高中数学指数运算和指数函数

指数运算和指数函数
要求层次重点难点幂的运算 C
①根式的概念
②有理指数幂
③实数指数幂
④幂的运算
①分数指数幂的概
念和运算性质
②无理指数幂的理
解
③实数指数幂的意
义指数函数的概念 B
在理解实数指数幂
的意义的前提下理
解指数函数
在理解实数指数幂
的意义的前提下理
解指数函数
指数函数的图象和
性质
C
①对于底数1
a>与
01
a
<<时指数函
数的不同性质
②掌握指数函数的
图象和运算性质
①对于底数1
a>与
01
a
<<时指数函
数的不同性质
②掌握指数函数的
图象和运算性质
③掌握指数函数作
为初等函数与二次
函数、对数函数结
合的综合应用问题知识框架
高考要求
指数运算和指数函数
（一）知识内容
1．整数指数
⑴ 正整数指数幂：n a a a a =⋅⋅
⋅，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底
数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．
⑵整数指数幂：规定：01(0)a a =≠，1
(0,)n n a a n a
-+=≠∈N ．
2．分数指数
⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．
① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的n 次方根用n a
② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 次方根分别表示为：n a n a (0)n a a ±>．
⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．
负数没有偶次方根．0的任何次方根都是000n ．
n a n 叫做根指数，a n a 3．根式恒等式：
()n n a a =；当n n n a a ；当n ||n n a a a a ⎧==⎨
-⎩
0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n n
a a
a => ()(0,,,)m
n m m n n
m
a a a a n m n
+==>∈N 且
既分 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n
m n
m
a
a n m n
a
-
+=
>∈N 且
既分 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈
例题精讲 板块一：指数,指数幂的运算
6．n 次方根的定义及性质：n
a ，n
a =． 7
m n
a
m n
a
-
=（0a >，,*m n N ∈，且1n >）
零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．
8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r
r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂
⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．
（二）典例分析
【例1】 求下列各式的值：
⑴
⑶
； ⑷
)a b <；⑸
⑹2
3
8；⑺12
25-；⑻5
12-⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑼34
1681-⎛⎫
⎪⎝⎭
．
【例2】 求下列各式的值：
⑴
)x y >．
【例3】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >
：3a
；2a
．
【例4】 计算下列各式：
⑴
⑵ 111
34
4
21
3
243(,0)6a a b a b a b ---
⎛⎫- ⎪
⎝⎭>-．
【例5】 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：
⑴
；⑶
54
m ⋅．
【例6】
=a 的取值范围是（ ）
A ．a ∈R
B ．12a =
C ．12
a > D ．12a ≤
【例7】 设 1120082008
(N )2
n
n
a n -
+-=
∈
，那么)n a 的值是
【例8】
若()x f x =
，求10001
(
)1001
i i f =∑
【例9】
设a =
b =
c a ，b ，c 的大小关系是
【例10】 化简：⑴1
11()()
()
a b c a b c a
b c
a b
c a b c
x
x
x
------⋅⋅
⑵a b c
【例11】 已知210x x +-=，求84
7
x x +
的值．
【例12】 下列判断正确的有
①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
（一）知识内容
1．指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，R)x ∈叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比
指数的取值
0＜a ＜1
a ＞ 1
图象
y =a x
(0<a <1)
(0,1)
O
y x
y=a x (a >1)
(0,1)
O
x
y
定义域 R
值域 (0,)+∞
性质
（1）过定点(0,1)，即0x =时，1y = （2）在R 上是减函数
（2）在R 上是增函数
3．x y a =（0a >且1a ≠）的图象特征：
1a >时，图象像一撇，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴（如图1）； 01a <<时，图象像一捺，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴（如图2）；
x y a =与x y a -=的图象关于y 轴对称（如图3）
．
图1 图2 图3
（二）主要方法：
1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解； 2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论； 3．要注意运用数形结合思想解决问题．
（三）典例分析：
【例13】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π)，求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值．
板块二：指数函数及其性质
【例14】 比较下列各题中两个值的大小：
⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．
【例15】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小：
①___b c a a ；②1b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1c
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；③11
___b
c a a ；④__a a b c ．
【例16】 已知512
a -=
，函数()x f x a =，若实数m n ，满足()()f m f n >，则m n ，的大小关系为 ．
【例17】 （2007年山东潍坊统考）
若1a >，0b >，且22b b a a -+=，则b b a a --的值为（ ） A ．6 B ．2或2- C ．2- D ．2
【例18】 图中的曲线是指数函数x y a =的图象，已知a 取4133,,,3105
四
个值，则相应于曲线1234,,,c c c c 的a 依次为_______________．
【例19】 求下列函数的定义域、值域
⑴1
1
2
x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2
120.5x x y +-=
（一）知识内容：
复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点．
1．和差函数的单调性
两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数． 2．复合函数[()]f g x 的奇偶性、单调性有如下规律：
值得注意的是，当且仅当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ，
c 4
c 3c 2
c 1
P 4P 3
P 2
P 11
O
y
x
板块三：指数函数和其它函数的运算与复合
（二）典例分析：
【例20】 已知函数2
()()1
x x a
f x a a a -=
--，其中0a >，1a ≠． ⑴判断函数()f x 的奇偶性； ⑵判断函数()f x 的单调性，并证明．
【例21】 已知2
()()(0,1)2
x x a
f x a a a a a -=
->≠-是R 上的增函数，求a 的取值范围．
【例22】 已知1
1()212x
f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭
． ⑴求证：()0f x >；
⑵若()()()F x f x t f x t =++-（t 为常数），判断()F x 的奇偶性．
【例23】 已知2()82f x x x =+-，2()(2)g x f x =-，则()g x 在（ ）
A ．(2,0)-上为增函数
B ．(0,2)上为增函数
C ．(1,0)-上为减函数
D ．(0,1)上为减函数
【例24】 函数()342x x f x =⋅-，求()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值．
【例25】 设()124()x x f x a a =++⋅∈R ，当(,1]x ∈-∞时，()f x 的图象在x 轴上方，求a 的取值范围．
【例26】 如果函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[1,1]-上的最大值是14，求a 的值．
【例27】 （2007-2008北京四中期中测试）求函数1()423x x f x a +=-⋅+ (R)x ∈的值域．
【例28】 已知4323x x y =-⋅+，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是_________ 【例29】 求下列函数的单调区间．
⑴2
32
x
x y a -++=（0a >，且1a ≠）；
⑵已知910390x x -⨯+≤，求函数1111
()4()542
x x y --=-⋅+最值．
【例30】 求函数y =
【例31】 函数221()3x x
f x -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的单调增区间为_________，值域为___________．
【例32】 函数2
281
(01)x
x y a a --+=<<的单调增区间是________．
【例33】 判断函数11()3
x y -=的单调性．
【例34】 函数||()x f x e =（ ）
A ．是奇函数，在(,0]-∞上是减函数
B ．是偶函数，在(,0]-∞上是减函数
C ．是奇函数，在[0,)+∞上是增函数
D ．是偶函数，在(,)-∞+∞上是增函数
【例35】 用{}min a b c ，，表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{}
()min 2210x f x x x =+-，， (0)x ≥，
则()f x 的最大值为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【例36】 若对[1,2]x ∈，不等式22x m +>恒成立，求实数m 的取值范围．
【例37】 已知函数()x f x a =满足条件：当(),0x ∈-∞时，()1f x >；当()0,1x ∈时，不等式，
()()()23112f mx f mx x f m ->+->+恒成立，求实数m 的取值范围．
【例38】 在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，
即[]x 是不超过x 的最大整数．例如：[2]2=，[3.1]3=，[ 2.6]3-=-．设函数21
()122
x x
f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为（ ）
【例39】 已知函数()||1
22
x x f x =-
， ⑴若()2f x =，求x 的值；
⑵若()()220t f t mf t +≥对于[]12t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．
【例40】 已知1010()1010x x
x x
f x ---=+，判断函数的单调性、奇偶性，并求()f x 的值域．
【例41】 设a ∈R ，2
()()21
x f x a x =-∈+R ，若()f x 为奇函数，求a 的值．
【例42】 当a ＞1时，证明函数1()1
x x a f x a +=-是奇函数．
【例43】 讨论函数21()21
x x f x -=+的奇偶性、单调性，并求它的值域．
【例44】 已知函数|22|x y =-，
⑴ 作出函数的图象；
⑵ 根据图象指出函数的单调区间；
⑶ 根据图象指出当x 取什么值时，函数有最值．
【例45】 如果函数2()(31)x x f x a a a =--(0,1)a a >≠且仔区间[)0,+∞上是增函数，那么实数a 的取值
范围是（ ）
A ．20,
3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1⎫⎪⎪⎣⎭ C ．(1, D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【例46】 求函数11()1([3,2])42x x f x x ⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间及其值域．
【例47】 已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+⋅-的最大值和最小值．
【例48】 若关于x 的方程1125450x x m -+-+-⋅-=有实根，求m 的取值范围．
【例49】 方程2x =2-x 的解的个数为______________．
【例50】 解方程：2129240x x +-⋅+=．
【例51】 小明即将进入一大学就读，为了要支付4年学费，小明欲将一笔钱存入银行，使得每年皆有
40000元可以支付学费．而银行所提供的年利率为6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额．
【例52】 因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复
合后得到的，比如下列函数：()()()22x f x g x h x x ===，，则()()f x g x ，复合后可得到
函数()()2x g f x g ==⎡⎤⎣⎦和()f g x f ==⎡⎤⎣⎦个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由()()f x g x ，进行乘法运算得到
函数()()2x f x g x =．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究．
⑴复合函数(){}
f h
g x ⎡⎤⎣⎦的解析式为 ；其定义域为 ．
⑵可判断()()2x f x g x =是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；
⑶已知函数()2x f x -，若()()121f x f x +>-，则x 的取值范围为 ．
⑷请用函数()()()()22ln x f x g x h x x k x x ===，，中的两个进行复合，得到三个函数， 使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．
基本初等函数包括以下6种：
⑴常值函数（也称常数函数）y c =（其中c 为常数）
⑵指数函数 x y a =(0,1)a a >≠且
⑶对数函数 log a y x =(0,1)a a >≠且
⑷幂函数 y x α=（α∈R ）
⑸三角函数：（其中包括六种三角函数：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）
⑹反三角函数：（其中包括四种反三角函数：反正弦，反余弦，反正切，反余切；关于反正割，反余割一般不用）
所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数． 基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数．。