(教案)均值不等式

均值不等式及其应用
【第1课时】
【教学过程】
一、新知初探
1．算术平均值与几何平均值
对于正数a ，b ，常把
a ＋b
2叫做a ，b 的算术平均值，把ab 叫做a ，b 的几何平均值． 2．均值不等式
（1）当a ＞0，b ＞0a ＝b 时，等号成立； （2）均值不等式的常见变形 ①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；
②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
． 二、初试身手
1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是（ ） A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0
答案：B
解析：当a 2＋1＝2a ，即（a －1）2＝0，即a ＝1时“＝”成立． 2．已知a ，b ∈（0，1），且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D
解析：∵a ，b ∈（0，1），∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab （a ≠b ）， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．
又∵a ＋b ＞2ab （a ≠b ），∴a ＋b 最大．
3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案：B
解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．
4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b
2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ． 答案：③
解析：根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b
2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 三、合作探究
类型1：对均值不等式的理解
例1：给出下面三个推导过程：
①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·a
b ＝2；
②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24
a ·a ＝4；
③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－－x y ＋－y
x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－y x ＝－2． 其中正确的推导为（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③
答案：B
解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，a
b 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24
a ·a ＝4是错误的．
③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫
－y x 均变
为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．
规律方法
1．均值不等式ab ≤a ＋b
2 （a ＞0，b ＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a ，b 都是正数．
（2）“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b
2＝ab ；仅
当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b
2＝ab ⇒a ＝b ．
跟踪训练
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1
x ＝2；
②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2
－x ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－4x ＝－4；
③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a
b ＝2． 答案：②
解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即x ＝1时，x ＋1
x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1
x ＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．
类型2：利用均值不等式比较大小
例2：（1）已知a ，b ∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（ ）
A ．a ＋b ≥2ab
B ．b a ＋a
b ≥2
C ．a 2＋b 2ab
≥2ab D ．2ab a ＋b ≥ab
（2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．
答案：（1）D
（2）a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac
解析：（1）由a ＋b
2≥ab 得a ＋b ＝2ab ， ∴A 成立；
∵b a ＋a b ≥2
b a ·a
b ＝2，∴B 成立；
∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；
∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，∴D 不一定成立． （2）∵a ，b ，c 互不相等，
∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ． ∴2（a 2＋b 2＋c 2）>2（ab ＋bc ＋ac ）． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ． 规律方法
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．
跟踪训练
2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是（ ） A ．P ＞Q ＞M B ．M ＞P ＞Q C ．Q ＞M ＞P D ．M ＞Q ＞P
答案：B
解析：显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
由a ＋b ＞
a ＋
b 2
4
也就是a ＋b 4＜1可得，所
a ＋
b ＞a ＋b
2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．
类型3：利用均值不等式证明不等式
例3：已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1
c >9．
思路点拨：看到1a ＋1b ＋1
c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．
证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋
a ＋
b ＋
c c
＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c
＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c
≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·b
c
＝3＋2＋2＋2 ＝9．
当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1
c >9． 母题探究
本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫
1c －1>8．
证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，
且a ＋b ＋c ＝1，
∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1
c －1＝a ＋b c >0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，
当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫
1c －1＞8． 规律方法
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
跟踪训练
3．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2． 证明：由均值不等式可得 a 4＋b 4＝（a 2）2＋（b 2）2≥2a 2b 2， 同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，
∴（a 4＋b 4）＋（b 4＋c 4）＋（c 4＋a 4）≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．
4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3
b ＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7．
证明：由1a ＋3b ＝1，得b ＝3a
a －1
（a ＞1），
则a ＋2b ＝a ＋6a
a －1＝a ＋6a －1＋6a －1
＝a ＋6a －1＋6＝（a －1）＋6
a －1＋7
≥26＋7， 当且仅当a －1＝6
a －1
时，即a ＝1＋6时，取等号． 四、课堂小结
1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b 2．对
于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b
2
ab ；另一方面：当a ＋b
2＝ab 时，也有a ＝b ．
2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构． 五、当堂达标
1．思考辨析
（1）对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．（ ）
（2）若a ≠0，则a ＋1a ≥2a ·1
a ＝2．（ ）
（3）若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ＋
b 22．（ ） 提示：（1）任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．
（2）只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1
a ＝2成立．
（3）因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 22
． 答案：（1）×（2）×（3）√
2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．a －b <0
B ．0<a
b <1
C ．ab <a ＋b
2 D ．ab >a ＋b 答案：C
解析：∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b
2一定成立．
3．不等式9
x －2＋（x －2）≥6（其中x ＞2）中等号成立的条件是（ ）
A ．x ＝3
B ．x ＝－3
C ．x ＝5
D ．x ＝－5
答案：C
解析：由均值不等式知等号成立的条件为9
x －2＝x －2，即x ＝5（x ＝－1舍去）． 4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2
b ≥a ＋b ． 证明：∵a >0，b >0， ∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2
b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2
b ≥a ＋b ．
【第2课时】
【教学过程】
一、新知初探
已知x ，y 都是正数．
（1）若x ＋y ＝S （和为定值），则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24． （2）若xy ＝p （积为定值），则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p ． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 二、初试身手
1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b 的最小值是（ ）
A ．72
B ．4
C ．92
D ．5 答案：C
解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b
2＝1． ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝
⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋2
2a b ·b 2a ＝92 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立． 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．
2．若x >0，则x ＋2
x 的最小值是________． 答案：22
解析：x ＋2
x ≥2
x ·2
x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．
3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 答案：100
解析：∵x ，y ∈N *， ∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100． 三、合作探究
类型1：利用均值不等式求最值
例1：（1）已知x <54，求y ＝4x －2＋1
4x －5
的最大值；
（2）已知0<x <12，求y ＝1
2x （1－2x ）的最大值．
思路点拨：（1）看到求y ＝4x －2＋1
4x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；（2）要求
y ＝1
2x （1－2x ）的最值，需要出现和为定值．
解：（1）∵x <5
4，∴5－4x >0，
∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛
⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝1
5－4x
，即x ＝1时，上式等号成立，
故当x ＝1时，y max ＝1．
（2）∵0<x <1
2，
∴1－2x >0，
∴y ＝14×2x （1－2x ）≤14×⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝1
16． ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116． 规律方法
利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决．
跟踪训练
1．（1）已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4
x
的最小值；
（2）已知0<x <1
3，求函数y ＝x （1－3x ）的最大值．
解：（1）∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4
x ＋5≥24＋5＝9，
当且仅当x ＝4
x ，即x ＝2时等号成立．
故y ＝x 2＋5x ＋4x
（x >0）的最小值为9．
（2）法一：∵0<x <1
3，∴1－3x >0．
∴y ＝x （1－3x ）＝1
3·3x （1－3x ）
≤13⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤3x ＋1－3x 22
＝1
12． 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝1
6时，等号成立．
∴当x ＝16时，函数取得最大值1
12．
法二：∵0<x <13，∴1
3－x >0．
∴y ＝x （1－3x ）＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13－x ≤3·⎝
⎛
⎭
⎪⎪⎫x ＋13－x 22 ＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝1
6时，等号成立．
∴当x ＝16时，函数取得最大值1
12． 类型2：利用均值不等式求条件最值
例2：已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1
y ＝1．求x ＋2y 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1
y ＝1，
∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
8x ＋1y （x ＋2y ）＝10＋x y ＋16y x
≥10＋2x y ·16y
x ＝18，
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x
，即⎩⎨⎧
x ＝12，
y ＝3时，等号成立，
故当x ＝12，y ＝3时，（x ＋2y ）min ＝18．
母题探究 若把“8x ＋1y ＝1”改为“x ＋2y ＝1”，其他条件不变，求8x ＋1
y 的最小值． 解：∵x ，y ∈R ＋， ∴8x ＋1y ＝（x ＋2y ）⎝ ⎛⎭
⎪⎫8x ＋1y
＝8＋16y x ＋x y ＋2＝10＋16y x ＋x
y ≥10＋216＝18．
当且仅当16y x ＝x
y 时取等号，
结合x ＋2y ＝1，得x ＝23，y ＝1
6，
∴当x ＝23，y ＝16时，8x ＋1
y 取到最小值18． 规律方法
1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项．常见形式有y ＝ax ＋b
x 型和y ＝ax （b －ax ）型．
跟踪训练
2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1
b 的最小值． 解：法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＋1b ·1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1a ＋1b ·（a ＋2b ） ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋a
b ≥3＋2
2b a ·a b
＝3＋22，
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
2b a ＝a b
，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立． ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22． 法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a b ＋2
＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22，
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ＝a b
，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立， ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22．
类型3：利用均值不等式解决实际问题
例3：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
解：设每间虎笼长x m ，宽y m ，
则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18．
设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy ．
法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，
即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．
由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧
x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ．
∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭
⎪⎫9－32y ＝32y （6－y ）． ∵0<y <6，∴6－y >0．
∴S ≤32⎣⎢⎡⎦
⎥⎤6－y ＋y 22＝272． 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4．5．
故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．
规律方法
在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）正确写出答案．
跟踪训练
3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综
合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积
解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x ．
∴每平方米的平均综合费用
y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋225x ． 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值．
∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30．
当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立．
∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
四、课堂小结
1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．（ ）
（2）若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4．（ ）
（3）当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1
，所以函数y 的最小值是2x x －1．（ ） 提示：（1）由a ＋b ≥2ab 可知正确．
（2）由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 22＝4可知正确．
（3）x
x －1不是常数，故错误．
答案：（1）√（2）√（3）×
2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为（
） A ．1
B ．22
C ．2
D ．4
答案：A
解析：由均值不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ＋
b 22＝1． 3．已知0<x <1，则x （3－3x ）取最大值时x 的值为（
） A ．12 B ．3
4
C ．23
D ．2
5
答案：A
解析：∵0<x <1，∴1－x >0，
则x （3－3x ）＝3[x （1－x ）]≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝3
4，
当且仅当x ＝1－x ，即x ＝1
2时取等号． 4．已知x >0，求y ＝2x
x 2＋1的最大值．
解：y ＝2x x 2＋1＝2
x ＋1x
．
∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1
x ＝2，
∴y ≤22＝1，当且仅当x ＝1
x ，即x ＝1时等号成立．。