2019年中考数学专题《反比例函数》复习试卷含答案解析.doc

2019年中考数学专题复习卷: 反比例函数
一、选择题
1.已知点P（1，-3）在反比例函数（k≠0）的图象上，则k的值是（）
A. 3
B.
C. -3
D.
2.如果点（3，－4）在反比例函数的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（）
A.（3,4）
B. （－2，－6）
C.（－2，6）
D.（－3，－4）
3.在双曲线y= 的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（）
A. 2
B. 0
C. ﹣
2 D. 1
4.如图，已知双曲线y＝(k＜0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(－6,4)，则△AOC的面积为( )
A. 4
B. 6
C. 9
D. 12
5.如图所示双曲线y= 与分别位于第三象限和第二象限,A是y轴上任意一点,B是
上的点,C是y= 上的点,线段BC⊥x轴于D,且4BD=3CD,则下列说法：①双曲线y= 在每个象限内,y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为-3,则C点的坐标为(-3, )；③k=4；④△ABC的面积为
定值7.正确的有（）
A. I
个 B. 2
个 C. 3
个 D. 4个6.如图，已知反比例函数y= 与正比例函数y=kx（k＜0）的图象相交于A，B两点，AC垂直x轴于C，则△ABC的面积为（）
A. 3
B. 2
C. k
D. k2
7.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I 与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）
A. B.
C.
D.
8.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，反比例函数的图象
经过点，若将菱形向下平移2个单位，点恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为
（）
A. B.
C.
D.
9.如图，在平面直角坐标系中，过点0的直线AB交反比例函数y= 的图象于点A，B，点c在反比例函数y= (x>0)的图象上，连结CA，CB，当CA=CB且Cos∠CAB= 时，k1， k2应满足的数量关系是（）
A. k2=2k l
B. k2=-2k1
C. k2=4k1
D. k2=-4k1
10.已知如图，菱形ABCD四个顶点都在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF垂直AB交AC于点G，
反比例函数，经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为（）
A. B. +2
C. 2
+1 D. +1
二、填空题
11.反比例函数的图像经过点(2，3)，则的值等于________．
12.若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为________
13.若点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y= （k为常数）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为________．
14.如图，点为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点，交边
于点.若的面积为1，则________。

15.如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx+b(k≠0)与(m≠0)的图象相交于点A(2，3)，B(−6，−1)。

则关于x的不等式kx+b> 的解集是________
16.如图，已知直线y=x+4与双曲线y= （x<0）相交于A、B两点，与x轴、y轴分别相交于D、C两点，若AB= ，则k=________
17.如图，矩形ABCD中，E是AC的中点，点A、B在x轴上．若函数的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为________．
18.如图，点A是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支与点B，以AB 为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点
C始终在双曲线上运动，则k的值为________．
三、解答题
19.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
20.如图，在平面直角坐标系中，AO⊥BO，∠B=30°，点B在y= 的图象上，求过点A的反比例函数的解析式．
21.如图，已知反比例函数y= （k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB 的面积为4．
（Ⅰ）求k和m的值；
（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．
22.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC边交于点E．当F为AB的中点时，求该函数的解析式.
23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b的图像与反比例函数的图像交于A(4，﹣2)、B(﹣2，n)两点，与x轴交于点C．
（1）求k2， n的值；
（2）请直接写出不等式k1x＋b＜的解集；
（3）将x轴下方的图像沿x轴翻折，点A落在点A′处，连接A′B、A′C，求△A′BC的面积．
答案解析
一、选择题
1.【答案】C
【解析】：∵点P（1，-3）在反比例函数 y =（k≠0）的图象上
∴k=1×（-3）=-3
故答案为：C
【分析】根据已知条件，利用待定系数法，可求出k的值。

2.【答案】C
【解析】：∵（3，－4）在反比例函数图象上，∴k=3×（-4）=-12，
∴反比例函数解析式为：y=- ,
A. ∵3×4=12，故不在反比例函数图像上，A不符合题意；
B. ∵（-2）×（-6）=12，故不在反比例函数图像上，B不符合题意；
C. ∵（-2）×6=-12，故在反比例函数图像上，C符合题意；
D. ∵（-3）×（-4）=12，故不在反比例函数图像上，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将（3，－4）代入反比例函数解析式可求出k，再根据k=xy一一计算即可得出答案.
3.【答案】A
【解析】：∵y都随x的增大而增大，∴此函数的图象在二、四象限，∴1-k＜0，∴k＞1．故k可以是2（答案不唯一）．故答案为：A．【分析】在双曲线的每一支上，y都随x的增大而增大，根据反比例函数的性质得出此函数的图象在二、四象限，从而得出比例系数小于0，列出不等式，求解，并判断在其解集范围内的数即可。

4.【答案】C
【解析】：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标(−6,4)，
∴点D的坐标为(−3，2)，
把(−3,2)代入双曲线y=(k<0)，
∴k=-3×2=−6，
∴双曲线解析式为y=−
∵AB⊥OB，且点A的坐标(−6,4),
∴C点的横坐标为−6，
当x=-6时，y=1
即点C坐标为(−6，1)，
∴AC=|4-1|=3，
∵OB=6，
∴S△AOC=×AC×OB=×6×3=9
故答案为：C
【分析】根据点D时OA的中点及点A、O的坐标，可求出点D的坐标，利用待定系数法，求出反比例函数的解析式，再根据AB⊥OB，求出点C的坐标，然后求出△AOC的面积即可。

5.【答案】B
【解析】（1）由图可知，反比例函数的一个分支位于第三象限，
∴双曲线在每个象限内，y随x的增大而减小，即说法①正确；
（ 2 ）若B的横坐标为-3，则点B的坐标为（-3，1），
∴此时BD=1，
∵4BD=3CD，
∴3CD=4，
∴CD= ，
∵点C在第三象限，
∴点C的坐标为，即说法②错误；
（ 3 ）设点B的坐标为，则BD= ，
∵4BD=3CD，
∴3CD= ，
又∵点C在第三象限，BC⊥x轴，
∴此时，点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴，即说法③正确；
（ 4 ）设点B的坐标为，则由（3）可知，此时点C的坐标为，
∴BC= ，
∵点A是y轴上一点，
∴点A到BC的距离为，
∴S△ABC= AC·（）= ，即说法④错误.
综上所述，正确的说法是①③，共2个.
故答案为：B.
【分析】（1）根据反比例函数的性质，当k0时，图像分布在一、三象限，且y随x的增大而减小可进行判断；
（2）因为BC⊥x轴于D，所以B、C两点的横坐标相同都为-3，再由点B在反比例函数y=-上可求得点B 的纵坐标，根据4BD=3CD,即可求得点C的坐标；
（3）先将点B的坐标用字母a表示出来，则同（2）的方法即可用字母a表示点C的坐标，然后用待定系数法即可求得k的值；
（4）同（3）类似，可将点B、C的坐标用含a的代数式表示，则△ABC的面积=AC·（−a ），再将表示AC的代数式代入整理即可求解。

6.【答案】A
【解析】根据反比例函数的对称性，可得OA=0B，再根据反比例函数系数k的几何意义，可得△AOC的面
积为，根据等底同高的三角形面积，可知△ABC的面积为2× =3.
故答案为：A.
【分析】因为反比例函数关于原点O对称，所以OA=0B，再根据反比例函数系数k的几何意义，可得△AOC 的面积==,根据等底同高的三角形面积相等可得△ABC的面积=2×=3.
7.【答案】C
【解析】将点（3，2）代入得k＝6．故答案为：C．【分析】电流与电阻成反比例，可以设出其函数解析式，再将函数图像上的点（3，2）代入求得k即可求得其函数解析式.
8.【答案】A
【解析】：过点C作CD⊥OA于点D，
设菱形的边长为a,
∵四边形OABC是菱形，
∴∠O=∠B=60° ,BC=a
∴OD=,CD=,
∴C(,) ,
∴B(,)
∵若将菱形向下平移2个单位,
∴平移后B点的坐标为：（，-2）；
将平移后B点的坐标代入反比例函数的解析式得出k=·(-2) ①;
将C点坐标代入反比例函数的解析式得出k=·②；
由①②得·=·(-2），
解得 a=∴k=
∴反比例函数的表达式y=
故答案为：A.
【分析】过点C作CD⊥OA于点D，设菱形的边长为a,根据菱形的性质得出∠O=∠B=60° ,BC=a，根据锐角三角函数得出OD,CD的长，从而得出C点的坐标，进而得出B点的坐标，再得出菱形向下平移2个单位B点的坐标，将平移后B点的坐标代入反比例函数的解析式得出k，将C点坐标代入反比例函数的解析式得出k，根据同一个量两种不同的表示方法列出方程，求解得出a的值，进而得出k的值，得出反比例函数的解析式。

9.【答案】D
【解析】：连接OC，过点AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F
∴∠AEO=∠CFO=90°
∴∠OAE+∠AOE=90°
∵OA=OB，CA=CB
∴CO⊥AB
∴∠AOC=90°
在Rt△AOC中，cos∠CAB=
设OA=， AC=5x
∴OC=
∵∠AOE+∠COF=90°
∴∠AOE=∠COF
∴△AOE∽△OCF
∴
∴OF=2AE，CF=2OE
∴OF CF=4AE OE
根据题意得：AE OE=|k1|，OF CF=|k2|，k2＞0，k1＜0
∴k2=-4k1故答案为：D
【分析】连接OC，过点AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，利用反比例函数的性质及等腰三角形的性质，可证得CO⊥AB，利用锐角三角函数的定义，可得出，设OA=， AC=5x，求出OC 的长，再证明△AOE∽△OCF，根据相似三角形的性质，得出OF=2AE，CF=2OE，可得出OF CF=4AE OE，然后根据反比例函数的几何意义，可得出k2与k1的关系，即可得出答案。

10.【答案】A
【解析】：过E作y轴和x的垂线EM，EN，
设E(b,a)，
∵反比例函数y=(x>0)经过点E，
∴ab=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC,DO=BD=2，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴ME∥x,EN∥y，
∵E为CD的中点，
∴DO⋅CO=,
∴CO=，
∴tan∠DCO=
∴∠DCO=30∘，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60∘,
∴∠1=30∘,AO=CO=，
∵DF⊥AB，
∴∠2=30∘，
∴DG=AG，
设DG=r,则AG=r,GO=23√−r，
∵AD=AB,∠DAB=60∘，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60∘，
∴∠3=30∘，
在Rt△DOG中,DG2=GO2+DO2，
∴r2=(−r)2+22，
解得：r=，
∴AG=，
故答案为：A
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，先证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab=，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠DCO=30°，再根据菱形的性质可得∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG 长。

二、填空题
11.【答案】8
【解析】：∵反比例函数经过点（2,3）
∴k-2=2×3=6
解之：k=8
故答案为：8
【分析】把点（2,3）代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程即可求得k的值。

12.【答案】
【解析】设反比例函数解析式为y= ，
由题意得：m2=2m×(-1)，
解得：m=-2或m=0（不符题意，舍去），
所以点A（-2，-2），点B（-4，1），
所以k=4，
所以反比例函数解析式为：y= ，
故答案为：y= .
【分析】根据反比例函数图像上的点的坐标特点，可以得出m2=2m×(-1)，求出得出m的值，从而可以得出比例系数k的值，得出反比例函数的解析式。

13.【答案】y2＜y1＜y3
【解析】：设t=k2﹣2k+3，
∵k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，
∴t＞0．
∵点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（1，y3）都在反比例函数y= （k为常数）的图象上，
∴y1=﹣，y2=﹣t，y3=t，
又∵﹣t＜﹣＜t，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
【分析】首先利用配方法将反比例函数的比例系数配成一个非负数+一个正数的形式，得出反比例函数的比例系数一定是正数，然后把A,B,C三点的坐标分别代入双曲线的解析式得出y1、y2、y3，根据实数比大小的方法即可得出答案。

14.【答案】4
【解析】：∵点D在反比例函数的图象上，∴设点D（a, ），∵点D是AB的中点，
∴B（2a, ），
∵点E与B的纵坐标相同，且点E在反比例函数的图象上，
∴点E（2a, ）
则BD=a,BE= ,
∴，
则k=4
故答案为：4
【分析】由的面积为1，构造方程的思路，可设点D（a, ），在后面的计算过程中a将被消掉；
所以在解反比例函数中的k时设另外的未知数时依然能解出k的值。

15.【答案】，
【解析】：不等式kx+b＞的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2．故答案为：﹣6＜x＜0或x＞2．【分析】
关于x的不等式kx+b的解集即是直线高于曲线的x 的取值范围。

而两个函数图像的交点为A(2，3)，B(−6，−1)，所以解集为x>2，-6 <x<0。

16.【答案】-3
【解析】如图，
设A(a， a+4)，B(c， c+4)，则
解得： x+4= ，即x2+4x−k=0，
∵直线y=x+4与双曲线y= 相交于A、B两点，
∴a+c=−4，ac=-k，
∴(c−a)2=(c+a)2−4ac=16+4k，
∵AB= ，
∴由勾股定理得：(c−a)2+[c+4−(a+4)]2=( )2，
2 (c−a)2=8，
(c−a)2=4，
∴16+4k =4，
解得：k=−3，
故答案为：−3.
【分析】先根据一次函数的解析式设出点A，B的坐标，再代入双曲线的解析式中，再结合根与系数的关系用k表示出（c-a）2的值，从而利用勾股定理表示出AB的长度，即可求得k的值.
17.【答案】12
【解析】：如图，连接BD，过点E作EM⊥x轴于点M
∵矩形ABCD中，E是AC的中点
∴BD必经过点E
设点E的坐标为（a，）
∵EM∥AD，点F为AC的中点
∴ME是△ADB的中位线
∴AD=2EM=
∵点D在双曲线上
∴点D的坐标为（，）
∴AD=,OM=a，AO=
∴AM=，则AB=a
∴矩形ABCD的面积=AD×AB=×a=12
故答案为：12
【分析】连接BD，过点E作EM⊥x轴于点M，根据矩形的性质，可得出BD必经过点E，设点E的坐标为（a，），根据EM∥AD，点F为AC的中点，分别求出AD、AB的长，然后利用矩形的面积公式，即可求解。

18.【答案】3
【解析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，
∴CO⊥AB，∠CAB=30°，
∴∠ACO=60°
tan∠ACO==
则∠AOD+∠COE=90°，
∵∠DAO+∠AOD=90°，
∴∠DAO=∠COE，
又∵∠ADO=∠CEO=90°，
∴△AOD∽△OCE，
∴==，
∴=()2=3，
∵点A是双曲线y=−在第二象限分支上的一个动点，
∴S△AOD=×|xy|=
∴S△EOC=，即×OE×CE=，
∴k=OE×CE=3，
故答案为：3.【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，先证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S△AOD，得到S△EOC，利用三角形的面积公式求出k的值即可。

三、解答题
19.【答案】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，∴．解
得.∴反比例函数解析式：y= ，∴点B（2，4），（8，1）．过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．在△BDP和△BDP′中，
，∴△BDP≌△BDP′．∴DP′=DP=6．∴点P′（﹣4，1）．
∴，解得：．∴一次函数的表达式为y= x+3．
【解析】【分析】因为在同一个反比例函数中，各点的坐标横纵坐标之积相等，所以2n=3n-4，由此可求出点B的坐标（2，4），点P（8，1），所以反比例函数解析式为：；因为BC平分∠ABP，所以做
点P关于BC的对称点交AB与点，所以可知点的坐标为（-4，1）；将点B（2，4）、（-4，1）带入到y=kx+b中即可求出一次函数解析式.
20.【答案】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
设B（m，）
在Rt△ABO中，∵∠B=30°，
∴OB= OA，
∵∠AOD=∠OBE，
∴Rt△AOD∽Rt△OBE，
∴，即，
∴AD= ，OD= ，
∴A点坐标为，
设点A所在反比例函数的解析式为，
∴k= ，
∴点A所在反比例函数的解析式为．
【解析】【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，设B（m，）如图，根据含30°的直角三角形边之间的关系得出OB=OA,根据同角的余角相等得出∠AOD=∠OBE，从而判断出Rt△AOD∽Rt△OBE，根据相似三角形对应边成比例用含m的式子表示出AD,OD的长，从而得出A点的坐标，然后利用待定系数法即可求出点A所在反比例函数的解析式.
21.【答案】解：（Ⅰ）∵△AOB的面积为4，
∴(−x A)•y A＝4，
即可得：k=x A•y A=﹣8，
令x=2，得：m=4；
（Ⅱ）当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，
令x=1，得：y=﹣8；
令x=4，得：y=﹣2，
所以﹣8≤y≤﹣2即为所求．
【解析】【分析】（Ⅰ）根据点A的坐标及△AOB的面积为4，可得出k的值，从而可求出m的值。

（Ⅱ）根据反比例函数的性质，可得出当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，再分别求出x=1、x=4时对应的函数值，就可求出y的取值范围。

22.【答案】解：∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴B（3，2）．∵F为AB的中点，∴F（3，1）．∵点F
在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=3，∴该函数的解析式为（x＞0）
【解析】【分析】根据矩形的性质由矩形的边长OA=3，OC=2得出B点的坐标，又F为AB的中点，故能得出F点的坐标，然后将F点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出比例系数K的值，从而得出反比例函数的解析式。

23.【答案】（1）解：将A（4，-2）代入，得k2=-8,所以y=- 将（-2.n）,代入y=- 得n=4.所以k2=-8,n=4
（2）
（3）解：∵点B（-2，n）在反比例函数上，
当x=-2时，则y=4，则B（-2，4）.
将A（4，-2），B（-2,4）代入，可得
，解得
∴一次函数的关系式为，与x轴交于点C（2,0）.
图象沿x轴翻折后，得A'（4,2），如图，过点B作BD⊥AA'，交AA'的延长线为D，
，
∴△A'BC的面积为8.
【解析】（2）当k1x＋b＜时，表示一次函数值y比反比例函数值小，即在坐标系中，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方时，-2<x<0或x>4.
【分析】（1）将A（4，-2）代入，求k2的值即可；（2）采用图象法，由一次函数y=k1x＋b和
反比例函数y= 的图象，当k1x＋b＜时，表示一次函数值y比反比例函数值小，根据图象写出x的
取值范围；（3）由计算面积即可.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．不等式组1212x x -≥⎧⎨
+>⎩ 的最小正整数解是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．关于反比例函数y ＝﹣，下列说法中正确的是（ ）
A.它的图象位于一、三象限
B.它的图象过点（﹣1，﹣3）
C.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
D.当x ＜0时，y 随x 的增大而减小
3．如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的边OA 在y 轴上，OB 在x 轴上，反比例函数y ＝k x (k≠0)与斜边AB 交于点C 、D ，连接OD ，若AC ：CD ＝2：3，S △OBD ＝72
，则k 的值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶15千米．若设甲车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是( )
A ．304015x x =+
B ．304015x x =-
C ．304015x x =-
D ．304015x x
=+ 5．最小的素数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．如图，⊙O 与正方形ABCD 是两边AB 、AD 相切，DE 与⊙O 相切于点E ，若正方形ABCD 的边长为5，DE ＝3，则tan ∠ODE 为（ ）
A ．32
B ．23
C ．25
D ．
7．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图，下列选项中不是其三视图的是（ ）
A. B. C. D.
8．如图，
P 的半径为5，A B 、是圆上任意两点，且6AB =，以AB 为边作正方形ABCD （点、D P 在
直线AB 两侧）．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为（ ）
A ．5π
B ．6π
C ．8π
D ．9π
9．已知A 样本的数据如下：67，68，68，71，66，64，64，72，B 样本的数据恰好是A 样本数据每个都加6，则A 、B 两个样本的下列统计量对应相同的是( ) A ．平均数
B ．方差
C ．中位数
D ．众数
10．下列运算正确的是（ ） A ．2a 2b ﹣ba 2＝a 2b B ．a 6÷a 2＝a 3 C ．（ab 2）3＝a 2b 5
D ．（a+2）2＝a 2+4
11．平行四边形一定具有的性质是（ ） A ．四边都相等
B ．对角相等
C ．对角线相等
D ．是轴对称图形
12．如图，已知BC 是圆柱底面的直径，AB 是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A 、C 嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB 剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，点D 是BC 上一点，AD ＝5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 上的点，AE ＝
1
2
BD ，AC ＝6.5，则AB 的长度为___．
14．观察下面三行数： ﹣1，2，﹣3，4，﹣5，… 3，﹣6，9，﹣12，15，… ﹣1，8，﹣27，64，﹣125，…
（1）第一行的第7个数是_____，第二行的第8个数是_____，第三行的第6个数是_____； （2）取每行数的第10个数，这三个数的和为_____．
15．在平面直角坐标系中，若点P(2x ＋6，5x)在第四象限，则x 的取值范围是_________； 16．如图，直线y 1=kx+b 与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），则不等式mx ＞kx+b 的解集是 ______
17．如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根，那么m 的取值范围是________．
18．已知方程组32522x y x y -=⎧⎨-=⎩
，那么x ﹣y 的值为_____．
三、解答题
19．某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x 元(x 为整数)，每周的销售利润为y 元．
(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；
(2)每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？ 20．（阅读材料）
小明遇到这样一个问题：如图1，点P 在等边三角形ABC 内，且∠APC ＝150°，PA ＝3，PC ＝4，求PB 的长．
小明发现，以AP 为边作等边三角形APD ，连接BD ，得到△ABD ；由等边三角形的性质，可证△ACP ≌△ABD ，得PC ＝BD ；由已知∠APC ＝150°，可知∠PDB 的大小，进而可求得PB 的长． （1）请回答：在图1中，∠PDB ＝ °，PB ＝ ． （问题解决）
（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB PC＝AB的长．
（灵活运用）
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，且tanα＝4
3
，点P在△ABC外，且PB＝3，PC
＝1，直接写出PA长的最大值．
21．如图1，P（m，n）在抛物线y=ax2-4ax（a＞0）上，E为抛物线的顶点．
（1）求点E的坐标（用含a的式子表示）；
（2）若点P在第一象限，线段OP交抛物线的对称轴于点C，过抛物线的顶点E作x轴的平行线DE，过点P作x轴的垂线交DE于点D，连接CD，求证：CD∥OE；
（3）如图2，当a=1，且将图1中的抛物线向上平移3个单位，与x轴交于A、B两点，平移后的抛物线的顶点为Q，P是其x轴上方的对称轴上的动点，直线AP交抛物线于另一点D，分别过Q、D作x轴、y轴的平行线交于点E，且∠EPQ=2∠APQ，求点P的坐标．
22．甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）
甲、乙两班代表队成绩统计表
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：a＝，b＝；
（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）
（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．
23．如图，E 是长方形ABCD 的边AB 上的点，EF ⊥DE 交BC 于点F （1）求证：△ADE ∽△BEF ；
（2）设H 是ED 上一点，以EH 为直径作⊙O ，DF 与⊙O 相切于点G ，若DH ＝OH ＝3，求图中阴影部分的面
π≈3.14）．
24．如图，线段BC 所在的直线是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆A 上一点，满足BD BC =，且点C ，D 位于直径AB 两侧，连接CD 交圆于点 E ，F 为BD 上一点，连接 EF ，
分别交AB ，BD 于点G ，H ，且EF BD =．
（1）求证：//EF BC ；
（2）若4EH =，2HF =，求BE 的长．
25．小丹有3张扑克牌，小林有2张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示．两人用这些扑克牌做游戏，他们分别从自己的扑克牌中随机抽取一张，比较这两张扑克牌上的数字大小，数字大的一方获胜．请用画树状图（或列表）的方法，求小丹获胜的概率．
【参考答案】*** 一、选择题
二、填空题 13．
14．﹣7、 ﹣24、 216； 980 15．﹣3＜x ＜0 16．x>1 17．4m <- 18．3 三、解答题
19．(1)y ＝﹣5x 2
+130x+1800(0≤x≤15且x 取整数)；(2)当售价为53元时，可获得最大利润2645元；(3)售价为43元时，每周利润为2145元． 【解析】 【分析】
（1）知道销售利润=利润×销售数量，结合题意，列出函数；（2）找出函数的对称轴x ＝13，分析函数中y 随x 在对称轴左右两侧的增减性，得到最大利润值.（3）将2145代入函数5x 2
+130x+1800＝y 中的y ，解函数，得到答案. 【详解】 (1)由题意得：
y ＝(40+x ﹣30)(180﹣5x)＝﹣5x 2+130x+1800(0≤x≤15且x 取整数) (2)对称轴：x ＝﹣2b a ＝﹣130
52
-⨯ ＝13， ∵a ＝﹣5＜0，
∴在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，
∴当x ＝13时，y 最大值＝﹣5×132+130×13+1800＝2645， ∴售价＝40+13＝53元
答：当售价为53元时，可获得最大利润2645元． (3)由题意得：﹣5x 2+130x+1800＝2145
解之得：x ＝3或23(不符合题意，舍去) ∴售价＝40+3＝43元．
答：售价为43元时，每周利润为2145元． 【点睛】
本题考查了一元二次函数的应用，根据题意得出等量关系是解题的关键.
20．（1）90°，5；（2 ；（3）7
2
. 【解析】 【分析】
（1）由△ACP ≌△ABD ，得∠ADB=∠APC=150°，PC=BD=4，AD=AP=3，因为△ADP 为等边三角形，所以∠ADP=60°，DP=AD=3，可得∠BDP=90°，在Rt △BDP 中，用勾股定理可求得PB 的长；
（2）如图2中，把△ACP 绕点C 逆时针旋转90°得到△BCD ．首先证明∠PDB=90°，再证明A ，P ，D 共线，利用勾股定理即可解决问题．
（3）如图3中，作CD ⊥CP ，使得CD=34PC=34
，则54=，利用相似三角形的性质求出
AD ，即可解决问题． 【详解】 （1）如图1中，
∵△ACP ≌△ABD ，
∴∠PDB ＝∠APC ＝150°，PC ＝BD ＝4，AD ＝AP ＝3， ∵△ADP 为等边三角形， ∴∠ADP ＝60°，DP ＝AD ＝3， ∴∠BDP ＝150°﹣60°＝90°，
∴PB 5．
（2）如图2中，把△ACP 绕点C 逆时针旋转90°得到△BCD ．
由旋转性质可知；BD ＝PA ＝1，CD ＝CP ＝2，∠PCD ＝90°，
∴△PCD 是等腰直角三角形，
∴PD PC ＝4，∠CDP ＝45°，
∵PD 2+BD 2＝42+12＝17，PB 2＝（2＝17， ∴PD 2+BD 2＝PB 2， ∴∠PDB ＝90°， ∴∠BDC ＝135°，
∴∠APC ＝∠CDB ＝135°，∵∠CPD ＝45°， ∴∠APC+∠CPD ＝180°， ∴A ，P ，D 共线， ∴AD ＝AP+PD ＝5，
在RtADB 中，AB ==
（3）如图3中，作CD ⊥CP ，使得CD ＝
34PC ＝34
，则PD 54=，
∵tan ∠BAC ＝4
3
BC AC =， ∴
BC PC
AC CD
=， ∵∠ACB ＝∠PCD ＝90°， ∴∠ACD ＝∠BCP ， ∴△ACD ∽△BCP ，
∴AD CD 3
PB PC 4
==， ∴9
4AD =，
∵9395
4444PA -+剟， ∴3722
PA 剟， ∴PA 的最大值为7
2
．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题.
21．(1) E （2，﹣4a ）；(2)见解析;(3) P （2
+1）． 【解析】 【分析】
（1）将原式提取公因式然后化简即可解答
（2）设直线OE 的解析式为：y ＝k x ，把E 点代入可得直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ，由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nx m
，得到C （2，2n m ），然后设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，得到：k ＝﹣2a ，
即可解答
（3）当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2
﹣4x ，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2
﹣4x+3＝（x ﹣2）2﹣1，然后设P （2，t ），可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，D （3+t ，t 2+2t ），Q （2，﹣1），E （3+t ，﹣1），再设PE 交x 轴于F ，即可解答 【详解】
解：（1）y ＝ax 2﹣4ax ＝a （x 2﹣4x+4﹣4）＝a （x ﹣2）2﹣4a ， ∴E （2，﹣4a ）；
（2）设直线OE 的解析式为：y ＝kx ， 把E （2，﹣4a ）代入得：2k ＝﹣4a ， k ＝﹣2a ，
∴直线OE 的解析式为：y ＝﹣2ax ， 由P （m ，n ）得直线OP 的解析式为：y ＝nx
m
， ∴当x ＝2时，y ＝2n m ，即C （2，2n m
）， ∵D （m ，﹣4a ），
设直线CD 的解析式为：y ＝kx+b ，
将点D 和C 的坐标代入得：422km b a
n k b m +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩
（n ＝am 2
﹣4am ）
， 解得：k ＝﹣2a ， 根据两直线系数相等， ∴OE ∥CD ；
（3）如图2，当a ＝1时，抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x ，
向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y ＝x 2
﹣4x+3＝（x ﹣2）2
﹣1， ∴Q （2，﹣1），A （1，0），B （3，0）， 设P （2，t ），
可得AP 的解析式为：y ＝tx ﹣t ，
联立方程组为：243y tx t y x x =-⎧⎨=-+⎩ ，解得：11
10x y =⎧⎨=⎩ ，22
232x t
y t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ， ∴D （3+t ，t 2+2t ）， ∵Q （2，﹣1）， ∴E （3+t ，﹣1），
∴PQ＝QE＝t+1，
∴∠EPQ＝45°，
∵∠EPQ＝2∠APQ，
∴∠APQ＝22.5°，
设PE交x轴于F，
∵∠DEP＝45°，
∴ME＝FM＝1，
∴∠FPA＝∠PAF＝67.5°，
∴PF＝AF＝t+1，
∵FP，
t＝t+1，
t
+1，
∴P（2 +1）．
【点睛】
此题为二次函数综合题，需要熟练掌握运算方法
22．（1）8.5，b＝8；（2）甲班;（3）2
3
．
【解析】
【分析】
（1）利用条形统计图，结合众数、中位数的定义分别求出答案；
（2）利用平均数、方差的定义分析得出答案；
（3）首先根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与恰好抽到甲，乙班各一个学生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：（1）甲的众数为：8.5，乙的中位数为：8，
故答案为：8.5，8；
（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
故答案为：甲班；
（3）列表如下：
所有等可能的结果为6种，其中抽到甲班、乙班各一人的结果为4种，
所以P（抽到A，B）＝42
63 =．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积约为6.2．
【解析】
【分析】
（1）由条件可证∠AED＝∠EFB，从而可证△ADE∽△BEF．
（2）由DF与⊙O相切，DH＝OH＝OG＝3可得∠ODG＝30°，从而有∠GOE＝120°，并可求出DG、EF长，从而可以求出△DGO、△DEF、扇形OEG的面积，进而可以求出图中阴影部分的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°．
∴∠AED＝90°﹣∠BEF＝∠EFB．
∵∠A＝∠B，∠AED＝∠EFB，
∴△ADE∽△BEF．
（2）解：∵DF与⊙O相切于点G，
∴OG⊥DG．
∴∠DGO＝90°．
∵DH＝OH＝OG，
∴sin∠ODG＝
1
2 OG
OD
=．
∴∠ODG＝30°．∴∠GOE＝120°．
∴S扇形OEG＝
2
1203
360
π⨯
＝3π．
在Rt△DGO中，
cos ∠ODG ＝
DG DG DO 62
==
．
∴DG ＝ 在Rt △DEF 中，
tan ∠EDF ＝
9EF EF DE ==
∴EF ＝
∴S △DEF ＝
11922DE EF ⋅=⨯⨯=
S △DGO ＝
11322DG GO ⋅=⨯=
∴S 阴影＝S △DEF ﹣S △DGO ﹣S 扇形OEG
﹣3π
＝3π ≈9×1.73﹣3×3.14 ＝6.15 ≈6.2
∴图中阴影部分的面积约为6.2．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积．
24．（1）详见解析；（2）3
【解析】 【分析】
（1）先求出//BF DC ，再利用同位角相等两直线平行进行求证即可 （2）连接 DF ，根据题意先求出1
12
HG FG HF EF HF =-=-=，再利用三角函数求出60BHG ∠=︒，
再由（1）得出圆的半径为
【详解】 （1）证明：
EF BD =，
∴EF BD =
∴EF BF BD BF -=-
即 BE DF =
∴BDE DBF ∠=∠，
∴//BF DC ．
DF DF = ，
∴DBF DEF ∠=∠， ∴BDE FED ∠=∠．
BD BC =，
∴C BDE ∠=∠，
∴FED C ∠=∠， ∴//EF BC ．
（2）解：连接 DF ．
AB 为直径，BC 为切线，
∴AB BC ⊥， ∴90ABC ∠=︒，
//EF BC ，
∴90BGF ABC ∠=∠=︒， ∴AB EF ⊥，
∴1
2
FG EG EF ==， BF BE =，
∴BDF BDE ∠=∠．
4EH =，2HF =， ∴6EF FH HE =+=，
1
12
HG FG HF EF HF =-=
-= =BE BE ，
∴BFE BDE DBF ∠=∠=∠， ∴2BH FH ==．
在 Rt BGH ∆中，1
cos 2
HG BHG BH ∠=
= ∴60BHG ∠=︒，
由（1）得30FED BDE ∠=∠=︒，
∴30BDF ∠=︒，
∴18090DFE BDF BDE DEF ∠=︒-∠-∠-∠=︒， ∴DE 为直径．
在Rt DEF ∆中，cos30EF
DE =
=︒
∴圆的半径为
=BE BE ，30BDE ∠=︒，
∴BE 所对的圆心角为60︒，
∴BE 的长60=1803
π⨯
【点睛】
此题考查平行线的判定与性质，圆周角定理，解题关键在于先判定//BF DC 25．
1
2
【解析】 【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】 解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，小丹获胜的情况有3种， ∴P （小丹获胜）＝31=62
． 【点睛】
此题考查列表法与树状图法，解题关键在于画出树状图.。