陕西省渭南市2022届高三下学期二模文科数学试题(含答案解析)

陕西省渭南市2022届高三下学期二模文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．设集合()(){}
130M x x x =+-≤，142N x x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，则M
N =（ ）
A ．112x x ⎧⎫
-≤<⎨⎬⎩⎭
B ．132x x ⎧⎫
<≤⎨⎬⎩⎭
C ．{}34x x ≤<
D ．{}14x x -≤<
2．若i 1i z ⋅=+，则z 的虚部为（ ） A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
3．设x 、y 都是实数，则“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．如图所示的茎叶图记录了甲､乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是( )
A ．乙销售数据的极差为24
B ．甲销售数据的众数为93
C ．乙销售数据的均值比甲大
D ．甲销售数据的中位数为92
5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知35S =，921S =，则6S =（ ） A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
6．随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外.现有3个完全相同的“雪容融”.甲､乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为( ) A ．0.2
B ．0.25
C ．0.3
D ．0.5
7．已知()0,απ∈，1
sin cos 5αα-=，则22
5sin cos tan 2cos sin ααααα+=-（ ） A ．
36
7
B ．12
C ．－12
D ．367
-
8．搭载神州十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，精准点火发射后约582秒，进入预定轨道，发射取得圆满成功．据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：m/s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭的质量m （除燃料
外，单位：kg ）的函数关系是2000ln 1M v m ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭．当火箭的最大速度为11.5km/s 时，
M
m
约等于（ ）（参考数据： 5.75e 314≈） A ．313 B ．314 C ．312 D ．311
9．已如A ，B ，C 是表面积为16π的球O 的球面上的三个点，且1AC AB ==，30ABC ∠=︒，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）
A ．
112
B
C ．14
D
10．已知函数()e e e
x
x x f x -=+，若()()3lg log 10f a =，则()()lg lg3f =（ ）
A ．1e a -
B ．31a -
C ．13e a -
D ．1a -
11．过双曲线()22
2210y x b a a b
-=>>的下焦点()()0,0F c c ->作圆222x y a +=的切线，
切点为E ，延长FE 交抛物线24x cy =于点P ，O 为坐标原点，若()
1
2
OE OF OP =+，
则双曲线的离心率为（ ） A
B
C
D
12．设实数0λ>，对任意的1x >，不等式n e l x x λλ≥恒成立，则λ的最小值为（ ） A ．e B ．
12e C ．1e
D ．2e
二、填空题
13．若实数x ，y 满足约束条件4,2,1,x y x y y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最大值为______．
14．设向量a ，b 满足2a =，1b =，a 与b 的夹角为60°，则2a b +=___________． 15．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
π时，函数()f x 的值域为___________.
16．已知()f x 为R 上的可导的偶函数，且满足()()11f x f x -=-+，则()y f
x =在
2022x =处的切线斜率为___________. 三、解答题
17．在递增的等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若2241
5
S S S =+，11a =.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若321log n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”.某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：
(1)若从年龄在[)60,70的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人中恰有一人打算购买冰墩墩的概率；
(2)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的22⨯列联表，并判断是否有
99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？
参考数据：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
19．如图，已知直三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，
D ，
E ，
F 分别为AC ，BC ，1B B 的中点，111C F A B ⊥，
G 为线段DE 上一动点.
(1)证明：11
C F AG ⊥； (2)求几何体111A B C DEC -的体积.
20．已知函数()()()1
1ln 0
1f x a x ax a x
=++
-<<．
(1)求()f x 的单调区间；
(2)若()f x 存在极大值M 和极小值N ，证明：1M N a +>-．
21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若动点P 0(x ,0y )为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
22．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为325
455x t y t
⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为
24
cos 12ρρθ+=．
(1)求圆C 的直角坐标方程，并指出圆心坐标和半径；
(2)设点M 的直角坐标为(2,5)-，直线l 与圆C 的交点为A ，B ，求
22
MA MB MA MB ⋅+⋅的值． 23．设函数()124f x x x =+--．
(1)求不等式()23f x x ≥-的解集．
(2)若()f x 的最大值为222a b c ++，证明：3ab bc ca ++≤．
参考答案：
1．B 【解析】 【分析】
根据解一元二次不等式的方法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】
因为()(){}
130M x x x =+-≤{}13x x =-≤≤，142N x x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，
所以M N =132x x ⎧⎫
<≤⎨⎬⎩⎭
，
故选：B 2．D
【解析】 【分析】
由i 1i z ⋅=+求出复数z ，从而可求出其虚部. 【详解】 由i 1i z ⋅=+得1i
1i i
z +==-，故z 的虚部为1-， 故选：D. 3．A 【解析】 【分析】
由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案. 【详解】
由2x >且3y >，必有5x y +>且6xy >，
当5x y +>且6xy >时，如1,7x y ==不满足2x >，故不一定有2x >且3y >. 所以“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的充分不必要条件. 故选：A 4．D 【解析】 【分析】
根据茎叶图中数据逐项分析即可判断. 【详解】
乙销售数据的极差是112－88＝24，故A 正确； 甲销售数据的众数为93，故B 正确；
甲销售数据的均值为(80×3＋90×5＋100×2＋7＋6＋4＋9＋8＋3＋3＋1＋6＋3)×
1
10＝94， 乙销售数据的均值为(80＋90×4＋100×4＋110＋8＋5＋7＋8＋8＋1＋2＋3＋6＋2)×110
＝100，∴乙销售数据的均值比甲大，故C 正确； 甲销售数据的中位数为93，故D 错误. 故选：D. 5．A 【解析】 【分析】
先由35S =，921S =求出首项和公差，再按照前n 项和公式计算即可. 【详解】
设公差为d ，3191
32352
989212S a d S a d ⨯⎧
=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得113929a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，61656122S a d ⨯=+
=. 故选：A. 6．C 【解析】 【分析】
采用枚举法即可求解. 【详解】
将两位运动员编号为A 、B ，将3个“雪容融”编号为X ，将运动员和雪容融随机排成一排，可以是：
ABXXX ，XABXX ，XXABX ，XXXAB ， BAXXX ，XBAXX ，XXBAX ，XXXBA ，
AXBXX ，BXAXX ，XAXBX ，XBXAX ，XXAXB ，XXBXA ， AXXBX ，BXXAX ，XAXXB ，XBXXA ，
AXXXB ，BXXXA ，
共20种排法，其中3个“雪容融”连在一起共有6种. 故概率为6
0.320
=. 故选：C. 7．C 【解析】 【分析】
先求出sin ,cos αα和tan α，利用二倍角公式求出tan2α，直接代入即可求解. 【详解】
因为()0,απ∈，1
sin cos 5
αα-=，22sin cos 1αα+=
解得：43
sin ,cos 55αα==，所以4tan 3α=.
所以22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯
===--⎛⎫
- ⎪⎝⎭
. 所以22224355sin cos 2455tan 212
cos sin 73455ααααα⨯⨯
+=-+
=--⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：C 8．A 【解析】 【分析】
先将火箭的最大速度化为11500m /s ，然后代入给出的表达式中，即可求出答案. 【详解】
火箭的最大速度为11.5km/s,即11.5100011500m/s v =⨯= 所以115002000ln 1M m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以11500115
ln 1 5.752000
20M
m ⎛⎫+
=
== ⎪⎝
⎭ 即 5.75e 13141313M
m
=-=-= 故选：A 9．C 【解析】
【分析】
设球的半径为R ，ABC 外接圆的半径为r ，根据题意求出,r R ，再根据球心O 到ABC 的
距离d =O ABC -的高，从而可得出答案. 【详解】
解：设球的半径为R ，ABC 外接圆的半径为r ，
在ABC 中，由1AC AB ==，30ABC ∠=︒，则120BAC ∠=︒ 得22sin AC
r ABC
=
=∠，所以1r =，
因为球O 的表面积为16π， 则2416R ππ=，解得2R =，
所以球心O 到ABC 的距离
d 即三棱锥O ABC -
1sin 2ABC
S
AB AC BAC =
⋅⋅∠=
所以三棱锥O ABC -的体积11
34
O ABC V -=.
故选：C. 10．D 【解析】 【分析】
先得到()()1f x f x -+=，进而由()()3lg log 10lg lg3=-得到答案. 【详解】
()e e e x x x f x -=+定义域为R ，且()()e e 1e e e e
x x
x x x x f x f x ----+=+=++，又
()()3lg log 10lg lg3=-，所以()()()()3lg lg3lg log 101f f +=，所以()()lg lg31f a =-.
故选：D 11．D 【解析】 【分析】
先设双曲线的上焦点为F '，则F '()0c ，，因为抛物线为24x cy =，所以'F 为抛物线的焦点，O 为FF '的中点，又可得E 为FP 的中点，所以OE 为PFF '的中位线，得到
2PF b =，再设()00P x y ，，由1
2
OP FF c '==
=得出关于a ，c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】
设双曲线的上焦点为F '，则F '()0c ，
抛物线为24x cy =，F '∴为抛物线的焦点，O 为'FF 的中点， ()
1
2
OE OF OP =
+，则E 为FP 的中点，又O 为'FF 的中点，则OE 为'PFF △的中位线． //OE PF '∴．OE a =，2PF a '∴=．
PF 切圆O 于E ，OE PF ∴⊥．PF PF '∴⊥．
设()00P x y ，，则02PF y c a '=+=，02y a c ∴=-．
由点()00P x y ，在抛物线24x cy =上，则()2
00442x cy c a c ==-
在直角'PFF △中，1
2
OP FF c '=
=
= 即()()2
2422c c a c a c -=-+，整理得220c ca a --=
即2e e 10--=，又e>1，所以e = 故选：D ．
12．C 【解析】 【分析】
由题设有ln e e ln x x x x λλ⋅⋅≥，构造()e t f t t =⋅并利用导数研究单调性即可得(1,)x ∈+∞上
ln x x
λ≥
恒成立，再构造ln ()x
g x x =，(1,)x ∈+∞并应用导数求最值，即可得λ的最小值.
【详解】
由题设，ln ln e ln e x x x x x x λλ≥=⋅⋅，令()e t f t t =⋅，则在()(1)e 0t f t t '=+⋅>， 所以()f t 单调递增，又()(ln )f x f x λ>，即(1,)x ∈+∞上ln x x λ≥，即ln x
x
λ≥恒成立， 令ln ()x g x x
=
，(1,)x ∈+∞，则21ln ()x
g x x -'=，
所以，(1,e)上()0g x '>，则()g x 递增；(e,)+∞上()0g x '<，则()g x 递减； 则1()(e)e g x g ≤=，故1
e
λ≥.
故选：C 【点睛】
关键点点睛：根据同构形式结合导数研究()e t f t t =⋅的单调性，进而将问题转化为
(1,)x ∈+∞上ln x
x
λ≥恒成立，再次构造函数求最值，确定参数范围. 13．3 【解析】 【分析】
由题意2z x y =-，即22x z y =-，要使得2z x y =-最大，即直线22
x z y =-与可行域相交，且截距最小，数形结合即得解 【详解】
由题意2z x y =-，即2
2
x z y =-，要使得2z x y =-最大，即直线2
2
x z y =-与可行域相交，且截距最小，画出可行域如图所示：
如图所示，当直线22
x z y =-经过1y =与4x y -=的交点(5,1)A 时，截距最小 即2z x y =-最大，故2z x y =-的最大值为523z =-= 故答案为：3
14．【解析】 【分析】
把模平方转化为数量积的运算求解． 【详解】
222
22(2)444421cos 60412a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=， 所以223a b +=．
故答案为：
15．⎡-⎢⎣⎦
【解析】 【分析】
先根据图像求出函数()f x 的解析式，再结合,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
π求值域即可.
【详解】 由
22,,22362T T T
=-====πππππω，()()sin 2ϕ=+f x A x ，由()06f π=，
()sin 063f A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
ππϕ，又ϕπ<，解得3π
ϕ=-或23π，又(0)1f =(0)sin 1f A ϕ==，
0A >，故23ϕπ=
，A =2()23f x x ⎛⎫=
+ ⎪⎝
⎭
π，,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦π时，222,333x ⎡⎤+
∈-⎢⎥⎣⎦πππ，当2233
x +=-ππ时，取得最小值1-，当2232x ππ
+=时，取得最大值
，故值域为⎡-⎢⎣⎦.
故答案为：⎡-⎢⎣⎦.
16．0
【解析】 【分析】
由题设可得()f x 的周期为4，结合()f x 为R 上的可导的偶函数有(0)0f '=，利用周期性及
()(2)f x f x ''=-+求(2022)f '，即可得切线斜率. 【详解】
由题设，()(2)f x f x =-+，则(2)(4)f x f x +=-+，即()(4)f x f x =+， 所以()f x 的周期为4，又()f x 为R 上的可导的偶函数，即(0)0f '=， 而()(2)f x f x ''=-+，故(0)(2)0f f ''=-=，即(2)0f '=， 且()(4)f x f x ''=+，故()()()20224505220f f f =⨯+'='='. 故答案为：0 【点睛】
关键点点睛：由可导偶函数有(0)0f '=，结合周期性和递推关系求切线斜率即可. 17．(1)12
3
n n a -=
(2)(1)
2
n n n T -=
【解析】 【分析】 小问1：由2241
5
S S S =+得424S S =，化为()34123a a a a +=+，从而求得公比，即可求通项公
式；
小问2：利用{}n a 的通项公式求得1n b n =-，根据等差求和公式即可求解． (1)
设等比数列{}n a 的公比为q ，由
2241
5
S S S =+得424S S =．
∴()34123a a a a +=+，即()()2
12123a a q a a +⋅=+，∴23q =.
依题意，可知q =
∴112
13n n n a a q --=⋅=．
(2)
由（1）可得1
213n n a --=，∴321log 1n n b a n -==-，
故(1)
01212
n n n T n -=+++
+-=
．
18．(1)4
7
；
(2)22⨯列联表见解析，有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关. 【解析】 【分析】
（1）运用列举法结合古典概型运算公式进行求解即可；
（2）根据表中数据直接完成22⨯列联表，结合题中所给的公式进行计算、表中所给的数据进行判断即可. (1)
因为年龄在[)60,70之间抽取的人数为7，有意向购买的人数为4，
为7人编号为1，2，3，4，5，6，7，其中有意向购买的人的编号为1，2，3，4， 从7人中抽取2人的所有基本事件为：
()()()()()()()()()()()()()()12
1,3,1,4,1,5,161,7,2,3,2,4,2,5,2,6,2,7,3,4,3,5,3,6,,,,, ()()()()()()()3,7,4,5,4,6,4,7,5,6,5,7,6,7，共21种，
其中两人中恰有一人打算购买冰墩墩的基本事件有12种， 故所求概率为：124
217
=. (2)
由调查表可得：
()()()()()
2
22
100(5020255)16.510.82875255545n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，
所以有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关. 19．(1)见解析；
(2)73
【解析】 【分析】
（1）连接1B E ，先证1C F ⊥面11A DEB ，再证11
C F AG ⊥； （2）将几何体111A B C DEC -分为三棱锥1C DCE -和四棱锥111C B A DE -，分别计算体积求和. (1)
连接1B E ，由直三棱柱111A B C ABC -，11AA B B 为正方形，2AB BC ==，可得11CC B B 为正方形，又E ，F 分别为BC ，1B B 的中点，11111,B BE C B F C F B E ∴≅⊥，又111C F A B ⊥，1111A B B E B ⋂=，1C F ∴⊥面11A DEB ，又
1AG ⊆面11A DEB ，11
C F AG ∴⊥. (2)
设11,C F B E 交点为M ，连接1111,,,A D C D B E C E ，11AA B B 为正方形，111A B BB ∴⊥，又
111C F A B ⊥，11C F BB F ⋂=，11A B ∴⊥面11BB C C ，又111,B C B E ⊆面11BB C C ，1111111,A B B C A B B E ∴⊥⊥，可得
1111111,122
AC CE CB C F B E DE AB ==
=====，
111
11
1
B C B F
B M
C M
C F
⋅
====
111111111
11
11
33
A B C DEC C DEC C B A E
D B
E C E D
D A
V V V C C S C M S
---
∴=+=⋅⋅+⋅
⋅
(
)
11117
21121
32323
=⨯⨯⨯⨯+⨯+.
20．(1)()
f x的单调递增区间为
1
1,
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，单调递减区间为()
0,1，
1
,
a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求定义域，进而求导，利用导函数的正负求单调区间；（2）结合第一问求出极大值M和极小值N，构造函数，通过二次求导求其最值，证明出结论.
(1)
()
f x的定义域为()
0,∞
+，()
()()
22
11
11x ax
a
f x a
x x x
--
+
'=--=，
令()0
f x
'=，得1
x=或
1
x
a
=，
因为01
a
<<，所以
1
1
a
>，
当01
x
<<时，()0
f x
'<，()
f x单调递减，当
1
1x
a
<<时，()0
f x>，()
f x单调递增，
当
1
x
a
>时，()0
f x
'<，()
f x单调递减，
综上，()
f x的单调递增区间为
1
1,
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，单调递减区间为()
0,1，
1
,
a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
．
(2)
由（1）知：()
1
1ln1
M f a a a
a
==
⎛⎫
⎪
⎭
-+
⎝
+-，()11
N f a
==-，
则()1ln
M N a a a a
+-=-+-，设()()1ln
g a a a a
=-+-，
()1
ln2
g a a
a
'=---，令()1
ln2
h a a
a
=---，
()
22
111a
h a
a a a
-
'=-=，
当01
a
<<时，()0
h a
'>，所以()
h a单调递增，又()()130
g a g
''
<=-<
所以()
g a在()
0,1上单调递减，
所以()()11g a g >=-，即1M N a +->-， 所以1M N a +>-． 21．(1)2
214
x y +=；
(2)225x y +=. 【解析】 【分析】
（1
）由焦点坐标可得c a 、b ，即可得椭圆C 的标准方程；
（2）当切线不与坐标轴垂直，设切线为00y kx kx y =-+联立椭圆方程，根据0∆=得到关于k 的一元二次方程，再由切线的垂直关系及韦达定理121k k =-，即可得轨迹方程，然后注意判断切线与坐标轴垂直时是否符合所得轨迹方程即可. (1)
由题设，椭圆参数c =
c e a =
2a =， 所以2
2
2
1b a c =-=，故椭圆C 的标准方程：2
214
x y +=.
(2)
∴当切线不与坐标轴垂直时，切线为00()y y k x x -=-，则00y kx kx y =-+， 代入椭圆C 整理得：2220000(14)8()4()40k x k y kx x y kx ++-+--=，
所以2222000064()16(14)[()1]0k y kx k y kx ∆=--+--=，整理得22
0041()0k y kx +--=，
所以222
0000(4)210x k x y k y -++-=，若两条切线斜率分别为12,k k ，
又P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，即2
0122
114y k k x -==--，故22
005x y +=； ∴当切线与坐标轴垂直时(2,1)P ±±，也满足220
05x y +=； 综上，P 的轨迹方程为22
5x y +=.
【点睛】
关键点点睛：第二问，讨论切线是否与坐标轴垂直，设切线方程(斜率为参数)并联立椭圆，根据相切关系有0∆=，进而得到关于参数的一元二次方程，最后由切线的垂直关系及
韦达定理列方程求轨迹.
22．(1)22(2)16x y ++=，圆C 的圆心坐标为(2,0)-，半径为4． (2)72 【解析】 【分析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解；
（2）直线的参数方程和圆C 的普通方程联立，利用韦达定理表示
()2
2
MA MB MA MB MA MB MA MB ⋅+⋅=⋅+，即可求解.
(1)
由24cos 12ρρθ+=，得2222 cos sin 4cos 12ρθρθρθ++=，
即224120x y x ++-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)16x y ++=， 圆C 的圆心坐标为(2,0)-，半径为4． (2)
将直线l 的参数方程代入22(2)16x y ++=，得2890t t ++=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则128t t +=-，129t t =， 所以()2
2
MA MB MA MB MA MB MA MB ⋅+⋅=⋅+
()()1212121272t t t t t t t t =--=-+=．
23．(1)(]8,20,3⎡⎤
-∞-⋃⎢⎥⎣⎦
；
(2)证明见解析. 【解析】 【分析】
()1分类讨论去绝对值，并解不等式即可；
()2求出函数的最大值()()max 23f x f ==，进而利用基本不等式求证即可.
(1)
解：当1x ≤-时，原不等式等价于()12423x x x -++-≥-，解得2x -≤； 当12x -<<时，原不等式等价于12423x x x ++-≥-，解得02x ≤<；
当2x ≥时，原不等式等价于()12423x x x +--≥-，解得823
x ≤≤． 综上所述，原不等式的解集是(]8,20,3⎡⎤
-∞-⋃⎢⎥⎣⎦
．
(2)
解：证明：因为()5,133,125,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪
=--<<⎨⎪-+≥⎩，所以()()max 23f x f ==，
则2223a b c ++=．
因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥
所以()()222
22a b c ab bc ca ++≥++，即3ab bc ca ++≤，
当且仅当1a b c ===±时，等号成立，故3ab bc ca ++≤．。