山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末数学试题(解析版)

高三数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知集合2{|230}A x Z x x =∈--≤，1
{|0}x B x x +=>，若集合{|C x x A =∈且}x B ∉，则C =（
）
A. [1,0]-
B. [0,3]
C. {1,0}-
D. {0,1,2,3}
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式可得集合{}1,0,1,2,3A =-，()(),11,B =-∞-+∞，即可得到集合C.
【详解】由题可得：{}2{|230}1,0,1,2,3A x Z x x =∈--≤=-，
()()1
{|0},10,x B x x +=>=-∞-+∞，
{|C x x A =∈且}x B ∉={1,0}-.
故选：C
【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解不等式，根据集合的新定义求解.
2.若复数z 满足(1)1z i i -=+，i 为虚数单位，则2019z =（ ）
A. 1-
B. 1
C. i -
D. i
【答案】C
【解析】
【分析】
求出z i ，根据()201950434i i i =即可得解.
【详解】由题(1)1z i i -=+
()()
()112(1)12i i i
z i i i ++===-+，
()
2019201043954i i z i i ==-=.
故选：C 【点睛】此题考查复数的运算，关键在于熟练掌握复数的乘法和乘方运算法则.
3.命题“2
[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 12a < B. 12a ≤ C. 2a ≤ D. 3a ≤
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意解得命题“2[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的充要条件时2a ≤，结合四个选项即可得到其必要不充分条件.
【详解】2[1,2],20x x a ∃∈-≥即()2max 20x a -≥，
所以420a -≥，解得2a ≤，
只有D 选项3a ≤是其必要不充分条件.
故选：D
【点睛】此题考查求必要不充分条件，关键在于根据特称命题的真假准确求解参数的取值范围，根据充分性和必要性判断.
4.在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算这些士兵可能有（ ）
A. 2006
B. 2111
C. 2113
D. 2141
【答案】B
【解析】
【分析】 根据总数除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，依次判断排除即可得解.
【详解】有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，设总人数x ，
除以5余1，除以6余5，除以7余4，除以11余10，
2006不满足除以6余5，2113不满足除以5余1，
2141不满足除以11余10，
2111全都满足
故选：B
【点睛】此题以中华民族优秀传统文化
背景，考查推理，涉及数论相关知识，但此题可通过排除法求解，降低思维难度.
5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转π4
后经过点(，则tan α=（ ）
A. 3--
B. 3-+
C. 1-
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】 设π,tan 42βα
β=+=-，πtan tan 4αβ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭利用两角差的正切公式即可得解. 【详解】由题：设π,tan 4βαβ=+=，即，tan 2
β=- π
tan tan
π4tan tan 3π41tan tan 4βαββ-⎛⎫=-==-- ⎪⎝
⎭+故选：A
【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求三角函数值，根据两角差的正切公式进行三角恒等变换解决给值求值的问题.
6.若函数||()2
1()x m f x m +=-∈R 为偶函数，设0.30.2(2),(log 3),(2)m a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A. a c b <<
B. a b c <<
C. c b a <<
D. b a c <<
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性求出0m =得出单调性，通过转化0.30.255(1),(log 3)(log 3)(log 3),(2)a f b f f f c f ===-==即可得到大小关系.
【详解】函数||()21()x m f x m +=-∈R 为偶函数，()()f x f x =-恒成立，
||||22x m x m +-+=恒成立，即0m =，||()21x f x =-在()0,x ∈+∞单调递增，
所以0.30.2(1),(log 3),(2)a f b f c f ===，
0.30.255(1),(log 3)(log 3)(log 3),(2)a f b f f f c f ===-==，0.350log 312<<<
所以b a c <<.
故选：D
【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求参数的取值，根据单调性和奇偶性的综合运用比较函数值的大小. 7.二项式2()n x x -的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）
A. 160-
B. 80-
C. 80
D. 160 【答案】A
【解析】
【分析】
根据展开式的二项式系数关系求解n ，结合通项即可得到常数项.
【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，
即()21219,,2,9,61802
n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =， 二项式62()x x -的展开式中，通项6162()r r r r T C x
x -+=-， 当r =3时，取得常数项，333
3162()160T C x x +=-=-.
故选：A
【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式系数关系求解参数，根据通项求展开式中的指定项. 8.已知函数22,0()log (1),0
x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. 1
[,0]2
-
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数图象，结合图象分别讨论即可得解.
【详解】作出函数图象：
结合图象可得，要使|()|2f x ax ≥恒成立，
当x ＞0，必有0a ≤，
当0x ≤时，只需22x x ax -≥，即12x a -≤恒成立， 所以12a ≥- 综上所述1
[,0]2a ∈-
故选：D
【点睛】此题考查分段函数，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类与整合，数形结合思想.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.下图为某省高考数学理科试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）
．根据对比图，下列结论正确的有（ ）
A. 近三年容易题分值逐年增加
B. 近三年难题分值逐年减少
C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年
D. 2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据对比图可得，近三年容易题分值逐年增加，三年难题分值不是逐年减少，2016年中档题的占比最高，2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上
【详解】根据对比图可得容易题这三年分别分值40,55,96，逐年增加，A 正确；
难题分值：34,46,12，并不是逐年减少，所以B 不正确；
2016年中档题分值76，占比最高，所以C 不正确；
2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的138100%90%150
⨯>，所以D 正确. 故选：AD 【点睛】此题考查对统计图的认识，关键在于认真审题读懂对比图中反映的数据特征，根据所需判断条件计算分析.
10.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，,D E 分别是1,BB AC 的中点，则下列结论成立的是（ ）
A. 直线CD 与11B C 是异面直线
B. 直线BE 与平面1A CD 平行
C. 直线AC 与直线1A D 2
D. 直线CD 与平面11AAC C 所成角的余弦值为
104 【答案】BCD
【解析】
直线CD 与11B C 在同一平面内，不是异面直线，分别证明线面平行，计算异面直线夹角和直线与平面所成角的大小即可得解. 【详解】
直线CD 与11B C 在同一平面11B C CB 内，不是异面直线，所以A 选项错误；
取11,A C AC 交点O ，连接,OE OD ，1//,//OE CC OE BD 11=
2
OE CC BD =， 所以四边形BDOE 是平行四边形，//BE OD ， BE ⊄平面1A CD ，OD ⊂平面1A CD ，所以直线BE 与平面1A CD 平行，B 选项正确；
11//AC A C 直线AC 与直线1A D 所成角就是11A C 与直线1A D 所成角，
正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，
连接1C D 在11AC D ∆中，11111
,2AC C D A D === 由余弦定理可得112cos 4212
DAC ∠==⨯⨯ 所以直线AC 与直线1A D 所成角的余弦值为
24，所以C 选项正确； 由题可得：平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，BE AC ⊥，
BE ⊂平面ABC ，根据面面垂直的性质可得BE ⊥平面11AAC C ，//BE OD ，
所以OD ⊥平面11AAC C ，
线CD 与平面11AAC C 所成角就是DCO ∠，在直角三角形DCO 中，52,CD CO == 直线CD 与平面11AAC C 10，所以D 选项正确.
【点睛】此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小，关键在于熟练掌握相关定理和解决问题的基本方法.
11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则下列
结论正确的是（ ）
A. 当[2,0]x ∈-时，()21x f x -=-
B. (2019)1f =
C. ()y f x =的图像关于点(2,0)对称
D. 函数2()()log g x f x x =-有3个零点 【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和周期性判定AB 正确，结合图象可得D 正确，利用反例推翻C 选项，或者作图得C 选项错误.
【详解】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，即该函数周期为4，
由题：[0,2]x ∈时，()21x
f x =-，
当[2,0]x ∈-时，[0,2]x -∈，()()21x f x f x -=-=-，所以A 选项正确； ()()()(2019)45051111f f f f =⨯-=-==，所以B 选项正确；
()y f x =的图象关于点(2,0)对称，则()(3)10f f +=，
但是()()(3)111f f f =-==，()(3)10f f +≠与()(3)10f f +=矛盾，所以C 选项错误；
作出函数2(),log y f x y x ==的图象即可得到， 函数2()()log g x f x x =-有3个零点，所以D 选项正确.
故选：ABD
【点睛】此题考查函数周期性与奇偶性的综合应用，利用性质求函数值，根据函数图象解决零点个数问题.
12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点22
P ，F 为C 的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A. C 的离心率为2
B. C 的渐近线方程为0x =
C. 若F 到C ，则C 的方程为22
142
x y -=
D. 设O 为坐标原点，若||||PO PF =,则2
POF S ∆=
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据双曲线渐近线经过的点求渐近线方程，结合斜率求解离心率，根据焦点到渐近线距离求解方程，结合线段相等关系求解三角形面积.
【详解】由题：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点22
P ，
所以渐近线方程为2
y x =±，所以B 选项错误；
所以2b a =，离心率2
c e a ====，所以A 选项正确；
若F 到C ，即2b a ==
则C 的方程为22
142
x y -=，所以C 选项正确；
O 为坐标原点，若||||PO PF =,P ，所以F
1
2POF S ∆==，所以D 选项错误. 故选：AC
【点睛】此题考查双曲线的几何性质，涉及渐近线方程的斜率与离心率的关系，根据长度和点的坐标关系求解三角形面积，关键在于熟练掌握双曲线的几何性质.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 13.已知单位向量,m n 的夹角为
23
π，则|3|m n +=________．
【解析】
【分析】 根据题意22|3|96m n m n m n +=++⋅结合平面向量数量积
运算即可得解. 【详解】单位向量,m n 的夹角为
23π， 则22|3|96
19m n m n m n +=++⋅=+=.
【点睛】此题考查求解向量的模长，关键在于熟练掌握平面向量数量积的运算法则，根据基本运算律进行计算化简.
14.ABC 的内角,,A
B C 的对边分别为,,a b c ，cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B ．
则B =________；若5a
c +=，ABC 的面积S =
b =________． 【答案】 (1).
3
π (2).
【解析】
【分析】
①根据正弦定理2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，即2sin cos sin A B A =，即可得解； ②根据面积公式求得4ac =，由余弦定理b ==即可得解．
【详解】①由题：cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B
即2cos cos cos a B b C c B =+，
由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，
即()()sin si n cos n 2si B A B C A π==+-
()sin ,0,,si 2cos n 0sin A B A A A π∈=>，
所以()1cos ,0,,23
B B B ππ=
∈=， ②5a c +=，ABC
的面积S =
1
sin 42
ac B ac ==
则由余弦定理
b ==
==
故答案为：①
3
π
【点睛】此题考查正余弦定理的应用，根据正弦定理进行边角互化求角的大小，根据面积公式和余弦定理求解边长.
15.已知圆2
2
:4440C x y x y +--+=，抛物线2
:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长为________________． 【答案】
258
【解析】 【分析】
根据圆心坐标求出抛物线方程和焦点坐标，求出直线42
:33
CF y x =-，联立抛物线方程和直线方程根据弦长公式即可得解.
【详解】圆2
2
:4440C x y x y +--+=，所以()2,2C ，抛物线2
:2(0)E y px p =>过点C ，
即44,1p p ==，其焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
204
1322
CF k -=
=- 则直线42
:33
CF y x =-，
联立直线与抛物线方程：242332y x y x ⎧
=-
⎪⎨
⎪=⎩
，整理得281720x x -+=， 直线217640∆=->，设其两根为12,x x 弦长121725188
x x p ++=
+= 所以被抛物线截得的弦长为
25
8
. 故答案为：
258
【点睛】此题考查根据抛物线经过的点求抛物线方程和焦点坐标，根据直线与抛物线形成弦长公式求解弦
长，关键在于熟练掌握直线与抛物线问题常见处理办法.
16.已知三棱锥S ABC -内接于半径为4的球中，SA ⊥平面ABC ，45BAC ∠=，22BC =，则三棱锥S ABC -体积的最大值为________． 【答案】
8(63)
3
+
【解析】 【分析】
根据外接球的性质求出SA 的长度，将体积最大值转化为求三角形ABC 面积最大值，结合图形求解
【详解】
设三棱锥S ABC -外接球O ，三角形ABC 所在外接圆O 1， 由正弦定理可得三角形ABC 22
22
= 根据球的几何性质有1OO ⊥平面ABC ，1//OO AS ， 取AS 中点E ，4OS OA ==，OE AS ⊥， 所以216443AS =-= 所以三棱锥S ABC -体积43
3
S ABC ABC V S -∆=
结合图形可得当三角形ABC 面积最大时，A 到BC 距离最大，
结合圆的几何性质可得此时AB =AC ，190BO C ∠=︒，1O 到BC 2， A 到BC 距离2，三角形ABC 面积最大值为
(1
22222222
⨯=+
三棱锥S ABC -体积3S ABC ABC V S -∆=
⨯的最大值为
3(2+=3
故答案为：
3
【点睛】此题考查多面体外接球问题，根据几何特征处理几何体的体积，将体积问题转化为求三角形面积问题，涉及数形结合，转化与化归思想.
四、解答题：本题共6小题，共70分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在①()f x 的图像关于直线56x π
ω
=
对称，②()cos f x x x ωω=，③()(0)f x f ≤恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由． 设函数()2cos()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函数()f x 在[0,]2π
上
是单调的？ 【答案】见解析 【解析】 【分析】
任选一个条件求出ϕ的取值，结合单调性分析ω的情况即可得解. 【详解】若选①，令,x k k Z ωϕπ+=∈，代入56x πω=，解得5,6
k k Z π
ϕπ=-
∈， 因为02
π
ϕ≤≤
，所以当1k =时，6π=
ϕ，()2cos()6
f x x π
ω=+， 当[0,]2
x π
∈时，[,]6626
x π
ππωπ
ω+∈+， 若函数()f x 在[0,
]2
π
上单调，则有2
6
πω
π
π+
≤，解得5
03
ω<≤
， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,
]2
π
上是单调的．
若选②，()cos 2cos()3
f x x x x π
ωωω==+，所以3
π
ϕ=
，
当[0,]2
x π∈时，[,]3323
x π
ππωπ
ω+∈+， 若函数()f x 在[0,
]2
π
上单调，则有2
3
πω
π
π+
≤，解得4
03
ω<≤
， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,
]2
π
上是单调的．
若选③，因为()(0)f x f ≤恒成立，即max ()(0)2cos 2f x f ϕ===，所以cos 1ϕ=， 因为02
π
ϕ≤≤
，所以0ϕ=，()2cos f x x ω=，
当[0,]2
x π∈时，[0,]2
x πω
ω∈，
若函数()f x 在[0,
]2
π
上单调，则有
2
πω
π≤，解得02ω<≤，
所以存在正整数1ω=或2时，使得函数()f x 在[0,
]2
π
上是单调的．
【点睛】此题考查三角函数的综合应用，根据对称性单调性以及最值的关系求解参数，需要熟练掌握三角函数相关性质.
18.已知各项都为正数的数列{}n a 满足14a =，2
11(21)20n n n n a a a a ++---=．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足*
(25)cos ()n n b a n n n N =+-∈π，求数列{}n b 的前2n 项和． 【答案】（1）1
2n n a += （2）22224n n ++-
【解析】 【分析】
（1）原式变形11(2)(1)0n n n a a a ++-+=，结合各项都为正数，即可得到等比数列，求得通项公式；
（2）结合（1）写出通项公式11252,21,22-5,2,n n n n n k n N b n n k n N
++*
⎧+-=+∈=⎨+=∈⎩，利用分组求和即可得解. 【详解】（1）由2
11(21)20n n n n a a a a ++---=得11(2)(1)0n n n a a a ++-+=，
1
1110,2,2n n n n n
a a a a a ++++>∴=∴
=． 所以{}n a 为首项为4,2q =的等比数列，11
422n n n a -+∴=⋅=．
（2）由题意11252,21,22-5,2,n n n n n k n N
b n n k n N
++*
⎧+-=+∈=⎨+=∈⎩ 则{}n b 的前2n 项和2321
222 (2)
2[(21)(43)...(221)]n n S n n +=++++-+-++-+ 22
2242222412
n n n n ++-=+=+--．
【点睛】此题考查根据数列递推关系求通项公式，利用分组求和进行数列求和，需要熟练掌握常见递推数列处理办法，熟记相关公式.
19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13
AA =，D 为AC 的中点．
（1）当11
2
AE EA =
时，求证：1DE BC ⊥； （2）在线段1AA 上是否存在点E ，使二面角A BE D --等于30？若存在求出AE 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）通过证明ED ⊥平面1BDC 得证线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决.
【详解】（1）证明：连结1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC 为正三角形， 又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，
又平面ABC ⊥平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥． 因为112AE EA =
,2AB =，13AA =3
AE=3
1AD =， 所以在Rt ADE △中，30ADE ∠=︒，在1Rt DCC 中，160C DC ∠=︒， 所以190EDC ∠︒＝，即1ED DC ⊥，
所以ED ⊥平面1BDC ，1BC ⊂面1BDC ，所以1DE BC ⊥．（也可以利用建系的方法证明） （2）假设存在点E 满足条件，设AE h =．
取11A C 的中点1D ，连结1DD ，则1DD ⊥平面ABC ，所以1DD AD ⊥，1DD BD ⊥，
分别以DA 、DB 、1DD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)?，
B(0,3,0) ，E(1,0,)h ，
所以(0,3,0) DB = (1,0,) DE h = (-1,3,0) AB =(0,0,)AE h =， 设平面DBE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，
则1100n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩⇒11130
x hz ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
令11z =，得1,0,1()n h -=，
同理，平面ABE 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，
则2200n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒22230
0x hz ⎧-=⎪⎨=⎪⎩
∴2(3,1,0)n =． 所以122|3|3
cos ,21
h n n h -=
=
+， 所以2||1h h + 所以h 无解．
故不存在点E ，使二面角A BE D --等于30．
【点睛】此题考查线面垂直的证明，利用线面垂直证明线线垂直，利用空间直角坐标系解决空间角的问题，需要熟练掌握法向量法在解决空间角问题中的应用.
20.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核为优秀．现获得该公司
20112018-年的相关数据如下表所示：
年份
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
注：=
年返修台数
年返修率年生产台数
．
（1）从该公司20112018-年的相关数据中任意选取4年的数据，以ξ表示4年中生产部门考核为优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到0.01）．
参考公式：回归方程y bx a =+，其中1
1
21
2
2
1
(ˆ()())
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x y x x y x y n x y
b
x x x
n ====---==
--∑∑∑∑
ˆˆa
y bx =-． 参考数据：81168i i x x ===∑，8
1148i i y y ===∑，81()()34.5i i i x x y y =--=∑，8
1()18.045i i y y =-=∑，
8
2
1
()
72i
i x x =-=∑．
【答案】（1）分布列见解析，() 2.5E ξ=； （2）0.48 1.27y x =+ 【解析】 【分析】
（1）ξ可能取1,2,3,4，分别求出其概率，写出分布列，根据公式求得期望；
（2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb
的值，根据新数据求出样本点的中心，即可得到回归直线方程.
【详解】（1）由数据可知，2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀．
ξ可能取1,2,3,4．
所以3135481(1)14C C P C ξ===,2235483(2)7C C P C ξ===，1335483(3)7C C P C ξ===，04354
81
(4)7
C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为
故数学期望13315
()1234 2.51477142
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯==（万元）． （2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb
的值， 所以1
2
1
(34.5
ˆ0.4872
()()
)
n
i
i
i n
i
i b
x x x x y y ==--==
≈-∑∑． 去掉2015年的数据后，68667x ⨯-'
=
=，483
29
77
y ⨯-'==， 所以2934.5
ˆˆ6 1.27772
a
y bx =-=-⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.48 1.27y x =+．
【点睛】此题考查求离散型随机变量分布列和期望，根据数据求解回归直线方程，关键在于熟练掌握回归方程相关数据的求解方法，准确计算概率.
21.已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为2，一个顶点在抛物线2y =的准线上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过右焦点2F 做斜率存在的直线l ，交椭圆于A B 、两点．
（i ）已知点1(0,)2
M ，是否存在直线l ，使||||MA MB =？若存在，求直线l 方程；若不存在，说明理由； （ii ）若O 为坐标原点，求ABO
S
的取值范围．
【答案】（1）2212x y +=； （2）（i ）存在，0y =；（ii
）(0,2
【解析】 【分析】
（1）根据焦距和顶点坐标求解椭圆的标准方程；
（2）（i ）设出直线方程，联立直线和椭圆方程结合韦达定理，利用斜率关系求解；（ii ）求出弦长和点到直线距离表示出三角形面积，利用函数关系求解三角形面积取值范围. 【详解】（1）由题意可得22,1c c =∴=
抛物线2y =
的准线为x a =∴=
解得222211b a c ∴=-=-=
所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=
（2）（i ）已知2(1,0)F ，设直线的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y 22(,)B x y
联立直线与椭圆方程22
(1)
12
y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，化简得：2222)202142(-=+-+x k x k k 所以22121222
422
,1212k k x x x x k k
-+==++，121222()212k y y k x x k k -+=+-=+ 所以AB 的中点坐标为222
2(,)1212k k
G k k
-++ ①当0k ≠时，22222
1
2121122||||,240
12MG
k k k k MA MB k k k k
k ------+=∴===-+， 整理得2
2210,k k -+=方程无解
②当0k =时，AB 的中垂线方程为0x =，满足题意． 所以存在直线0y =满足题意．
（ii ）由（i
）知||AB ==
22
)
12k k +=
+
而原点O 到直线l
的距离d =
所以
1||2ABO
S
AB d ===
221
,0,4()1,02
ABO
k R k k S
∈≠∴+>∴<< 综上，ABO
S
的取值范围为(0,
2
． 【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系结合韦达定理解决是否存在满足条件的探索问题，求解面积最值问题. 22.已知函数()2ln f x x x x =+．
（1）若直线l 过点(0,2)-，且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程； （2）若1x ∀>时，()0f x kx k -+>成立，求整数k 的最大值． 【答案】（1）32y x =- （2）4 【解析】 【分析】
（1）设切点坐标，写出切线方程，建立等量关系求解； （2）将问题转化为1x ∀>，
2ln 1
x x x
k x +>-恒成立，利用函数求解最值，即可得解.
【详解】（1）因为点(0,2)-不在直线l 上， 设切点坐标为00(,)x y ，则00002ln y x x x =+． 因为()12ln 232ln f x x x '=++=+． 所以0000
0000
222ln ()32ln l y x x x k f x x x x +++'==+=
=，解得01x =． 所以3l k =，所以直线l 的方程为32y x =-． （2）由题意知，1x ∀>，
2ln 1
x x x
k x +>-恒成立
min 2ln (
)1
x x x
k x +>-
令2ln ()1
x x x
g x x +=
-，22
(32ln )(1)(2ln )22ln 3()(1)(1)x x x x x x x g x x x +--+--'∴==--．
设()22ln 3h x x x =--，所以2(1)()0x h x x
-'=
>， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递增． 又55
(2)12ln 20,()2(1ln )022h h =--<=->， 所以存在05(2,)2x ∈，在005(2,),()0,(,),()02x x h x x x h x ∈<∈>，
所以()g x 在0(2,)x 上单调递减，在05(,)2x 上单调递增． 所以000min 002ln ()()1
x x x g x g x x +==-， 而000()22ln 30,h x x x =--= 所以200min 0022()21
x x g x x x -==-． 所以0max 2(4,5),4k x k <∈∴=．
【点睛】此题考查导数的综合应用，利用导数的几何意义解决切线问题，等价转化，分离参数，利用导数求解最值问题，涉及隐零点问题的处理.。