中考数学复习考点知识与题型专题讲义15---二次函数的最值(基础篇)

中考数学复习考点知识与题型专题讲义
15 二次函数的最值（基础）
1．已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；
（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．
【分析】（1）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据m+n＝0，可以解答本题；
（2）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据mn＝2，记M为m，n中的最大者，可以求得M的最小值．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分别为m、n，
∴y1+y2≥m+n，
∵m+n＝0，
∴y1+y2≥0；
（2））∵y1＝ax2+4x+b＝a（x+2
a）
2+ab−4
a，
∴m=ab−4 a，
∵y2＝bx2+4x+a＝b（x+2
b）
2+ab−4
b，
∴n=ab−4 b，
∵mn＝2，m，n均大于0，
∴ab−4
a
•
ab−4
b
=2，
解得，ab＝2（舍去）或ab＝8，
∴{m =4a n =4b ， ∴m =4a ，n =a 2，
∵M 为m ，n 中的最大者，
∴当0＜a ＜2√2时，M =4a ＞√2，
当a ＝2√2时，M =√2，
当a ＞2√2时，M =a 2
由上可得，M 的最小值是√2．
【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是明确题意，可以将函数的一般式化为顶点式，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答问题．
2．若一次函数y ＝（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2﹣ax 有最大值还是最小值，并求出其最值．
【分析】先根据一次函数的性质得到a +1＞0且a ＜0，则﹣1＜a ＜0，再利用配方法得到y ＝ax 2﹣ax ＝a （x −12）2−14a ，然后利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：∵一次函数y ＝（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，
∴a +1＞0且a ＜0，
∴﹣1＜a ＜0，
∵y ＝ax 2﹣ax ＝a （x 2﹣x ）＝a （x 2﹣x +14−14）＝a （x −12）2−14a ，
而a ＜0，
∴二次函数有最大值，最大值为−14a ．
【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．也考查了一次函数的性质．
3．若函数f(x)=−12x 2+133
当a ≤x ≤b 时的最小值为2a ，最大值为2b ，求a 、b 的值． 【分析】根据二次函数的增减性以及当a ＜b ≤0时，当a ≤0＜b 时，若0＜a ＜b 时分别得出a ，b 的值即可．
【解答】解：函数f(x)=−12x 2+133的顶点是（0，133），对称轴是y 轴，最大值为133
，如右图， （1）当a ＜b ≤0时，x ＝a 时有最小值2a ，x ＝b 时有最大值2b ，于是
−12a 2+
133=2a ， −12b 2+133=2b ，
可知a 、b 是方程−12x 2+133=2x 的两个根，
即3x 2+12x ﹣26＝0，由于△＞0，x 1x 2=−263，
此方程有一正一负两个根，这与a ＜b ≤0矛盾，故此情况舍去；
（2）当a ≤0＜b 时，x ＝0时有最大值
133=2b ， 解得b =136，
x ＝b 时有最小值2a ，
即−12×（136）2+133=14372
＞0，而2a ≤0，矛盾， 所以只能是x ＝a 时取最小值，
（−12）a 2+133
=2a ， 3a 2+12a ﹣26＝0 a =
−6−√1143＜0，符合条件，
（3）若0＜a ＜b ，显然有 （−12）a 2+133=2b ①，
−12b 2+133=2a ②，
①﹣②得：（−12）（a ﹣b ）（a +b ）＝2（b ﹣a ），
则a+b＝4，
b＝4﹣a，代入①得：（−1
2）a
2+13
3
=2（4﹣a），
3a2﹣12a+22＝0，
∵△＜0，
∴此方程无实数根，故此情况舍去．
故有一组解符合要求：a=−6−√114
3，b=
13
6．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法，根据自变量的取值范围分别将a，b代入求出是解题关键．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），且当x＝﹣1时，y有最小值y＝﹣2．（1）求这个函数的关系式；
（2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上．
【分析】二次函数得最小值出现于对称轴处．因此本题利用二次函数得基本性质便可解题．
【解答】解：（1）由题意得，对称轴x=−b
2a
=−1，代入函数得y＝a﹣b+c＝﹣2
将点（1，2）代入函数得a+b+c＝2，解得a＝1，b＝2，c＝﹣1 ∴解析式为y＝x2+2x﹣1
（2）当x＝3时，y＝14
∴（3，14）在此函数图象上
【点评】本题主要考察二次函数得基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B，A重合的情况），运动速度为2cm/s，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x（s），AE的长为y（cm）．
（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
【分析】（1）由平行线得△ABC∽△ADE，根据相似形的性质得关系式；
（2）由S=1
2•BD•AE；得到函数解析式，然后运用函数性质求解．
【解答】解：（1）动点D运动x秒后，BD＝2x．又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．
∵DE∥BC，
∴AD
AB
=
AE
AC
，
∴AE=6(8−2x)
8
=6−32x，
∴y关于x的函数关系式为y=−3
2
x+6（0＜x＜4）．
（2）解：S△BDE=1
2
⋅BD⋅AE=12×2x(−32x+6)=−32x2+6x（0＜x＜4）．
当x=−
6
2×(−32)
=2时，S△BDE最大，最大值为6cm2．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．
6．已知二次函数y＝一x2+4x+6．
（1）当x 为何值时，y 有最值？是多少？
（2）当一2≤x ≤1时，求函数的最值．
（3）当x ≥4时．求函数的最值．
【分析】（1）将函数解析式配方成顶点式后，根据二次函数的性质即可得；
（2）由x ＜2时，y 随x 的增大而增大，结合x 的范围求解可得；
（3）由x ＞2时，y 随x 的增大而减小，结合x 的范围求解可得．
【解答】解：（1）∵y ＝﹣x 2+4x +6＝﹣（x 2﹣4x +4﹣4）+6＝﹣（x ﹣2）2+10，
∴当x ＝2时，y 有最大值，最大值为10；
（2）∵当x ＜2时，y 随x 的增大而增大，
∴由﹣2≤x ≤1知，当x ＝﹣2时，y 取得最小值，最小值y ＝﹣4﹣8+6＝﹣6，
当x ＝1时，y 取得最大值，最大值y ＝﹣1+4+6＝9；
（3）∵当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，
∴在x ≥4范围内，当x ＝4时，函数取得最大值，最大值y ＝﹣16+16+6＝6，无最小值．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练将二次函数的一般式配方成顶点式及二次函数的性质．
7．对于二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c ，当a ＞0时，只有最小值为4ac−b 24a ，这个结论一定正确吗？
【分析】直接利用配方法求出二次函数的顶点式，即可求得出二次函数的顶点坐标，根据二次函数的性质求得出二次函数的最小值．
【解答】解：对于二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c ，当a ＞0时，只有最小值为
4ac−b 24a ，这个结论一
定正确；
∵二次函数f （x ）＝ax 2﹣bx +c
＝a （x −b 2a ）2+4ac−b 24a ； ∴图象的顶点坐标为：（
b 2a ，4ac−b 24a ）， ∵a ＞0，
∴函数的最小值为：4ac−b 24a ．
【点评】此题主要考查了求二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
8．求函数y =3x 2+x+2x 2+2x+1
的最小值． 【分析】将函数整理成关于x 的一元二次方程，然后利用根的判别式列出不等式求解即可．
【解答】解：∵y =3x 2+x+2x 2+2x+1
， ∴y （x 2+2x +1）＝3x 2+x +2，
整理得，（y ﹣3）x 2+（2y ﹣1）x +（y ﹣2）＝0，
∵关于x 的一元二次方程有解，
∴△＝b 2﹣4ac ＝（2y ﹣1）2﹣4（y ﹣3）（y ﹣2）≥0，
整理得，16y ﹣24≥0，
解得y ≤32
，
所以，函数的最小值为32． 【点评】本题考查了二次函数的最值，题目难度较大，将函数整理成关于x 的一元二次方程并考虑利用根的判别式求解是解题的关键．
9．已知：二次函数y ＝﹣x 2+2（α+1）x +1，其中a 为常数．
（1）若y 的最大值为2，求a 的值；
（2）求y ＝﹣x 2+2（a +1）x +1在0≤x ≤|a |时的最小值；
（3）若方程|﹣x 2+2（a +1）x +1|＝2﹣x 的正实数根只有一个，求a 的取值范围．
【分析】（1）把y＝﹣x2+2（α+1）x+1配方即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据题意得到即该方程的一次项的系数为0，判别式△≥0且二次项的系数与常数项的符号相反．解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2（α+1）x+1＝﹣[x﹣（a+1）]2+a2+2a+2，
∵y的最大值为2，
∴a2+2a+2＝2
解得：a＝0或a＝﹣2
即y的最大值为2时，a的值为0或﹣2；
（2）∵二次函数y＝﹣x2+2（α+1）x+1＝﹣[x﹣（a+1）]2+（a+1）2+1的图象开口向下，对称轴x ＝a+1，
当|a|≤a+1时，解得a≥−1 2
当a＞−1
2时，0≤x≤|a|时，函数值随x的增大而增大，
故：函数y＝﹣x2+2（a+1）x+1的最小值为：y min═﹣[0﹣（a+1）]2+（a+1）2+1＝1，
当a＜−1
2时，0≤x≤|a|时，函数值随x的增大而减小，x＝|a|时，有最小值，
最小值＝﹣a2﹣2a（a+1）+1＝﹣3a2﹣2a+1．
（3）∵方程|﹣x2+2（a+1）x+1|＝2﹣x的正实数根只有一个，判别式△≥0且二次项的系数与常数项的符号相反．
∴当方程﹣x2+2（a+1）x+1＝2﹣x时，
有：x2﹣（2a+3）x+1＝0，而此时二次项的系数与常数项的符号相同，不符合题意，舍去．
∴当方程为：﹣x 2+2（a +1）x +1＝x ﹣2时，化简整理得：x 2﹣（2a +1）x ﹣3＝0，
∵△＝[﹣（2a +1）]2﹣4×（﹣3）＝4a 2+4a +13＝（2a +1）2+12＞0，
∴a 的取值范围为任意实数．
【点评】本题考查了二次函数的最值，二次方程的判别式，正确的理解题意是解题的关键．
10．已知函数y =k 2x k 2﹣2是关于x 的二次函数
（1）求满足条件的k 的值；
（2）k 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？
【分析】（1）根据二次函数的指数是二，可得方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据函数有最大值，可得二次项系数是负数，根据顶点坐标是函数的最值，可得答案；根据a ＜0时，对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，可得答案．
【解答】解：（1）函数y =k 2x k 2
﹣2是关于x 的二次函数，得
{k 2−2=2k 2≠0， 解得k ＝2或k ＝﹣2；
（2）当k ＝﹣2时，函数y ＝﹣x 2有最大值，最大值是0；
∴此时函数y =k 2x k 2﹣2是开口向下的，对称轴为x ＝0；
∴当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．
【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出k 值是解题关键，又利用了二次函数的性质．
11．如图．抛物线y ＝ax 2+bx +52与直线AB 交于点A （﹣1，0），B （4，52），点D 是抛物线上位于直线AB 上方的一点（不与点A ，B 重合），连接AD ，BD ．
（1）求抛物线的解析；
（2）设△ADB 的面为S ，求出当S 取最大值时的点D 的坐标．
【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入抛物线解析式即可．
（2）设点D 坐标为（m ，−12m 2+2m +52），直线DC ⊥x 轴，与AB 交于点C ，根据S △ABD ＝S △ACD +S △BCD 构建二次函数，利用二次函数的最值问题解决．
【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +52经过点A （﹣1，0），B （4，52），
∴{a −b +52=016a +4b +52=52解得{a =−12b =2， ∴抛物线解析式为y =−12x 2+2x +52．
（2）设点D 坐标为（m ，−12m 2+2m +52），直线DC ⊥x 轴，与AB 交于点C ， ∵直线AB 解析式为y =12x +12，
∴点C 坐标（m ，12m +12
）， ∵S △ABD ＝S △ACD +S △BCD =12（−12m 2+2m +52−12m −12）×（4+1）=−54（m 2﹣3m ﹣4）=−54（m −32）
2+12516，
∴当m =32时，△ADB 面积最大，此时点D 坐标（3
2，358）．
【点评】本题考查二次函数的最值、一次函数等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD＝12，当AC，BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大？
【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出S=1
2AC•BD，再利用配方法求出二次函
数最值．
【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝12﹣x，
则：S=1
2AC•BD=
1
2x（12﹣x）=−
1
2（x﹣6）
2+18，
当x＝6时，S最大＝18；
所以AC＝BD＝6时，四边形ABCD的面积最大．
【点评】此题主要考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．
13．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．
【分析】（1）由已知可得，AB＝BC＝CD＝AD＝4，CE＝x，由图形得出y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S △ADF
﹣S△CEF，便可求出x与y的关系式．
（2）化成顶点式即可求得结论．
【解答】解：（1）∵BC＝DC，CE＝CF，
∴BE＝DF＝x，
∴y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，
∴y＝42−1
2
×4×（4﹣x）−12×4×（4﹣x）−12⋅x2
∴y=−1
2
x2+4x（0≤x≤4）．
（2）∵y=−1
2
x2+4x=−12（x﹣4）2+8，
∴当x＝4时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积是8．
【点评】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质，三角形的面积，正确求得函数的解析式是解题的关键．
14．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF（∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．
（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【分析】（1）解直角三角形ABC求得EF＝BC＝3，由题意可知CF＝x，可求AQ=√3
3
x，MN=12x，
根据三角形面积公式即可求出结论；
（2）根据“S重叠＝S△ABC﹣S△AMQ﹣S△BPF”列出函数关系式，通过配方求解即可．【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠E＝30°，
∴∠EQC＝∠AQM＝60°，
∴△AMQ为等边三角形，
过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．
在Rt△ABC中，AC=√3，BC=AC⋅tanA=3，
∴EF＝BC＝3，
根据题意可知CF＝x，
∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，CQ=CE⋅tanE=√3
3
(3−x)，
∴AQ=AC−CQ=√3−√3
3
(3−x)=√33x，
∴AM =AQ =√33x ，
而MN =AM ⋅sinA =12x ，
∴S △MAQ =12AQ ⋅MN =12×√33x ⋅12x =√312x 2，
（2）由（1）知BF ＝CE ＝3﹣x ，PF =BF ⋅tanB =√33(3−x)，
∴S 重叠=S △ABC −S △AMQ −S △BPF =12AC ⋅BC −12AQ ⋅MN −12BF ⋅PF
=12×3×√3−√312x 2−12（3﹣x ）×√33
（3﹣x ） =−√34x 2+√3x =−√34(x −2)2+√3，
所以当x ＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．如图，函数y ＝﹣x 2+12x +c （﹣2020≤x ≤1）的图象记为L 1，最大值为M 1；函数y ＝﹣x 2+2cx +1（1≤x ≤2020）的图象记为L 2，最大值为M 2．L 1的右端点为A ，L 2的左端点为B ，L 1，L 2合起来的图形记为L ．
（1）当c ＝1时，求M 1，M 2的值；
（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A ，B 重合时，求L 上“美点”的个数；
（3）若M 1，M 2的差为4716，直接写出c 的值．
【分析】（1）当c ＝1时，把函数的解析式化成顶点式即可求得M 1，M 2的值；
（2）由已知可得点A，B重合时，c−1
2
=2c，c=−12，L1上有1011个“美点”，L2上有2020个“美
点”．则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030；
（3）当x=1
4时，M1=
1
16
+c，由于L2的对称轴为x＝c，分两种情况求解：当c≥1时，M2＝c2+1；
当c＜1时，M2＝2c；再由已知列出等式即可求c的值．【解答】解：（1）当c＝1时，
函数y＝﹣x2+1
2x+c＝﹣x
2+1
2x+1＝﹣（x−
1
4）
2+17
16．
又∵﹣2020≤x≤1，
∴M1=17 16，
y＝﹣x2+2cx+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2．又∵1≤x≤2020，
∴M2＝2；
（2）当x＝1时，y＝﹣x2+1
2x+c＝c−
1
2；y＝﹣x
2+2cx+1＝2c．
若点A，B重合，则c−1
2
=2c，c=−12，
∴L1：y＝﹣x2+1
2x−
1
2（﹣2020≤x≤1）；
L2：y＝﹣x2﹣x+1（1≤x≤2020）．
在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，
则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．
（3）y＝﹣x2+1
2x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x=
1
4时，M1=
1
16
+c，
y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c，当c≥1时，M2＝c2+1，
∴|116+c ﹣c 2﹣1|=4716
， ∴c ＝﹣1（舍去）或c ＝2；
当c ＜1时，M 2＝2c ，
∴|2c −116−c |=4716
， ∴c ＝3（舍去）或c =−238；
∴c =−238
或2． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够根据函数所给的取值范围，通过适当的分类讨论，正确的求函数的最大值是解题的关键．
16．在矩形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，已知AB ＝a ，BC ＝b ．
（1）若b 3≤a ≤3b 时，求四边形EFGH 的面积的最大值； （2）若a ＝4，b ＝16，求四边形EFGH 的面积的最大值．
【分析】（1）由已知可证明△AEH ≌△CGF （SAS ），△BEF ≌△DGH （SAS ），则S 四EFGH ＝S 矩ABCD ﹣2S △AEH ﹣2S △BEF ＝﹣2x 2+（a +b ）x ，由二次函数的性质即可求面积最大值；
（2）将a ＝4，b ＝16代入（1）所得的式子即可．
【解答】解：（1）设AE ＝x ，
∵AE ＝AH ＝CF ＝CG ，
∴△AEH ≌△CGF （SAS ），
∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，
∴BE＝DG，HD＝BF，
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴S四EFGH＝S矩ABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF＝ab﹣2×1
2x
2﹣2×1
2（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣x
2﹣（ab﹣ax
﹣bx+x2）＝﹣2x2+（a+b）x，
当x=a+b
4时，S四EFGH有最大值，最大值为
(a+b)2
8
；
（2）当a＝4，b＝16时，四边形EFGH的面积＝﹣2x2+20x，
∴当x＝4时，四边形EFGH的面积的最大值为48．
【点评】本题考查矩形的性质；熟练掌握矩形的性质，通过三角形全等求面积，再由二次函数求面积的最大值是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一个点随之停止移动．
（1）P，Q两点出发几秒后，可使△PBQ的面积为8cm2．
（2）设P，Q两点同时出发移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2，请写出S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．
【分析】（1）由题意，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB＝6﹣t，BQ＝2t，根
据三角形面积的计算公式，S△PBQ=1
2BP×BQ，列出表达式，解答出即可；
（2）利用三角形面积公式表示S=1
2
×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，利用二次函数的性
质解题．
【解答】解：（1）设经过t秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
1
2
×（6﹣t）×2t＝8，
解得：t1＝2，t2＝4，
答：经过2或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）依题意，得S=1
2
×PB×BQ=12×（6﹣t）×2t＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．
【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意，列出相应的函数关系式，运用二次函数的性质解题．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，点P从点C开始沿CB向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从A开始沿AC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q同时从点C，A出发，试问：
（1）出发多少时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm？
（2）出发多少时间时，△PQC的面积为6cm2？
（3）△PQC面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？
【分析】（1）可设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm，根据勾股定理列出方程求解即可；
（2）可设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，根据三角形的面积公式列出方程求解即可；
（3）根据题意得到△PQC面积和时间t的关系式，根据关系式即可得到结论．
【解答】解：（1）设出发xs时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm，依题意有x2+（12﹣2x）2＝（2√17）2，
解得x1＝2，x2＝7.6（不合题意舍去）．
答：出发2s时间时，点P，Q之间的距离等于2√17cm；
（2）设出发ys时间时，△PQC的面积为6cm2，依题意有
1
2
y（12﹣2y）＝6，
解得y1＝3−√3，y2＝3+√3．
答：出发（3−√3）s或（3+√3）s时间时，△PQC的面积为6cm2；
（3）依题意有S△PQC=1
2t（12﹣2t）＝﹣（t﹣3）
2+9，
∵﹣1＜0，
∴△PQC面积的有最大值9，此时时间是3．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
19．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为y p，求y p的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）把x＝﹣2代入解析式得到P点的纵坐标y P＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，即可得到当m＝﹣2时，y P的最小值＝﹣2，然后根据二次函数的性质即可判断y1与y2的大小．
【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2＝1+2m+m2﹣2，
∴m＝﹣1，
∴抛物线F的表达式是y＝x2+2x﹣1．
（2）当x＝﹣2时，y P＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，
∴当m＝﹣2时，y P的最小值＝﹣2．
此时抛物线F的表达式是y＝（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小．
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，其中a＞0，过点A，B分别作y轴的平行线，交抛物线y＝x2﹣4x+8于点C，D．
（1）若AD＝BC，求a的值；
（2）点E是抛物线上的一点，求△ABE面积的最小值．
【分析】（1）将已知点的坐标代入相应的函数解析式，再结合AD＝BC，可得关于a的方程，解得a的值即可；
（2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，由题意可得M（m，m），从而可用含m的式子表示出EM的长，根据二次函数的性质及三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：（1）∵点A，B是一次函数y＝x图象上两点，它们的横坐标分别为a，a+3，
∴A（a，a），B（a+3，a+3）．
y＝x2﹣4x+8
＝（x﹣2）2+4，
将x＝a，代入得：y＝（a﹣2）2+4；
将x＝a+3，代入得：y＝（a+1）2+4．
∴D（a，（a﹣2）2+4），C（a+3，（a+1）2+4），
∴AD＝（a﹣2）2+4﹣a，CB＝（a+1）2+4﹣（a+3）．
由AD＝BC得：（a﹣2）2+4﹣a＝（a+1）2+4﹣（a+3），
∴a＝1．
（2）设点E（m，m2﹣4m+8），过E作EM垂直于x轴交AB于点M，作BF⊥EM，AG⊥EM，垂足分别为F，G，
由题意得：M（m，m），
∴EM＝m2﹣4m+8﹣m＝m2﹣5m+8=(m−5
2
)2+74，
∴S△ABE＝S△AEM+S△EMB=1
2
EM⋅AG+12EM⋅BF=12EM(AG+BF)=32(m−52)2+218，
由3
2
＞0，得S△ABE有最小值．
∴当m=5
2时，S△ABE的最小值为
21
8
．
【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数与二次函数图象上的点与坐标的关系及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并数形结合是解题的关键．。