对数与对数函数

对数与对数函数 知识梳理
1、对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程x
a N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.
为a ＞0，a ≠1时，log x N a a N x =⇔= 【扩展】两类对数
① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .
② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .
以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，
即lg1002=.
说明：在例1中，10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为. 2、对数的运算法则
如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：
（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log a
a a M
M N N
=- （3）log log ()n a a M n M
n R =∈
3、画出函数2
log x
y =的图象, 再利用电脑软件画出0.5log .x y =的图象
42
-2
-4
-55
探究：选取底数(a a ＞0，且a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？
画出4log y x =，3log y x =，13
log y x =和14
log y x =
提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？
先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影) 图象的特征
函数的性质
（1）图象都在y 轴的右边 （1）定义域是（0，+∞） （2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0
（3）从左往右看，当a ＞1时，图象逐渐上升，当0＜a ＜1时，图象逐渐下降 .
（3）当a ＞1时，log x
a y =是增函数，当
0＜a ＜1时，log a y x =是减函数. （4）当a ＞1时，函数图象在（1，0）点
右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜a ＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .
（4）当a ＞1时
x ＞1，则log a x ＞0
0＜x ＜1，log a x ＜0 当0＜a ＜1时
x ＞1，则log a x ＜0
0＜x ＜1，log a x ＜0
由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：
a ＞1
0＜a ＜1
图
象
性 质
（1）定义域（0，+∞）； （2）值域R ； （3）过点（1，0），即当x =1，y =0； （4）在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）是上减函数
精讲精练
（1）对数运算的例题
【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）71
2128
-=； （2）327a =； （3）1100.1-=；
（4）12
log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.
【例2】求证：（1）log n a a n =； （2）log log log a a a M
M N N
-=.
【例3】试推导出换底公式：log log log c a c b
b a
= （0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）.
【例4】化简与求值：
（1）221
(lg 2)lg2lg5(lg 2)lg212++-+ ；
（2）2log (4747)++-.
【例5】若2510a b ==，则
11
a b
+= . （教材P 83 B 组2题） 【例6】 （1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；
（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .
【例7】（1）化简：532111
log 7log 7log 7++；
（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅= ，求实数m 的值.
（2）对数函数图象和性质的例题
【例1】比较大小：（1）0.9log 0.8，0.9log 0.7，0.8log 0.9； （2）3log 2，2log 3，41
log 3.
【例2】求下列函数的定义域：（1）2log (35)y x =-；（2）0.5log (4)3y x =-.
【例3】已知函数()log (3)a f x x =+的区间[2,1]--上总有|()|2f x <，求实数a 的取值范围.
【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.
【例5】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.
【例6】（05年山东卷.文2）下列大小关系正确的是（ ）. A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<
【例7】指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？
课堂作业
（1）对数幂的运算
1. 将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 .
（1）12
1
5
5
-=
（2）42
log x = （3）1327
x =
（4）1()644
x
= （5）lg0.0001x = （6）5
ln e x =
2．求log log log ,a b c b c N
a
⋅⋅∈+
的值(a,b,c R 且不等于1，N ＞0）.
3．计算3
3
1log log 5
5
33
+的值.
4、判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有
（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=-
（3）log log log a
a a x
x y y
=÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x
=- （7）1
log log n a a x x n
=
5. 用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.
（1）log a xy
z =____________; （2）23log 8
a x y =______________________;
（3）75log (42)z ⨯=______________; （4）5lg 100=_____________________; 6. 已知32a
=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）
A 、2a -
B 、52a -
C 、23(1)a a -+
D 、 2
3a a - 7、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则N
M
的值为（ ） A 、
4
1
B 、4
C 、1
D 、4或1 8、已知22
1,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x
+==-则等于（ ）
A 、m n +
B 、m n -
C 、()12m n +
D 、()1
2
m n -
9、如果方程2
lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++= 的两根是,αβ，则αβ 的值是（ ）
A 、lg5lg 7
B 、lg 35
C 、35
D 、
35
1 10、已知732log [log (log )]0x =，那么12
x -等于（ ）
A 、
13 B 、123 C 、122 D 、133
11. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。

12. 2
lg 25lg 2lg50(lg 2)++= 。

13. 设x ，y ，z ∈R +，且3x =4y =6z .
(1)求证：
y
x z 21
11=-; (2)比较3x ，4y ，6z 的大小.
（2）对数函数的图形和性质的练习
1．已知函数(2)x y f =的定义域为[-1，1]，则函数2(log )y f x =的定义域为 2．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A 、12
log (1)y x =+ B 、22
log 1y x =-
C 、2
1log y x = D 、2
1
2
log (45)y x x =-+ 3．已知log 7m ＜log 7n ＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1______________________ 4
．
已
知
＜
a
＜1, b ＞1, ab ＞1. 比较
1
l o g ,
l o g ,l o g a
a b b b
1
的大小b
________________________________ 5.已知()l o g x +1 (01)
a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（ ）
A 、在(),0-∞上是增加的
B 、在(),0-∞上是减少的
C 、在(),1-∞-上是增加的
D 、在(),0-∞上是减少的 6、函数2lg 11y x ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log 32x y x -=-的定义域是（ ） A 、()2,11,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ B 、()1,11,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭ C 、2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
8、函数212
log (617)y x x =-+的值域是（ ）
A 、R
B 、[)8,+∞
C 、(),3-∞-
D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）
A 、 1 m n >>
B 、1n m >>
C 、01n m <<<
D 、01m n <<< 10、2
log 13
a
<，则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B 、2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11、求函数22log (1)y x x =+≥的值域.
12、函数1010()1010
x x
x x
f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性。

课后作业
（1）对数幂的运算 【过关检测A 】
1．log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是（ ）. A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）.
A. 0
1ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与
C. 12
3log 9293==与 D. 17log 7177==与 3．设lg 525x =，则x 的值等于（ ）.
A. 10
B. 0.01
C. 100
D. 1000
4．设13
log 82
x =，则底数x 的值等于（ ）.
A. 2
B. 12
C. 4
D. 1
4
5．已知432log [log (log )]0x =，那么12
x -等于（ ）. A. 1
3 B. 123 C. 122
D. 133
6．若21
log 3x =，则x = ； 若log 32x =-，则x = .
7．计算：3log 81= ； 6lg 0.1= .
8．求下列各式的值：
（1）22
log 8=_____________________________________________________；
（2）9log 3=_____________________________________________________.
9．求下列各式中x 的取值范围：（1）1log (3)x x -+； （2）12log (32)x x -+.
10．（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.
（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.
【过关检测B 】 1．1log
n n
++（1n n ＋－
）等于（ ）. A. 1
B. －1
C. 2
D. －2
2．2
5log ()(5)a -（a ≠0）化简得结果是（ ）. A. －a
B. a 2
C. ｜a ｜
D. a
3．化简3lg 2lg 5log 1++的结果是（ ）.
A. 1
2 B. 1 C. 2 D.10
4．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）. A. 1 B. 2 C. 8 D. 12 5．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.
A .1 B. 3
2 C. 2 D.3
6．计算2(lg5)lg2lg50+⋅＝ .
7．若3a
＝2，则log 38－2log 36＝ .
8．（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值； （2）已知1414log 7log 5a b ==，
，用a 、b 表示35log 28.
9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(/)v m s 和燃料的质量()M kg 、火箭
（除燃料外）的质量()m kg 的关系是2000ln(1)M
v m =+. 当燃料质量是火箭质量的多少倍
时，火箭的最大速度可达到10/km s ？
10．（1）设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小.
（2）若a 、b 、c 都是正数，且至少有一个不为1，1x y z y z x z x y a b c a b c a b c ===，讨论x 、y 、z 所满足的关系式.
（2）对数函数图像及性质 【过关检测A 】
1．下列各式错误的是（ ）.
A. 0.80.733>
B. 0.10.10.750.75-<
C. 0..50..5log 0.4log 0.6>
D. lg1.6lg1.4>.
A B C D
2．当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.
3．下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数（ ）
A.log (0,1)a x
y a a a =>≠ B. y =2x x
C. log (0,1)x a y a a a =>≠
D. y =2x
4．函数12
log (1)y x =-的定义域是（ ）.
A. (1,)+∞
B. (,2)-∞
C. (2,)+∞
D. (1,2] 5．若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.
A. 1 m n >>
B. 1n m >>
C. 01n m <<<
D. 01m n <<< 6．函数3log y x =的定义域为 . （用区间表示）
7．比较两个对数值的大小：ln 7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. 8．求下列函数的定义域：（1） ()()34log 11
x
f x x x -=
++-； （2）21log (45)y x =-- 9．已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求：
（1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.
10．若,a b 为不等于1的正数，且a b <，试比较log a b 、1log a
b 、1log b b
. x
y
1 1
o
x
y
o 1 1
o
y
x
1
1 o
y
x
1 1
【过关检测B 】
1．函数1lg 1x
y x
+=－的图象关于（ ）.
A. y 轴对称
B. x 轴对称
C. 原点对称
D. 直线y ＝x 对称
2．函数212
log (617)y x x =-+的值域是（ ）.
A. R
B. [8,)+∞
C. (,3]-∞-
D. [3,)+∞
3．（07年全国卷.文理8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为
1
2
，则a =（ ）. A.2
B. 2
C. 22
D. 4
4．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，1
5，则相应曲
线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）.
A. 2，43，15，310
B. 2，43，310，1
5
C. 15，310，43，2
D. 43，2，310，1
5
5．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）. A. 12
log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 2
1
log y x
=
D. 20.2log (4)y x =-
6． 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”） 7．函数x y a =的反函数的图象过点(9,2)，则a 的值为 .
0 x C 1
C 2
C 4
C 3 1
y。