2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题二数列第2讲数列求和及其综合应用

返回导航
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
5．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝1， Sann是公差为13的等差数列．
(1)求{an}的通项公式； (2)证明：a11＋a12＋…＋a1n<2.
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
【解析】 (1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴Sa11＝1， 又∵Sann是公差为13的等差数列， ∴Sann＝1＋13(n－1)＝n＋3 2，∴Sn＝(n＋32)an， ∴当 n≥2 时，Sn－1＝(n＋13)an－1， ∴an＝Sn－Sn－1＝(n＋32)an－(n＋13)an－1，
返回导航
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，由a1，a2，a3－2成等差数 列，得2a2＝a1＋a3－2，
即4q＝2＋2q2－2，解得q＝2(q＝0舍去)， 则an＝a1qn-1＝2n，n∈N*.
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
(2)bn＝a1n＋2log2 an－1＝21n＋2log2 2n－1＝21n＋2n－1， 则数列{bn}的前 n 项和 Sn＝12＋14＋…＋21n＋(1＋3＋…＋2n－1) ＝1211－－2121n＋12n(1＋2n－1)
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
n(n1＋1)＝1n－n＋1 1； n(n1＋k)＝1k1n－n＋1 k； n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1； 4n21－1＝122n1－1－2n1＋1.
返回导航
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
2．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn} 的前n项和Sn时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意： (1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特 别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表
【解析】(1)当n为奇数时，n＋1为偶数，则an＝n2－(n＋1)2＝－2n－ 1，
返回导航
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
(2)∵cn＝b2n－1·b2n＝2n×22n＝2n·4n， ∴Sn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n·4n， 4Sn＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n－1)·4n＋2n·4n+1， 两式相减得，－3Sn＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n×4n+1 ＝8(11－－44n)－2n×4n+1
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d， 则 d＝a66－ －a33＝1， 所以 an＝a3＋(n－3)d＝n，
n＋1，n为奇数， 从而 bn＝2n，n为偶数，
返回导航
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
b1＋b2＋b3＋…＋b2n－1＋b2n ＝(2＋4＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n) ＝n×(22＋2n)＋4×1(－1－4 4n) ＝n(n＋1)＋43(4n－1)；
2．若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交 替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有 时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．
专题二 数列
返回导航
核心拔头筹 考点巧突破
高考二轮总复习 • 数学
考点一 数列求和
返回导航
1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间 能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项 抵消．常见的裂项方式有：
＝1－21n＋n2.
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
考向 2 裂项相消法求和 典例2 已知数列{an}满足 a1＋4a2＋42a3＋…＋4n-1an＝n4(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝24nn＋an1，求数列{bnbn＋1}的前 n 项和 Tn.
专题二 数列
即 2Sn＋n2＝2nan＋n①，
当 n≥2 时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)an－1＋(n－1)②，
①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－(n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)an－1－(n－1)，
即 2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)an－1＋1，
即 2(n－1)an－2(n－1)an－1＝2(n－1)，
算法，其方法的前两步为：
第一步，构造数列 1，12，13，14，…，1n；
第二步，将第一步中数列的各项乘以 n，得到的新数列记为 a1，a2，
a3，…，an.
则 a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝ A．n2
B．(n－1)2
(C )
C．n(n－1)
D．n(n＋1)
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
3．(2022·全国新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的 等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数． 【解析】 (1)证明：设数列{an}的公差为 d，
返回导航
(3)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn，且 Sn＋12an＝1(n∈N*)，数列{bn} 是公差 d 不等于 0 的等差数列，且满足：b1＝32a1，b2，b5，b14 成等比数 列．
①求数列{an}，{bn}的通项公式； ②设 cn＝an·bn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
专题二 数列
返回导航
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
考向 3 错位相减法求和 典例3 已 知 等 差 数 列 {an} 中 ， a3 ＝ 3 ， a6 ＝ 6 ， 且 bn ＝
a2na＋n，1， n为n为 偶奇 数数 ．， (1)求数列{bn}的通项公式及前 2n 项和； (2)若 cn＝b2n－1·b2n，记数列{cn}的前 n 项和为 Sn，求 Sn.
当 n＝1 时也适合上式，故 an＝41n(n∈N*).
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
(2)由(1)得 bn＝24nn＋an1＝2n1＋1， 所以 bnbn＋1＝(2n＋1)1(2n＋3)＝122n1＋1－2n1＋3， 故 Tn＝1213－51＋51－17＋…＋ 2n1＋1－2n1＋3 ＝1213－2n1＋3＝6nn＋9.
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
考向1 分组转化法求和 典例1 已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差
数列． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足 bn＝a1n＋2log2 an－1，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
所以 an－an－1＝1，n≥2 且 n∈N*，
所以{an}是以 1 为公差的等差数列．
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
(2)由(1)可得 a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又 a4，a7，a9 成等比数列，所以 a27 ＝a4·a9， 即(a1＋6)2＝(a1＋3)·(a1＋8)，解得 a1＝－12， 所以 an＝n－13， 所以 Sn＝－12n＋n(n－ 2 1)＝12n2－225n＝12n－2252－6825， 所以，当 n＝12 或 n＝13 时(Sn)min＝－78.
＝23－2n4n+1－83， 即 Sn＝23n－294n+1＋89.
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【素养提升】(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个 可求和的数列通项的和差．
(2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项． (3)错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn} 分别为等差数列和等比数列．
所以aa11＋ ＋dd－ －22bb11＝ ＝a81b＋1－2d(a－1＋4b31d，)，
即可解得，b1＝a1＝d2，所以原命题得证．
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
(2)由(1)知，b1＝a1＝d2， 所以 bk＝am＋a1⇔b1×2k-1＝a1＋(m－1)d＋a1， 即 2k-1＝2m， 亦即 m＝2k-2∈[1，500]，解得 2≤k≤10， 所以满足等式的解 k＝2，3，4，…，10， 故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中的元素个数为 10－2＋1＝9.
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
(2)证明：a1n＝n(n2＋1)＝21n－n＋1 1， ∴a11＋a12＋…＋a1n ＝21－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝21－n＋1 1<2.
返回导航
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
感悟高考
1．高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求 和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综 合)，主要突出数学思想的应用．
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
2．(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和 为540，则a1＝___7_．
【解析】 an＋2＋(－1)nan＝3n－1， 当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1； 当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1. 设数列{an}的前n项和为Sn，
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【解析】(1)当 n＝1 时，a1＝14.
因为 a1＋4a2＋42a3＋…＋4n-2an－1＋4n-1an＝n4，① 所以 a1＋4a2＋42a3＋…＋4n-2an－1＝n－4 1(n≥2，n∈N*)，②
①－②得 4n-1an＝14(n≥2，n∈N*)，
所以 an＝41n(n≥2，n∈N*).
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
n2，n为奇数， 1．(1)已知函数 f(n)＝－n2，n为偶数， 且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1
＋a2＋a3＋…＋a8 等于 A．－16
B．－8
(C )
C．8
D．16
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
(2)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16 ＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4)＋…＋(a14＋a16) ＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102) ＋(a1＋140)＋(5＋17＋29＋41) ＝8a1＋392＋92 ＝8a1＋484＝540. ∴a1＝7.故答案为7.
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
4．(2022·全国甲卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知2nSn＋n＝2an ＋1.
(1)证明：{an}是等差数列； (2)若 a4，a7，a9 成等比数列，求 Sn 的最小值．
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
【解析】 (1)证明：因为2nSn＋n＝2an＋1，
返回导航
自主先热身 真题定乾坤
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
真题热身
1．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋ 6，则公差d＝__2__．
【解析】 由2S3＝3S2＋6可得 2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6， 化简得2a3＝a1＋a2＋6， 即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2. 故答案为2.
第二篇
经典专题突破•核心素养提升
专题二 数列
第2讲 数列求和及其综合应用
高考二轮总复习 • 数学
考情分析
返回导航
数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现， 有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上．
专题二 数列
自主先热身 真题定乾坤 核心拔头筹 考点巧突破 专题勇过关 能力巧提升
返回导航
专题二 数列
高考二轮总复习 • 数学
返回导航
整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，即aan－n 1＝nn＋－11， ∴an＝a1×aa21×aa32×…×aann－ －12×aan－n 1 ＝1×31×42×…×n－n 2×nn＋－11 ＝n(n＋ 2 1)， 显然对于 n＝1 也成立，∴{an}的通项公式 an＝n(n＋2 1)；