2000年数学建模B题钢管订购和运输

关于下面3个问题（可以是其中某个小问题），试分别建立模型。

包括给出问题分析和建模思路、模型假设、变量说明、模型建立。

不需要求解。

1 B 题 钢管订购和运输
要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道, 如图一所示(见反面)。

经筛选后可
以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,S S S 。

图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。

为方便计，1km 主管道钢管称为1单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。

钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为i s 个单位，钢管出厂销价1单位钢管为i p 万元，如下表：
1单位钢管的铁路运价如下表：
1000km 以上每增加1至100km 运价增加5
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。

钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521,,,A A A ，而是管道全线）。

（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。

（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。

（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。

7
7
问题分析
问题一，首先，所有钢管必须运到天然气主管道铺设路线上的节点
1521A A A →→→ ，然后才能向左或右铺设。

必须求出每个钢管厂721,,S S S 到每个节点1521A A A →→→ 的每单位钢管的最小运输费用。

问题二，通过问题一里面Lingo 编程运行得出的结果，分析哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。

问题三，利用同问题一一样的方法，从而可求出某钢厂到某某铺设点运输单位钢管的最少运输费用。

（具体算法及程序见附录）
1) 基本假设:
○1要铺设的管道侧有公路，可运送所需钢管。

○2钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计中转（换车）费用； ○3所需钢管均由)7,...,1(=i S i 钢厂提供； ④假设运送的钢管路途中没有损耗。

2) 符号说明:
i
S : 钢厂i S 的最大生产能力;
i
p : 钢厂
i
S 的出厂钢管单位价格(单位: 万元) ;
d : 公路上一单位钢管的每公里运费(d = 0. 1 万元) ;
e : 铁路上一单位钢管的运费(分段函数见表1) ;
ij
c : 1 单位钢管从钢厂i S 运到j A 的最小费用(单位: 万元) ; j
b : 从
j
A 到
1
+j A 之间的距离(单位: 千米) ;
ij
x : 钢厂i
S 运到j
A 的钢管数;
y j : 运到
j
A 地的钢管向左铺设的数目;
j
Z ：运到
j
A 地的钢管向右铺设的数目;
i t : =⎩⎨⎧不提供钢管；，钢厂提供钢管；，钢厂i i S 0S 1
W : 所求钢管订购、运输的总费用(单位: 万元) ;
模型的建立与求解
问题一的模型：
目标函数是总费用W , 它包含三项: 钢管出厂总价Q , 运输费P , 及铺设费T. 即
W = Q + P + T
其中 ij
i j i x p Q ∙=∑∑==7
115
1 ，
ij
i j ij x c P ∙=∑∑==7115
1
，
铺设费T 可以如下来确定：j
A 开始从左右两个方向铺设，j y 与z j 单位长钢管的费用为(1)12 (2)
j j
j y y d d d y d
++++=与(1)2
j j
z z d
+
故 ()()15
11122j j j j j y y z z T d =⎡⎤
++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑
目标函数为：
()()7
15
7
15
15
11
11
1
11min 22j j j j i ij ij ij i j i j j y y z z W p x c x d =====⎡⎤
++=∙+∙++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑∑
约束条件为:
① 生产能力的限制:
i
i j ij i t s x t ∙≤≤∙∑=15
1500 ，)7,...,
1(=i )
10(或=i t
② 运到j A 的钢管用完: 7
1
ij j j i x y z ==+∑，)15,...,
1(=j ③j A 与j-1A 之间的钢管: j 1j j z y b ++=，)14,...,
1(=j ④ 变量非负性限制:0,0,0j ij j x y z ≥≥≥, )15,...,1,7,...,1(==j i ⑤ 运到
j
A 的钢管整数限制:
N
x ij ∈
模型一
()()71571515
11
11
1
11min 22j j j j i ij ij ij i j i j j y y z z W p x c x d =====⎡⎤
++=∙+∙++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑∑
s.t.
i
i j ij i t s x t ∙≤≤∙∑=15
1500 ，)7,...,
1(=i )
10(或=i
t
7
1
ij j j i x y z ==+∑，)15,...,
1(=j j 1j j z y b ++=，)14,...,
1(=j 1y =0 , 15z =0
0,0,0j ij j x y z ≥≥≥, )15,...,
1,7,...,1(==j i i t =0或1 (i=1,..,7)
d=0.05; 问题三的模型
由于树形图的出现，则某些管道处会出现多支路。

则模型一中模型的
j
L ，
j
R 不
再适用，此时可考虑多增加一些支路变量，并增加约束，在目标函数中增加相应的铺设费。

目标函数：
()()7
21
7
21
11
11
15
14
99171711112
1
min 111(1)12
2
222i ij ij ij i j i j j
j
j
j
j j W p x c x y y
z z
m m m m d =======∙+∙+
⎡⎤+++++++++⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑∑∑
（m ）（m ）
约束条件：
① 生产能力的限制: i
i j ij i t s x t ∙≤≤∙∑=21
1500 )7,...,
1(=i )
10(或=i t
② 运到
j
A 的钢管用完:7
1
ij j j i x y z ==+∑ )17,11,921,...,1(≠=j j 且
7
1
ij j j j i x y z m ==++∑ )17,11,9(=j
③
j
A 与
1
j +A 之间的钢管:j 1j j z y b ++= )14,...,
1(=j 91642m y += 1117m 10m += 1718130y y +=
1719190z y += 1920260z y += 2021100z y +=
④ 变量非负性限制: 0,0,0,0j j ij j x y z m ≥≥≥≥, )21,...,1,7,...,1(==j i ⑤ 运到j
A 的钢管整数限制:
N
x ij ∈
模型二
()()7
21
7
21
11
11
15
14
99171711112
1
min 111(1)12
2
222i ij ij ij i j i j j j
j j
j j W p x c x y y z z m m m m d =======∙+∙+
⎡⎤+++++++++⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑∑∑
（m ）（m ）
s.t.
21
1500(1,..,7)i ij i i j t x s t i =∙≤≤∙=∑
7
1
ij j j i x y z ==+∑ )17,11,921,...,1(≠=j j 且
7
1
ij j j j i x y z m ==++∑ )17,11,9(=j
j 1j j z y b ++= )14,...,
1(=j 91642m y += 1117m 10m += 1718130y y +=
1719190z y += 1920260z y += 2021100z y += 0,0,0,0j j ij j x y z m ≥≥≥≥, )21,...,1,7,...,1(==j i
01i t =或(i=1,..,7)
d=0.05;。