若 > 或 = 之中有一个正确，则 正确.
5.能否正确对“问题2”和“问题3”列式.（见课本）
6.实数比较大小的依据与方法.
（1）如果 是正数，那么 ；如果 等于零，那么 ；如果 是负数，那么 .反之也成立，就是.（ >0 > ； =0 = ； <0 < ）.
解：由已知图形知： ，由此得： .
3.1不等关系与不等式(第一课时)学案
※高二文科班数学课堂学习单※3.1 不等关系与不等式（1）一，学习目标:1、 理解实际问题中的不等关系2、 掌握数的大小比较方法3、 掌握不等式的性质二，自学导航：p72—p741、电脑用户计划用不超过500元的资金，购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘，根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒，写出满足上述所有不等关系的不等式．2、填写《方案》p49要点2，并判断下列命题的对错，并说明理由．(1)c a <c b且c >0则a >b ； (2)a >b 且c >d 则ac >bd ； (3)a >b >0且c >d >0则a d >b c ； (4)a c 2>b c2则a >b . (5)若c >a >b >0则a c －a >b c －b. 3、（1）已知x<1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小；(2)已知a >0，b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．4、 我生成的问题：三，我的收获：1，本节课的知识结构2，本节课我学到的方法3，本节课的易错点四，课堂检测：1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y ≥380z >45B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95y >380z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧ x >95y >380z >45D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45 2．设a >b >c ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a |c |>b |c |B ．ab >ac C.1a <1b <1c D ．a －|c |>b －|c | 3．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A <B 或A >BD ．A >B4．一个两位数，个位数字为a ，十位数字为b ，且两位数大于50，用不等关系表示为________．5．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：_____ ___.五，作业1．若m ≠2且n ≠－1，则M ＝m 2＋n 2－4m ＋2n 的值与－5的大小关系为( )A ．M >－5B ．M <－5C ．M ＝－5D ．不确定Δ2．设a >1>b >－1，则下列不等式中恒成立的是( )A.1a <1bB.1a >1b C ．a 2>2b D ．a >b 23．已知a >b ，则下列不等式：①a 2>b 2；②1a <1b ；③1a －b >1a.其中不成立的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．比较大小：x 2＋y 2＋z 2________2(x ＋y ＋z )－4Δ5．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．6．已知a >b >0，c <d <0，e <0求证：e a －c >e b －d.。
3.1.1不等关系与不等式导学案
3.1《不等关系与不等式》（1）主备人：张有明校对人：李德明周萍萍审核人：胡道成【学习目标】1、会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；2、理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
【重点】用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；【难点】用不等式（组）正确表示不等关系。
【知识链接】大于用表示，小于用表示，不大于用表示，不小于用表示，正数用表示，负数用表示，非负数用表示，非正数用表示知识点1：现实世界和日常生活中常见的不等关系问题1：用不等式表示下列不等关系：（1）a与b的和是非正数；（3）右图是限速为40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，表示为 40知识点2:现实世界和日常生活中常见的不等式组关系问题2：用不等式组表示下列不等关系：（1）中国“神州七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s. 表示为（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪f的含量应不少于2.5﹪，蛋白质p的含量应不少于2.3﹪. 表示为（3）铁路旅行常识规定：旅客每人免费携带物品——杆状物长度w不超过200cm，重量m不超过20kg. 表示为问题3：配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B种药需甲料5毫克，乙料4毫克。
今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A、B两种药至少各配一剂，设配制A种药剂x剂,配制B种药剂y剂，求x,y应满足的条件。
（1）配制A种药剂x剂，需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（2）配制B种药剂y剂，需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（3）配制两种药剂，共需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（4）所需甲种原料不能超过毫克，得到不等式，乙种原料不能超过毫克，得到不等式；（5）因为A、B两种药至少各配一剂，所以应该满足（6）将上述不等式列成不等式组如下：基础达标：用不等式（组）表示下面的不等关系：（1）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2。
3.1不等关系和不等式教案
3.1不等关系和不等式（第一课时）学习过程：一、课题引入现实世界和日常生活中，也普遍存在着大量的不等关系，例如：1、三角形三边之间的关系2、同班同学身高之间的关系。
3、公路上各种车辆的速度之间的关系你能不能再举出一些存在着不等关系的例子呢?二、不等关系是普遍存在的请同学们指出下列问题中哪两者之间存在着不等关系？1、今天的天气预报说：明天白天的最高温度为13℃；40 白天的气温t与13℃之间存在不等关系，t≤13℃2、a是一个非负实数。
a的取值与零之间存在着不等关系，a≥03、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.汽车的速度v 与40km/h之间存在不等关系，v≤40你能不能用不等符号把上述关系表示出来呢？三、不等式1、像这样，用不等号（<,>,≤,≥,≠）表示不等关系的式子就叫不等式。
其中“<”或“>”连结的不等式叫严格不等式。
用“≤”或“≥”连结的不等式叫非严格不等式。
2、不等式a b ≤的含义：不等式a ≤b 的含义是“a b <”或“a b =”。
等价于“a 不大于b ”，即a b <和a b =之中有一个成立，则a ≤b 成立。
3、小常识：“不等号”是英国数学家哈里奥特（T.Harriot ）于1631年开始使用的，但当时并没有被数学界所接受，直到100多年后，才逐渐成为标准的应用符号。
感悟体验1、2008年9月25日9时，我国“神舟七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了中华民族千年的又一飞天梦想，这是自1970年4月4日成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国航天史上又一新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家。
“东方红一号”与“神舟七号”部分参数的对比见下表，请把表格补充完整。
“东方红一号”与“神舟七号”部分参数对比表分析：观察参数对比可以发现ab s s ''>，a b s s >，a b t t >，a b m m <这些不等式关系，从而说明“神舟七号”飞船比“东方红一号”卫星在很多方面都有了较大的发展。
高中数学 第三章 不等式与不等关系1学案 新人教版必修5 学案
§3.1不等式与不等关系（1）一、学习目标：通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景，并能将这些不等关系用不等式表示出来。
二、学习重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
三、学习难点：用不等式（组）准确地表示出不等关系。
四、学习过程：学习导引：在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。
人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。
在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
（一）表示不等关系的常用符号，请你填一填文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于至少大于或等于不少于小于或等于不多于(二)日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。
如以下标志，请用不等式表示出来请你列举生活中的不等关系1._______________________________________2.__________________________________3.______________________________________4.__________________________________（三）实例感知用不等式表示下列问题中的不等关系1.点与线、点与面的距离问题设点A 与平面a 的距离为d，B 为平面a 上的任意一点，则其中不等关系有______________2.杂志的销售问题某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本. 据市场调查，若单价每提高 0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本. 若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？3.钢材的截取问题某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成500mm 和 600mm 两种．按照生产的要求，600mm的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？（四）实战演练1．用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x 不低于 400 元______________________2．限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过 40km/h，写成不等式就是_______________3．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于 2.5%，蛋白质的含量q 应不少于 2.3%，写成不等式组就是_________________4．(1)如图(见课本 74 页)，在一个面积为 350 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽 W 的 4 倍(2)有一个两位数大于 50 而小于 60，其个位数字比十位数大 2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)（五）实践训练（时量：5 分钟 满分：10 分） 1. 下列不等式中不成立的是（ ）.A ． -1≤2B ． -1< 2C ． -1≤-1D ． -1≥22. 用不等式表示，某厂最低月生活费 a 不低于 300元 （ ）. A ． a ≤ 300 B ． a ≥300 C ． a > 300 D ． a < 3003. 已知 a + b > 0 ， b < 0 ，那么 a ,b ,-a , - b 的大小关系是（ ）. A ．a > b > -b > - a B ．a > -b > -a > b C ．a > -b > b > - a D ．a > b > -a > - b4. 用不等式表示：a 与b 的积是非正数___________5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间 t 在 16点到 18 点之间______________________（六）课堂小结： 1．会用不等式（组）表示实际问题的不等关系；2．会用不等式（组）研究含有不等关系的问题．（六）课后实践 1.用不等式表示下面的不等关系：（1）a 与 b 的和是非负数_________________（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”________________(3)坐火车时，儿童身高1.2米以上需要买票，需买票汇的范围是_______________2. 某夏令营有 48 人，出发前要从 A 、B 两种型号的帐篷中选择一种．A 型号的帐篷比 B 型号的少 5顶．若只选 A 型号的，每顶帐篷住 4 人，则帐篷不够；每顶帐篷住 5 人，则有一顶帐篷没有住满．若只选 B 型号的，每顶帐篷住 3 人，则帐篷不够；每顶帐篷住 4 人，则有帐篷多余．设 A 型号的帐篷有x 顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．3．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒。
3.1.1不等关系与不等式-王后雄学案
张喜林制3.1.1 不等关系与不等式课表考纲解读1.理解不等式的概念，了解实数运算的符号法则及两实数大小顺序之间的关系，2.熟练掌握比较两实数大小的基本方法作差法.使用．强一3.能够运用实数的符号法则及作差法解决一些生活中的问题.通过具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题，解决问题．状元学习方案1.再利用不等式性质推证不等式时，要紧扣不等式性质的条件，当不能确定某一性质的条件成立时，不要使用此性质论证，否则不正确.2.注意整体思想方法的使用。
3.对于开放型题目，我们可以使用赋值法，验证符合条件的不等式，赋值法是解选择题、开放题常用的方法.此类题目判断符号时，要根据字母的取值范围，进行分类讨论.教材知识检索考点知识清单1．在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的．我们用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做 .2．如果a-b是正数，则____；如果a>b;则a-b为____；如果a-b是负数，则____；如果a<b，则a-b为____；如果a-b等于零，则____；如果a=b，则a-b等于____．上述结论可以写为：a-b>0⇔；a-b<0⇔；a-b=O⇔．要点核心解渎1．不等关系是本章的核心内容i是比较两个实数或代数式的大小的理论基础．比较法中的作差法，实际上是比较这两个实数（或代数式）的值的大小，而这又归纳为判断它们差的符号，这实际上又归纳到实数运算的符号法则.2．利用比较法中的作差法来比较两个代数式或实数大小时，注意分情况对变量进行讨论，讨论时做到不重不漏[注意]本节的重点是不等式的概念及比较两个实数的大小．难点是比较两个代数式的大小．正确理解a≥b或a≤b的含义，掌握比较两个代数式的大小的一般步骤：作差→变形→判断差的符号，是学好本节的关键，典例分类剖析考点1 比较两数（代数式）的大小命题规律(1)利用作差法比较两个代数式或两个数的大小． (2)在比较大小中考查分类讨论的思想．[例1](1)已知R b a ∈,，比较44b a +与33ab b a +的大小； (2)设R a ∈且,1-=/a 试比较a+11与a -1的大小． [答案] )()1(3344ab b a b a +-+))(()()(3333b a b a a b b b a a --=-+-= )()(222b ab a b a ++-=,0]43)2[()(222≥++-=b b a b a当且仅当b a =时取等号，.3344ab b a b a +≥+∴a a a a+=--+1)1(11)2(2当a=0时，;111a a-=+ 当a< -1时，;111,012a a a a -<+<+ 当a> -1且a ≠0时．.111,012a aa a ->+>+ [方法技巧](1)作差比较大小的关键是作差后的变形，要重点掌握好配方、平方差公式、通分、因式分解、有理化等解题方法和工具．(2)利用作差比较两式大小时，如果作差化简所得式子的符号无法确定时，那就要根据该式特征进行分类讨论以确定该式符号，分类讨论思想是一种非常重要的数学思想.母体迁移1．(1)证明：对任意实数+-=x x x f x 23)(,1总大于.12)(2-+=x x x g (2)已知a>0且,0,1>>=/n m a 比较m ma a A 1+=和=B nnaa 1+的大小． 考点2 应用不等式表示不等关系命题规律(1)利用不等式来表示实际生活中的不等关系．(2)在读懂题意，理解题意的基础上建立不等式模型． [例2]《铁路旅行常识》规定：“一、随同成人旅行身高1.1～1.4米的儿童，享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带品的体积和重量是每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不得超过20千克……” 设身高为h （米），物品外部尺寸长、宽、高之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系：[解析] 身高在1.1～1.4米之间可表示为 身高超过1.4米可表示为,4.1>h 身高不足1.1米可表示为,1.1<h物体长、宽、高之和不超过160厘米可表示为.160≤P [答案] 4.11.1≤≤h 4.1>h 1.1<h 160≤P[方法技巧] 不等式是不等关系的符号表示，在用不等式表示不等关系时应特别注意能否取等号的问题，像本题中“超过”或“不足”都不能取等号，而“不超过”则包含相等的情况，应该取等号．母题迁移2．下表是某年我国长江流域各省（区）水质状况直方图：说明：据《国家水环境质量标准》，I 、Ⅱ、Ⅲ类水均为适用于集中式生活饮水源，Ⅳ、V 类水分别为工业、农业用水，从水质上讲，I 类水最优，V 类最劣．请根据图中提供的信息，依河流水质的状况，将各省（区）长江水污染程序按从小到大的顺序(<，≤)进行排列.考点3 比较法的综合运用命题规律(1)在比较大小的过程中考查式子的变形能力．(2)对比较大小的方法如作差法、商比法等的综合运用．[例3] 若,10<<x 试比较|)1(log |x a -与|)1(log |x u +的大小． [答案] 采用作差或作商比较法进行比较． 解法一：作差法，|)1(log ||)1(log |x x a u +--|lg )1lg(||lg )1lg(|a x a x +--= |))1lg(||)1lg((||lg |1x x a +--=,0)1lg(|lg |12>--=x a.|)1(log ||)1(log |x x a a +>-∴解法二：作商法．|)1(1)1(log ||)1(log ||)1(log |x og x x x a a a a +-=+->+>--+=-=+)111(11)1log(|)1(log |)(x xx x x x J 1)1(log 1=++x r （采用放缩法）． .|)1(log ||)1(log |x x a a +>-∴[启示] 注意去掉绝对值的条伴．[特别提示] 解法中不同对数应用换底公式时，需对a 分0<a<1和a>1两种情况进行比较，如果发现)1(log x a -与)1(log x a +反号，,0)1(log 2=/-x a 那么立即有=-⋅|)1(log |x a +--1(log )1(log |2a a x-=1(log |)a x )1(|]|)2x og x u ++.|)1(log ||x a +>母题迁移3．(1)若x<y<0，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小； (2)设0,0>>b a 且,b a =/试比较bab a 与abb a 的大小．优化分层测讯学业水平测试1．学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，则有19人没有住处；如果每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设学生有x 人，则x 满足关系式( )．6419.6.=--x x A 0419.6.>--x x B 6419.6.<--x x C 6419.60.<--<x x D 2．设,1,2-==x N x M 则M 与N 的大小关系为( )．N M A >. N M B =. N M C <. D ．与x 有关3．若2=/a 或,1-=/b 则b a b a M 2422+-+=的值与-5的大小关系是( )．5.->M A 5.-<M B 5.=M C D ．不能确定4．若442->+a a 恒成立，则a 的取值范围是5．设实数a ，b ，c 满足,44,34622a abc a a c b +-=-+-=+则a ，b ，c 的大小关系是 6．通过上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分．因特网服务公司(Intemet Service Ptovider)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取。
3.1.1 不等关系与不等式(导学案)
§3.1.1 不等关系与不等式学习目标1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.3. 掌握不等式的基本性质；4. 会将一些基本性质结合起来应用.学习过程一、课前预习1、看教材7273~P P 第6行，回答下列问题（1）问题1、问题2、问题3都是用不等式来表示生活中含有不等关系的实际问题，你能表示出来吗？（2）用不等式表示不等关系：a 与b 的和是非负数_________________（3）教材74P 练习第2题：如图，在一个面积为3502m 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍，用不等式表达此不等关系。
2、看教材7374~P P 第7行，回答下列问题（1）比较两实数的大小基本结论“如果a-b 是正数，那么a>b ；如果a-b 等于零，那么a=b ；如果a-b 是负数，那么a<b.反过来也对”有什么作用？（2）能证明性质1~性质6吗？（3）性质1~性质8，有几条性质中要有正数这个条件？二、合作探究题型一：比较大小例1 比较大小：（1）____________115265--； （2）(3)(5)a a +- (2)(4)a a +-.（3）327+ 4（4）710+ 314+（5）22(21)(21)a a a a ++-+与22(1)(1)a a a a ++-+的大小题型二：基本性质的综合应用例2 已知0,0,a b c >><求证c c a b>. 例3 已知0a b >>，0c d >>，求证：a b d c >.例4 已知[2,5]a ∈，[3,7]b ∈，求a b +，a b -，a b的取值范围例5 已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.例6 已知0x >，求证：112x x +<+本节学习后的小结：方法总结：比较大小常用的方法： “作差法”、“作商法”（1）作差法的一般步骤：作差——变形——判号——定论（2）作商法（两式的符号要相同）的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——定论§3.1.1 不等关系与不等式(解析版)学习目标1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.3. 掌握不等式的基本性质；4. 会将一些基本性质结合起来应用.学习过程一、课前预习1、看教材7273~P P 第6行，回答下列问题（1）问题1、问题2、问题3都是用不等式来表示生活中含有不等关系的实际问题，你能表示出来吗？（2）用不等式表示不等关系：a 与b 的和是非负数____0a b +≥_____（3）教材74P 练习第2题：如图，在一个面积为3502m 的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍，用不等式表达此不等关系。
(教学案)3.1.1不等关系与不等式Word版含解析
3.1.1 不等关系与不等式教学设计1、教学目标：一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；二、过程与方法采用探究法，设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.2、内容分析：本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步开展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的根本理论，并能用实数的根本理论来比拟两个代数式的大小．教学重点：1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.比拟实数与代数式的大小关系，教学难点：教学难点：准确比拟两个代数式的大小．3、学情分析：通过初中的学习学生会比拟两数的大小，在此根底上让学生体会概括能力、数学建模能力和分析问题的能力.4、设计思路：以问题链的形式完成的，问题1,2，3是逻辑根底，得出定义，第四个问题得出代数式比拟大小的方法，是前三个问题开展后的自然回归.三、教学过程我以生活中的常见的食品和饮品〔如巧克力、康师傅绿茶〕成分说明引出本节课的课题.让学生自己再举生活中的例子，学生活泼了，学生举的例子有：1、今天的天气：“最低气温是17℃，最高气温是30℃.〔设温度为t℃〕2、马路上的限速的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度，不超过；3、ΔABC的两边之和大于第三边；4、人的高矮比拟，等等.〔设计意图：1.调动学生了的积极性.2.可以让学生知道数学来源于生活.〕为了调动学生的积极性我抛出了一个问题：网购，现在比拟流行网购，让学生在网购中学习?不等关系与不等式?，我想在网上买一部和一部平板，可是网上买和平板的店太多了，我想请同学们帮我做选择，怎样根据我手中的钱购置呢？引出问题1：一个电子控想买同一品牌的和平板各一部，他最多花5000元购置，使用时间至少3年，请问这里有没有隐含的不等关系？有了不多的资金，怎么分配资金呢？应当根据需求分配资金，这样可以拉紧老师和学生之间的距离，进而引出问题2：电子控能接受的价格在1500——2500元，平板价格在2000——3000元，买这两种物品，它们的价格应满足怎样的不等式？有了资金和需求哪买什么样品牌的和平板呢？问题3.经过市场调查，得到几组数据：(a)名称日销售数量第一位华为3857第二位小米2841第三位苹果2757第四位三星1962第五位OPPO 1571(b).其中价格区间在2000--2500之间的销售量特别大.这些调查中有没有蕴含着不等关系？可以用不等式来刻画吗？〔设计意图：把实际问题转化为数学模型来处理，加深学生对数学与生活联系的认识，让学生树立应用数学的意识.〕学生就可以自己归纳出不等式的定义了.含有不等号〔>，<，≥，≤，≠〕的式子，叫做不等式.〔设计意图：让学生用数学的观点进行观察、归纳，培养用由特殊到一般的归纳能力.〕问题4：为了少花钱，技术控在网上与店家进行了砍价大战，最终店主为客户提供了两种优惠，优惠一：每件九折；优惠二：不超过2000元〔含2000元〕的局部按原价，超过2000的局部打八折，假设你是技术控，你会选择哪种优惠？〔小组合作完成〕〔设计意图：通过学生之间合作，培养学生的分析问题和处理数据的能力.〕我又设计了3个思考题.思考1：实数可以比拟大小，对于两个实数,其大小关系有哪几种可能？思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？大数对应的点位于小数对应的点的右边.思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？得出结论：; ;这样我们得出结论：上面等价符号的左式反映的是实数的大小顺序，右式反映的那么是实数的运算，合起来就成为实数的运算与实数大小顺序之间的关系.它是不等式这一章的理论根底.〔设计意图：降低问题4的难度，为处理代数式的比拟大小做准备.〕让学生先知道如何比拟两个实数的大小，进而知道如何比拟两个代数式的大小，做差比拟，也就突出了本节课的重点——做差比拟法.和的大小.解：，因为，所以因此、都为正数且时，试比拟代数式与的大小.〔让学生展例如2〕〔设计意图：通过例题1再次熟悉做差比拟法，标准学生的答题思路与步骤，培养学生的严谨的学习习惯.〕为了加深学生对不等关系与不等式的理解，设计了思考题：生活中熟悉的为什么糖水中加的糖越多越甜呢?(浓度问题〕转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，假设再加m(m>0)克糖，那么糖水更甜了，为什么?〔设计意图：让学生再次了解生活中的实例，充分调动了学生的积极性，这样可以让学生学会用数学的眼光去看待生活模型，建立生活与科学之间的联系，更好的表达数学的应用之美.〕本节课我以问题为载体，所有问题的处理都是让学生自主探究与小组合作，老师只是起引导作用，引导学生亲身体验不等式的概念，把握重点；表达了新课标下的以学生为主体的新理念，通过设计思考题来降低难度，突破难点；通过本节课的学习会让学生对数学产生更大的学习兴趣，使学生感受数学源于生活又效劳于生活的学科价值.。
2020版数学人教A版必修5学案：第三章 3.1 不等关系与不等式 Word版含解析
§3.1 不等关系与不等式学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一 不等关系现实世界中存在大量的不等关系．试用不等式表示下列关系：(1)a大于b a＞b(2)a小于b a<b(3)a不大于b a≤b(4)a不小于b a≥b知识点二 作差法作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.思考 x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？答案 作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点三 不等式的基本性质不等式性质：(1)a>b⇔b<a(对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)；(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥1⇒a n >b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒>.n a n b1．2≥1.( √ )2．>1⇒a >b .( × )a b3．a >b ⇔a ＋c >b ＋c .( √ )4．Error!⇔a ＋c >b ＋d .( × )题型一 用不等式(组)表示不等关系例1 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 提价后销售的总收入为x 万元，(8－x －2.50.1×0.2)那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20(x ≥2.5)．反思感悟 数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：.(不用化简)答案 5x－2(19－x)≥80，x∈N*解析 这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2(19－x)≥80，x∈N*.题型二 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.引申探究1．若a＞0，b＞0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？解 (a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)．∵a ＞0，b ＞0，∴(a －b )2≥0，a ＋b ＞0，a 2＋ab ＋b 2＞0.∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？解 若a ＞0，b ＞0，n ＞r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －r ＋a n －r b r .反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)，[(x －12)2＋34]又∵2＋＞0，x －1<0，(x －12)34∴(x －1)<0，∴x 3－1<2x 2－2x .[(x －12)2＋34]命题角度2 作商法比较大小例3 若0<x <1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系．解 ＝＝，|log a (1－x )||log a (1＋x )||log a (1－x )log a (1＋x )||log (1＋x )(1－x )|∵0<x <1，∴＝－log (1＋x )(1－x )＝log (1＋x )，|log (1＋x )(1－x )|11－x∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )<1，且1－x ＞0，∴1＋x <，11－x∴log (1＋x )＞1，11－x即＞1，|log a (1－x )||log a (1＋x )|∴|log a (1＋x )|<|log a (1－x )|.反思感悟 作商法的依据：若b ＞0，则＞1⇔a ＞b .a b跟踪训练3 若a ＞b ＞0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解 ＝a a －b b b －a ＝a －b ，a a b b a b b a (a b)∵a ＞b ＞0，∴＞1，a －b ＞0，a b∴a －b ＞1，即＞1，(a b )a a b ba b b a又∵a ＞b ＞0，∴a a b b ＞a b b a .题型三 不等式的基本性质例4 已知a >b >0，c <0，求证：>.c a c b证明 因为a >b >0，所以ab >0，>0.1ab于是a ×>b ×，即>.由c <0，得>.1ab 1ab 1b 1a c a c b反思感悟 有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质．跟踪训练4 如果a >b >0，c >d >0，证明：ac >bd .证明Error!⇒ac >bd .用好不等式性质，确保推理严谨性典例 已知12<a <60,15<b <36，求的取值范围．a b[错解] ∵12<a <60,15<b <36，∴<<，1215a b 6036∴<<.45a b 53[点拨] 在确保条件的前提下，同向不等式可以相乘，但同向不等式没有相除的性质，不能臆造．确需相除，可转化为相乘．[正解] ∵15<b <36，∴<<，又12<a <60，1361b 115∴<<，∴<<4，1236a b 601513a b即的取值范围是.a b (13，4)[素养评析] 逻辑推理讲究言必有据．在不等式这一章，我们要对不等式进行大量的运算、变形，而运算、变形的依据就是不等式的性质．通过考问每一步是否有依据，整个推理过程是否有条理，可以使我们的理性精神和交流能力得到提升．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45.2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b答案 C 解析 由a ＋b >0，知a >－b ，∴－a <b <0.又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a .3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B.>⇒a >b a c b cC.Error!⇒>D.Error!⇒>1a 1b1a 1b 答案 C解析 当c ＝0时，A 不成立；当c <0时，B 不成立；当ab <0时，a >b ⇒<，即>，C 成a ab b ab 1a 1b 立．同理可证D 不成立．4．若a ＞b ＞0，c <d <0，则一定有( )A.＞B.<a d b ca dbc C.＞ D.<a c b da cb d 答案 B解析 因为c <d <0，所以－c ＞－d ＞0，即＞＞0.1－d 1－c 又a ＞b ＞0，所以＞，a －d b －c从而有<.a d b c5．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小．解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．一、选择题1．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是( )A．x2<ax<a2B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax答案 B解析 ∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2，∴x2>ax>a2.2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >> B.>>aa b ab 2a b 2a b C.>a > D.>>aa b ab 2a b ab 2答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则＝1，＝－∴>>a .a b a b 212a b ab 23．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.< B ．a 2>b 21a 1b C.> D ．a |c |>b |c |a c 2＋1bc 2＋1答案 C解析 对于A ，若a >0>b ，则>0，<0，1a 1b 此时>，∴A 不成立；1a 1b 对于B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对于C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴>恒成立，∴C 成立；ac 2＋1bc 2＋1对于D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．4．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0，Error!则ab >ac .5．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.< D.<1ab 21a 2bb a a b 答案 C解析 对于A ，在a <b 中，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，>0，∴<；1a 2b 21ab 21a 2b对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，＝＝－1.b a a b6．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为( )A ．M <NB ．M ≤NC ．M >ND ．M ≥N 答案 C解析 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .二、填空题7．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：当b >a >0且m >0时， .答案 >a ＋m b ＋m a b 解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．8．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是 ．答案 (－32，52)解析 由函数的解析式可知0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1，且2a －b ＝(a ＋b )－(－a ＋b )，1232结合不等式的性质可得，2a －b ∈.(－32，52)9．若x ∈R ，则与的大小关系为 ．x 1＋x 212答案 ≤x 1＋x 212解析 ∵－＝＝≤0.x 1＋x 2122x －1－x 22(1＋x 2)－(x －1)22(1＋x 2)∴≤.x 1＋x 21210．(x ＋5)(x ＋7)与(x ＋6)2的大小关系为 ．答案 (x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2解析 因为(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－(x 2＋12x ＋36)＝－1<0.所以(x ＋5)(x ＋7)<(x ＋6)2.三、解答题11．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关系表13示出来．解 由题意可得Error!(x ，y ，z ∈N )．12．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝且z ＝1时取等号．1213．已知a ＞b ＞0，c <d <0，e <0，求证：＞.e a －c eb －d 证明 ∵c <d <0，∴－c ＞－d ＞0，又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )＞0，即a －c ＞b －d ＞0，∴0<<，1a －c 1b －d 又∵e <0，∴＞.e a －c eb －d14．若x >0，y >0，M ＝，N ＝＋，则M ，N 的大小关系是()x ＋y1＋x ＋y x1＋x y1＋y A ．M ＝N B ．M <NC ．M ≤ND ．M >N答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1>1＋x >0,1＋x ＋y >1＋y >0，∴<，<，x 1＋x ＋y x 1＋x y 1＋x ＋y y 1＋y故M ＝＝＋<＋＝N ，即M <N .x ＋y 1＋x ＋y x 1＋x ＋y y 1＋x ＋y x 1＋x y 1＋y 15．已知实数x ，y 满足－4≤x －y ≤－1，－1≤4x －y ≤5，则9x －3y 的取值范围是 ．答案 [－6,9]解析 设9x －3y ＝a (x －y )＋b (4x －y )＝(a ＋4b )x －(a ＋b )y ，∴Error!⇒Error!∴9x －3y ＝(x －y )＋2(4x －y )，∵－1≤4x －y ≤5，∴－2≤2(4x －y )≤10，又－4≤x －y ≤－1，∴－6≤9x －3y ≤9.。
苏教版2019届高一数学苏教版必修5学案：3.1 不等关系
3.1 不等关系1．了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．会用不等式(组)表示不等关系．(重点)3．会比较数(或式)的大小．(难点)[基础·初探]教材整理 不等关系阅读教材P73～P74，完成下列问题．在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况．1．人类能听到的声音频率x不低于80 Hz且不高于2 000 Hz，用不等式表示为________．【解析】 “不低于80 Hz”即“≥80 Hz”；“不高于2 000 Hz”即“≤2 000 Hz”．【答案】 80 Hz≤x≤2 000 Hz2．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不高于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式组表示上述关系为________．【答案】 Error![质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]用不等式表示不等关系 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？【精彩点拨】 总收入＝单价×销售量，总收入－成本＝利润．【自主解答】 设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可(8－x －2.50.1×0.2)以表示为不等式x ≥20.(8－x －2.50.1×0.2)用不等式表示不等关系的注意事项1．利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．2．在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．[再练一题]1．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，且这个两位数大于50，可用不等关系表示为________．【解析】 该两位数为10b＋a，由题意可知10b＋a>50.【答案】 10b＋a>50用不等式组表示不等关系 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【精彩点拨】 【自主解答】 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则Error!即Error!用不等式组表示实际问题中的不等关系时，要做到：(1)阅读要用心，读懂题意，寻找不等关系的根源，这是解决实际问题的基本的一步．(2)对题中关键字、关键句要留心，多加注意．(3)要将所有不等关系都表示为不等式．[再练一题]2．如图311，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍，写出L 与W的关系．图311【解】 由题意，得Error![探究共研型]实数大小的比较探究1 如果a ，b 之间的大小关系分别为a >b ，a ＝b ，a <b ，那么a －b 分别与0的关系？反之呢？【提示】 若a >b ，则a －b >0，反之也成立；若a ＝b ，则a －b ＝0，反之也成立；若a <b ，则a －b <0，反之也成立．探究2 若a >b ，则>1吗？反之呢？ab 【提示】 若a >b ，当b <0时，<1，即a >bD ⇒\>1；a b ab 若>1，则－1>0，即>0，a b a b a －bb ∴a －b >0，b >0或a －b <0，b <0，即>1D ⇒\a >b ，反之也不成立．ab 已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．【精彩点拨】 作差―→因式分解判号―→下结论――→x <1 【自主解答】 x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)，[(x －12)2＋34]∵x <1，∴x －1<0，又∵2＋>0，(x －12)34∴(x －1)<0，[(x －12)2＋34]∴x 3－1<2x 2－2x .1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．作商法比较大小的步骤及适用范围(1)作商法比较大小的三个步骤：①作商变形；②与1比较大小；③得出结论．(2)作商法比较大小的适用范围：①要比较的两个数同号；②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．[再练一题]3．若m >2，比较m m 与2m 的大小．【解】 ∵＝m ，mm2m (m 2)又m >2，∴>1，m 2∴m >0＝1，(m 2)(m 2)∴m m >2m .[构建·体系]1．用不等式表示a 与b 的平方和是非负数，应为________． 【解析】 a 与b 的平方和应表示为a 2＋b 2，非负数即≥0，故a 2＋b 2≥0.【答案】 a 2＋b 2≥02．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为________．【解析】 由题意可知v ≤120，d ≥10，即Error!【答案】 Error!3．b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)，若再添上m g 糖(m >0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为________.【导学号：91730050】【解析】 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．【答案】 >a ＋m b ＋m ab4．已知m ＝x 2＋2x ，n ＝3x －2，则m 与n 的大小关系是________．【解析】 ∵m －n ＝x 2－x ＋2＝2＋，又2≥0，(x －12)74(x －12)∴m －n >0，∴m >n .【答案】 m >n5．某用户计划购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？【解】 设软件数为x ，磁盘数为y ，由题意得Error!我还有这些不足：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________我的课下提升方案：(1)_________________________________________________(2)_________________________________________________学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器不小于B容器的容积．若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为________；________；________.【答案】 a<b a>b a≥b2．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T满足关系为________.【导学号：91730051】【解析】 “限重”即不超过的意思，即T≤40.【答案】 T≤403．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是________．【解析】 “不低于”即≥，“高于”即>，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.【答案】 Error!4．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，满足工人工资预算条件的数学关系式为________．【答案】 Error!5．《铁路旅行常识》规定：“随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票，每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……”设身高为h(米)，请用不等式表示下表中的不等关系文字表述身高在1.2～1.5米之间身高超过1.5米身高不足1.2米符号表示【解析】 身高在1.2～1.5米之间可表示为1.2≤h ≤1.5，身高超过1.5米可表示为h >1.5，身高不足1.2米可表示为h <1.2.【答案】 1.2≤h ≤1.5 h >1.5 h <1.26．若a ∈R ，则与的大小关系是________．a 1＋a 212【解析】 ∵－＝＝≤0，∴≤.a 1＋a 2122a －1－a 22(1＋a 2)－(a －1)22(1＋a 2)a 1＋a 212【答案】 ≤a 1＋a 2127．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为____________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．【解析】 如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程为8(x ＋19)km ，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km ”可以用不等式8(x ＋19)>2 200来表示；如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它原来行驶8天的路程现在所花的时间为，因此，不等关系8xx －12“它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间”可以用不等式>9来8xx －12表示．【答案】 8(x ＋19)>2 200 >98xx －128．设n >1，n ∈N ，A ＝－，B ＝－，则A 与B 的大小关系n n －1n ＋1n 为________．【解析】 ∵A ＝－＝，n n －11n ＋n －1B ＝－＝，n ＋1n 1n ＋1＋n ∵0<＋<＋，n n －1n ＋1n ∴A >B .【答案】 A >B二、解答题9．某帐篷厂为支援某地震灾区，由于帐篷规格的需要，要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种．按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的数量的3倍．写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，根据题意需用不等式组来表示，则有Error!即Error!10．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．【解】 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝且z ＝1时取等号．12[能力提升]1．已知a ≠0，b ≠0，且a ＋b >0，则＋与＋的大小关系是a b 2b a 21a 1b ________．【解析】 ＋－＝＋＝(a －b )a b 2b a 2(1a ＋1b )a －b b 2b －a a 2(1b 2－1a 2)＝.(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，a 2b 2>0，∴≥0，(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∴＋≥＋.a b 2b a 21a 1b 【答案】 ＋≥＋a b 2b a 21a 1b2．若a >0且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，则M ，N 的大小关系为________.【导学号：91730052】【解析】 当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的增函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1,此时，y ＝log a x 为(0，＋∞)上的减函数，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，∴当a >0且a ≠1时，总有M >N .【答案】 M >N3．如图312所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示出来________．(1) (2)图312【解析】 (1)中面积显然比(2)大，又(1)的面积S 1＝a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)，121212(2)的面积S 2＝ab ，所以有(a 2＋b 2)>ab .12【答案】 (a 2＋b 2)>ab124．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k ∈N *)，已1k 知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且每一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组．47【解】 依题意得，第二次钉子没有全部钉入木板，第三次全部钉入木板，则不等式组为Error!(k ∈N *)．。
探究式导学案1：3.1不等关系与不等式
3.1 不等关系与不等式【学习目标】1．知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。
2.过程与方法:以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；3.情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
【重、难点】1. 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
2. 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。
【知识链接】1.请同学们阅读课本P72的内容，提出：我们常用不等式研究含有不等关系的问题？反馈测评(1)试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
(2)课本P74的练习1、22.我们研究不等关系的一个出发点是：[知识拓展]设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。
不等式是否也有类似的性质呢？从实数的基本性质出发，可以证明下列常用的不等式的基本性质：（1）a >b ⟺b <a（2）a >b,b >c ⟹a >c（3） a >b ⟹a +c >b +c（4） a >b,c >0⟹ac >bc a >b,c <0⟹ac <bc[练习]：P 74第3题。
[思考]：利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：(1) a >b,c >d ⟹a +c >b +d(2) a >b >0,c >d >0⟹ac >bd(3) a >b >0,nϵN,n >1⟹a n >b n ,√a n >√b n[典型例题]例1、已知a>b>0,c<0,求证：ca >cb.练习1、在以下各题的横线处适当的不等号：(1)(√3+√2)26+2√6;（2）(√3−√2)2(√6−1)2;（3）√5−2√6−√5(4)当a>b>0时，log12a log12b例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
1.示范教案(3.1.1 不等关系与不等式(一))
3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式（一）从容说课通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景；3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)实例6:限时40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%.［过程引导］师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?生可以用不等式或不等式组来表示.师什么是不等式呢?生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）［合作探究］生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来.师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢?（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃.生可以表示为x≥0.（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）（老师顺便画出三角形草画）生|AC|+|BC|＞|AB|(只需结合上述三角形草图).生|AB|+|BC|＞|AC|、|AC|+|BC|＞|AB|、|AB|+|AC|＞|BC|.生|AB|-|BC|＜|AC|、|AC|-|BC|＜|AB|、|AB|-|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.生如果用v表示速度，则v≤40 km/h.生f≥2.5%或p≥2.3%.(此时,一片安静,同学们在积极思考)生这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为生也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.师同学们看这两位同学的观点是否正确?生(齐答)大家齐声说，都可以.师同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达.课堂练习教科书第83页练习1、2.(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）【问题1】设点A与平面α的距离为d,B为平面α上的任意一点.［活动与探究］师请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨)［方法引导］师前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以?(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A作AC⊥平面α于点C，则d=|AC|≤|AB|.师这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形.师请同学们继续来处理问题2.［合作探究］【问题2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?生可设杂志的定价为x元，则销售量就减少万本.师那么销售量变为多少呢？如何表示？生可以表示为万本，则总收入为万元.〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为x≥20〕师是否有同学还有其他的解题思路？生可设杂志的单价提高了0.1n元，(n∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.师这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师请同学们继续思考第三个问题.［合作探究］【问题3】某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.生截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.生截得两种钢管的数量都不能为负.师上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生它们要同时满足条件，应该是且的关系.生由实际问题的意义，还应有x,y∈N.师这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：师这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：若需在长为4 000 mm的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?分析：设截出长为698 mm的毛坯x个和截出长为518 mm的毛坯y个，把截取条件数学化地表示出来就是：（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）布置作业第84页习题3.1A组4、5.板书设计不等关系与不等式（一）实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析（知识方法应用）小结实际问题中不等量关系？示范解题备课资料一、备用习题1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.分析：设该班共有x人，这笔开学费用共y元，则.3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意，知4.某企业生产A、B两种产品，A产品的单位利润为60元，B产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h和2.4 h，每件B产品在两个车间都需经过1.6 h，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.分析：设该企业分别生产A产品x件、B产品y件，则二、课外探究开放性问题已知：不等式组你能举出符合此不等式组的实际问题吗？3.1.2不等关系与不等式（二）从容说课本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教学难点1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.师很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）师一般地说，不等式的基本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答）［过程引导］师不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）性质1：a＜b a+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞b a+c＞b+c（或a-c＞b-c）.性质2：a＜b且c＞0ac＜bc(或)；a＞b且c＞0ac＞bc(或).性质3：a＜b且c＜0ac＞bc(或)；a＞b且c＜0ac＜bc(或).（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）师性质2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？生对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数.师很好，c可以为零吗？生c不能为零.因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.师这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.师对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.（学生已迫不及待）生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）师为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）［教师精讲］师若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a ＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞b a-b＞0.它的逆命题是否正确？生显然正确.师类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,a＞b a-b＞0;a=b a-b=0;a＜b a-b＜0.师这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.师由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？生只要考察它们的差就可以了.师很好.请同学们思考下面这个问题.(此时，老师用投影仪给出问题)［合作探究］【问题1】已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，由x≠0，得x2＞0，从而(x2+1)2＞x4+x2+1.（学生对x≠0，得x2＞0在说理过程中往往会忽略）师下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）【例1】比较下列各组数的大小（a≠b）.(1)与(a＞0,b＞0);（2）a4－b4与4a3（a－b）.师比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.解：（1），∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0.∴.（2）a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2［2a2+(a+b)2］,∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0.∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.∴a4-b4＜4a3(a-b).师同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.(此时，老师用投影仪给出下列问题)［合作探究］【问题2】求证：（1）a＞b且c＞0ac＞bc；（2）a＞b a+c＞b+c.师请同学们思考第一小问该如何证明？生可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.师这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？生ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，所以得证.师这位同学证明得是否正确？生正确.师这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.生第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.师回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）师请同学继续思考第二小问该如何证明？生可由结论到条件，a+c-(b+c)=a-b，∵a＞b，∴a-b＞0，∴a+c＞b+c.师这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？生（齐声）没问题.师这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.师下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）(此时，老师用投影仪给出本课时的例2)［例题剖析］已知a＞b＞0,c＜0，求证：.师前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？生可由条件到结论.∵a＞b＞0，两边同乘以正数，得＞，即＜b.又∵c＜0，∴.师这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.课堂小结常用的不等式的基本性质及证明：（1）a＞b,b＞c a＞c;a＞b,b＞c a-b＞0,b-c＞0(a-b)+(b-c)＞0a-c＞0a＞c.（2）a＞b a+c＞b+c;a＞b a-b＞0(a-b)+(c-c)＞0(a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c.（3）a＞b,c＞0ac＞bc;a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0(a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc.（4）a＞b,c＜0ac＜bc.a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0(a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc.。
高中数学第三章不等式3.1.1不等关系与不等式同步导学案新人教B版必修
学习资料专题不等关系与不等式学案学习目标⒈了解不等式的概念，掌握比较实数大小的方法；⒉培养学生数形结合能力和运算能力；⒊通过实际情境的设置，培养学生对客观世界的认知能力。
1.人造地球卫星和绕地球飞行的宇宙飞船的飞行速度（记作vkm/s）应该不小于第一宇宙速度（记作v1km/s），且小于第二宇宙速度（记作v2km/s）。
v,v1,v2的关系用数学符号可怎样表示？2.某人为自己制定的月支出计划中，规定手机电话费不超过150元，他所选用的中国电信卡的收费标准为：月租费30元，每分钟通话费0.40元。
求这个人每月通话时间（记为x小时）的取值范围，请列出式子。
通过上面的两个问题，我们能得到什么启示？我们用哪些符号表示数与代数式之间的关系呢？可举几个例子？一、不等式的定义：二、实数大小比较的方法的依据是什么？实数集与数轴上的点集可以建立一一对应关系，数轴上的点是有次序排列的数轴上一个动点，沿着数轴的正方向运动时，它所对应的实数越来越大。
数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边对应的实数之间的关系怎样？结论一：在数轴上，表示实数a 和b 的两个点分别为A 和B ，则点A 和点B 在数轴上的位置关系如何？实数a 和b 是否也有类似的结论？结论二：三、比较两个实数大小的方法当我们没有度量工具时，要确定甲乙两个同学身高之间的不等关系，应怎样？那么，在数学中如何比较两个数的大小呢？结论：例1比较22--x x x 和的大小。
例2当p,q 都为正数，且p+q=1时，试比较代数式()222qy px qy px ++与的大小。
1、设a=2－5，b=5－2，c=5－25，则a、b、c的大小关系为________________．2、5＋7与23的大小关系是 _____________________．3、7－5与13－11的大小关系是。
探究式导学案3：3.1 不等关系与不等式
3.1不等关系与不等式1. 学会不等式基本性质的内容；2. 能够利用不等式基本性质比较两代数式的大小；3. 利用不等式的同向可加性求多项式的取值范围.重点：不等式基本性质的应用；难点：求多项式的取值范围.（1） 预习教材73-74页，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律.（2） 用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容。
预学案一、相关知识(1)数轴上的任意两点中， 边点对应的实数比 边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a 和b ，a =b ，a >b ，a <b 三种关系中， 一种关系成立.(3)实数比较大小的方法：( 法或 法)b a b a >⇔>-0；b a b a <⇔<-0；b a b a =⇔=-0若a ,b +∈R 则1ab ，⇔=1b a ，1a b .二、新知预习已知()=-++=+m b a n b a m b a 则),(32 ，=n 我的疑惑 .导学案（一）不等式的基本性质探究1.性质1（对称性）如果a b > ，那么 ；如果b a <，那么 .即a b b a >⇔<.2.性质2（传递性）如果,a b b c >>，那么 .即,a b b c a c >>⇒>.3.性质3（加法法则）如果a b > ，那么a c + b c +.（是不等式移向法则的基础）4.性质4（乘法法则）如果a b > ，0c >，那么 . 如果a b > ，0c <，那么 .（a 、b 可以是数字，也可以是代数式，运用过程中一定要注意c 的符号）5.性质5（同向可加性）如果,a b c d >>，那么a c + b d +.（两个或多个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向）6.性质6（同向可乘性）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd .7.性质7（乘方法则）如果 ，那么,n n a b >（n ∈N ，2n ≥）.8.性质8（开方法则）如果 ，那么>（n ∈N ，2n ≥）.（二）不等式的基本性质应用探究1、比较两个代数式的大小例1 已知0,0a b c >><,求证:c c a b>.总结：比较两个实数(代数式)大小的方法巩固练习1 比较(a +3)(a -5) 与(a +2)(a -4)的大小.巩固练习22、已知R x ∈比较()221+x 与124++x x 的大小.2、探究：“糖水加糖甜更甜”问题例2 已知0,0>>>m b a ,求证：a b m a m b >++3、求多项式的取值范围例3 已知13a b ，且24a b ，求b a 32+的取值范围.巩固练习3设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f 求)2(-f 的取值范围。
学案5：3.1 不等关系与不等式
3.1 不等关系与不等式学习目标：1．通过具体情境, 感受在观察现实世界时和日常生活中存在着的大量不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．经历由实际问题建立数学模型的过程, 体会其基本方法.3．总结建立不等式模型的基本思路．4．体会数学在生活中的重要作用, 提高观察、抽象的能力，培养严谨的思维习惯． 学习过程：教材拓展1．不等式的基本性质对于任意的实数a ，b ，有以下事实：a >b ⇔a －b >0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a <b ⇔a －b <0.这三条基本性质是差值比较法的理论依据．例如：已知a >b >0，m >0，要比较a ＋m b ＋m 与a b的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m ). ∵m >0，a >b >0，∴b －a <0，∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m <a b. 2．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面单向性：(1)a >b ，b >c ⇒a >c .(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d .(3)a >b ，c >0⇒ac >bc .(4)a >b ，c <0⇒ac <bc .(5)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .(6)a >b >0，n 为正实数⇒a n >b n .双向性：(1)a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .(2)a >b ⇔b <a .(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)．若把c >0作为大前提，则a >b ⇔ac >bc ，若把c <0作为大前提，则a >b ⇔ac <bc .这两条性质也经常用于解不等式．例如，下面这个简单的一元一次不等式也需要在上述性质下才能完成．解不等式：－16x ＋34<23x －112. 解：－16x ＋34<23x －112⇔－2x ＋9<8x －1 (不等式两边都乘以12，等式方向不改变)⇔－2x <8x －10 (不等式两边都加上－9)⇔－10x <－10 (不等式两边都加上－8x )⇔x >1 (不等式两边都乘以－110，不等式方向改变！) 3．正分数的一个有趣性质在a >b >0，m >0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：b a <b ＋m a ＋m <1<a ＋m b ＋m <a b. 由b a <b ＋m a ＋m可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大．例如： 12<23<34<45<56<67<78<89. 由a ＋m b ＋m <a b可知：一个正的假分数，分子、分母加上同一个分数，分数值将减小．例如： 32>43>54>65>76>87>98>109. 从函数的观点看：当a >b >0时，函数f (x )＝b ＋x a ＋x 在x ∈[0，＋∞)上是单调递增的；函数f (x )＝a ＋x b ＋x在[0，＋∞)上是单调递减的．方法突破一、利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法．例1：已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小．二、利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a ，b 都是正数，则a >b ⇔a b>1； a <b ⇔a b <1；a ＝b ⇔a b＝1. (2)若a ，b 都是负数，则a >b ⇔a b<1. a <b ⇔a b >1；a ＝b ⇔a b＝1. 作商比较法的基本步骤为：①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．例2：设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b ，a b b a ，()2a bab +三者的大小．三、利用不等式的性质比较大小方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断． 例3：对于0<a <1，给出下列四个不等式①log a (1＋a )<log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ②log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ③a1＋a <11a a + ④a 1＋a >11a a +其中成立的是( )A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④四、利用不等式性质求参数范围方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范围．此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐．对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明．例4：是否存在实数a ，使不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n >112log a (a －1)＋23对一切大于1的自然数n 都恒成立？如果存在，试确定a 的取值范围，否则说明原因．课堂检测：1.已知：1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的范围．2.设0<x <1，a >0，a ≠1，试比较|log a (1－x )|和|log a (1＋x )|的大小．3.如果12log x <12log y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x4．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1D ．12参考答案例1：解：可将f (a )与f (b )分别表示出来，然后根据m ，a ，b 的取值范围进行比较，但由于m 的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解．由于f (x )＝mx x －1，所以f (a )＝ma a －1，f (b )＝mb b －1， 于是f (a )－f (b )＝ma a －1－mb b －1＝m (b －a )(a －1)(b －1)， 由于a >b >1，所以b －a <0，(a －1)(b －1)>0.当m >0时，m (b －a )(a －1)(b －1)<0，所以f (a )<f (b )； 当m <0时，m (b －a )(a －1)(b －1)>0，所以f (a )>f (b )； 当m ＝0时，m (b －a )(a －1)(b －1)＝0，所以f (a )＝f (b )． 例2：解：∵()2a ba b a b ab +＝2a b a a +-·2a b b b +- ＝2a ba -·2b ab -＝2a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭.当a >b >0时，a b >1，a －b >0，a －b 2>0 ∴2a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭>⎝⎛⎭⎫a b 0＝1，∴a a b b >()2a bab +.当0<a <b 时，0<a b <1，a －b <0，a －b 2<0. ∴2a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭>⎝⎛⎭⎫a b 0＝1，∴a a b b >()2a bab +.所以，不论a >b >0还是0<a <b ，总有a a b b >()2a bab +.同理：(ab )a ＋b 2>a b b a . 综上所述，a a b b >()2a bab +>a b b a .例3：【解析】∵0<a <1，∴a <1<1a ，∴1＋a <1＋1a， 而y ＝log a x 在(0，＋∞)上与y ＝a x 在R 上均为减函数，∴log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ，a 1＋a >11a a +. 【答案】D例4：解：记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *，且n ≠1)． 如果存在题意中要求的实数a ，那么112log a (a －1)＋23<[f (n )]min ∴f (n )－f (n ＋1)＝1n ＋1－12n ＋1－12(n ＋1)＝12(n ＋1)－12n ＋1<0， ∴f (n )为增函数，故[f (n )]min ＝f (2)＝13＋14＝712， 112log a (a －1)＋23<712， 由此可解得1<a <1＋52，所以满足本题的实数a 存在，其取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52. 课堂检测：1.解：换元法令a ＋b ＝μ，a －b ＝v ，则2≤μ≤4,1≤v ≤2.由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝μa －b ＝v 解得⎩⎨⎧ a ＝μ＋v 2b ＝μ－v 2.∴4a －2b ＝4·μ＋v 2－2·μ－v 2＝2μ＋2v －μ＋v ＝μ＋3v . 而2≤μ≤4,3≤3v ≤6，则5≤μ＋3v ≤10.∴5≤4a －2b ≤10.2.解：方法一 首先判断对数式log a (1－x )和log a (1＋x )的符号，以便去掉绝对值符号，然后作差比较．解题过程必须注意对数函数的单调性．∵0<x <1，∴0<1－x <1,1<1＋x <2.(1)当a >1时，log a (1－x )<0，log a (1＋x )>0∴P ＝|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)∵0<1－x 2<1，∴－log a (1－x 2)>0.故P >0，得|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.(2)当0<a <1时，log a (1－x )>0，log a (1＋x )<0∴P ＝|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝log a (1－x )＋log a (1＋x )＝log a (1－x 2)∵0<1－x 2<1，∴log a (1－x 2)>0.即P >0.故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|综上所述，当a >0，a ≠1时，均有|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.方法二 将两数平方去绝对值后作差比较，由于对数函数的底数取值范围对对数式正负取值有影响，故需分类讨论．P ＝log 2a (1－x )－log 2a (1＋x )＝[log a (1－x )＋log a (1＋x )][log a (1－x )－log a (1＋x )]＝log a (1－x 2)log a 1－x 1＋x由已知0<x <1，得0<1－x 2<1,0<1－x <1,1<1＋x <2，∴0<1－x <1＋x ，∴0<1－x 1＋x<1. (1)当a >1时，log a (1－x 2)<0，log a1－x 1＋x<0， ∴P >0；(2)当0<a <1时，log a (1－x 2)>0，log a 1－x 1＋x >0，∴P >0 综合(1)、(2)知，当a >0，a ≠1时总有log 2a (1－x )>log 2a (1＋x )故|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.方法三 将两式用作商法进行比较，根据对数换底公式|log a (1－x )||log a (1＋x )|＝|log (1＋x )(1－x )| ∵0<x <1，∴0<1－x <1,1<1＋x <2.∴0<1－x 2<1，∴1－x <11＋x∴log (1＋x )(1－x )<log (1＋x )⎝⎛⎭⎫11＋x ＝－1. ∴|log (1＋x )(1－x )|>1，∴|log a (1－x )|>|log a (1＋x )|.3.【解析】不等式转化为112212log log ,log 0x y y <⎧⎪⎨<⎪⎩⇒1<y <x . 【答案】D4．【解析】方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34， 则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38， a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2， ∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12. 又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1) ＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21，a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1) ＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝⎛⎭⎫b 1－12 ＝2⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>12. 综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.【答案】A。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修5 3.1不等关系与不等式（学案）
（第1课时）
【知识要点】
1.不等关系与不等式；
2.用不等式表示实际问题中的不等关系. 【学习要求】
1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；
2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容；
3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程. 【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第 72 页～第73页性质1前的内容）
1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？
2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？
3.不等式的定义.
用不等号 表示不等关系的式子叫不等式. 4.不等式a b ≥的含义.
5.能否正确对“问题2”和“问题3”列式.
6.实数比较大小的依据与方法. （1）如果a b -是正数，那么 ；如果a b -等于零，那么 ；如果a b -是负数，那么 .反之也成立，就是 .
（2）比较两个实数a 与b 的大小，需归结为判断它们的差 的符号，至于差的值是什么，无关紧要.
【基础练习】
1.用不等式表示下面的不等关系： （1）a 与b 的和是非负数；
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”；
2.有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2.试用不等式表示上述关系（用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.
3.2003年10月15日9时，我国“神州五号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了中华民族千年的飞天梦想，这是自1970年4月4日成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国航天史上又一座新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家.
【典型例题】
例1 如图，
()y f x =反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x 吨的函数关系，()y g x =反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系.
试问：（1）当销售量为多少时，该公司盈利（收入大于成本）； （2）当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于成本）.
例2 比较2
3x +与3x 的大小，其中x ∈R .
例3 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.
变式： b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若在添上m 克糖()0m >，问：糖水是否变甜了. 请依据此事实，提炼一个不等式.
1.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元，钢笔每枝5元.设 他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为x ，y ，则x ，y 应满足关系式 .
2.205国道临沂段有限速60km/h 的路标，指示司机在此路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过60km/h ，写成不等式为 .
3.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为
1234,,,h h h h ，则它们的大小关系正确的是（ ）.
(A)2h >1h >4h (B) 1h >2h >3h (C) 3h >2h >4h (D) 2h >4h >1h
4. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段,,AB BC CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50
（A ）123x x x >> (B)1x >3x >2x （C ）231x x x >> （C ）231x x x >>
5.一个盒中红、白、黑三种球分别有x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球的
13
，白球与黑球的个数之和至少为55，使用不等式将题中的不等关系表示出来（,,x y z ∈N *
）. 6．有如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a 、b 的不等式表示出来.
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9g 、4g 、3g ，乙种饮料用用奶粉、咖啡、糖分别为4g 、5g 、5g ，已知每天使用原料为奶粉3600g 、咖啡2000g 、糖3000g .写出满足上述所有不等关系的不等式.
8.比较()()15x x ++与()2
3x +
9. 已知0x ≠，比较(
)
2
2
1x +与42
1x x ++的大小.
10.已知x >1，比较3
6x x +与2
6x +的大小.
1.某厂使用两种零件A 、B ，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2500件，月产乙最多1200件，而组装一件甲需要4个A 、2个B ；组装一件乙需要6个A 、8个B .某个月，该厂能用的A 最多有14000个，B 最多有12000个.用不等式将甲、乙两种产品产量的关系表示出来.。