第52节质点系的角动量定理及角动量守恒定律

mgl sin kˆ

BABrB(AW ˆj)ˆjl
(sin ( B
iˆ ˆj) ˆj
cosˆj) 0

(mgˆj)

mgl
sin
kˆ
拉力 T 的力矩：
A

rA
T

(l sin iˆ) T (sin iˆ cosˆj)
z 轴通过滑轮的轴线垂直纸面向外。
x
设滑轮的半径为 r 由于是理想滑轮，故两边绳的拉力相等；在法码脱离弹簧前，两 边法码和法码盘所受的重力也相等；故外力对 z 轴的力矩为零，体系 对 z 轴的角动量守恒。
v
m m
mm
初态：法码和法码盘静止，所以 Lz = 0;
v1
v2
末态：
设被弹起的砝码的速度为 v ， v 垂直向上， v vˆj ，对 z 轴的角动量：
L

r1

(mv)

mrvkˆ

两侧砝码盘的速度分别为
v1
和
v2
，
v1
方向垂直向下，
v2
方向垂直向上。由于绳不
伸长，故|
v1
|=|
v2
|=v

左侧的砝码盘向下运动：
v1

vˆj
，对
z
轴的角动量：
L1

r1

(mv1
)

mrv
kˆ

右侧的砝码和砝码盘一起运动，
（1）抓住绳子前： L mvr 70 6.55 2275kgm2/s
抓住后，每个运动员将围绕 O 点作圆周运动，速率不变。由于速度方向还是与位置矢
量方向垂直，且运动员距 O 点的距离不变，故角动量与抓住绳子前相同。
（2）当绳长为 5 米时，运动员距 O 点的距离为 r=2.5m。由于运动员绕 O 点作圆周运动，
L0
砝码上升的总高度为：
h h y 3kL20 8mg
5.2.3 两个滑冰运动员的质量各为 70kg，以 6.5m/s 的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的
垂直距离为 10m．当彼此交错时，各抓住 10m 绳索的一端，然后相对旋转．(1)在抓住绳索
一端之前，各自对绳中心的角动量是多少?抓住之后是多少?(2)他们各自收拢绳索，到绳长

lT
sin
coskˆ

1 2
lT
sin
2kˆ
B

rB
T

l T
T T

0
AB

( A

ˆj) ˆj

( B

ˆj) ˆj

0
角动量：
LA LB

rA rB
mv

mv

(l sin iˆ) (ml sin kˆ) ml 2 sin 2 ˆj l( sin iˆ cosˆj) (ml sin kˆ) ml 2(cos
为 5m 时，各自的速率如何?(3)绳长为 5m 时，绳内张力多大? (4)二人在收拢绳索时，各做
了多少功? (5)总动能如何变化?
O
解：设绳子的中点为 O。考虑两运动员组成的质 m, v
r
m, v
点系，外力为重力和冰面的支撑力。由于是在水
平面上运动，故重力和支撑力大小相等、方向相反。所以外力矩为零，角动量守恒。
sin iˆ
sin 2
ˆj)
|L
B
|
ml 2
cos2 sin 2 sin 4 ml 2 sin
LAB (LA ˆj) ˆj (LB ˆj) ˆj ml 2 sin 2 ˆj
右侧小球：


受力：W mgˆj ，T T ( sin iˆ cosˆj)
此弹簧竖直放在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为 m 的砝码，另一砝码盘上也放一质量为
m 的砝码，使两盘静止。燃断轻线，弹簧达到自然伸展状态即与砝码脱离。求法码升起的
高度。已知弹簧的劲度系数为 k，被压缩的长度为 L0
解：考虑法码和法码盘组成的质点系，外力为重力和滑轮两边绳的拉
y
力。
选择坐标系：原点位于滑轮的中心，x 轴沿水平方向，y 轴铅直向上，
sin iˆ
sin 2 ˆj)
|L
B
|
ml 2
cos2 sin 2 sin 4 ml 2 sin
LAB (LA ˆj) ˆj (LB ˆj) ˆj ml 2 sin 2 ˆj
5.2.2 理想滑轮悬挂两质量为 m 的砝码盘。用轻线拴住轻弹簧的两端使它处于压缩状态，将
轴的角动量．杆质量不计
解：（本题中 A 点的位置不明确，A 点应与两小球同
y
高度） 以 A 点为坐标原点建立坐标系，x 轴向右，y 轴向上， z 轴垂直于纸面向外。
B
l
l
T

T
左侧小球：
1
A
2x


受力：W mgˆj ，T T (sin iˆ cosˆj)
mg
mg
位失：相对于
A
点：
Ew

(2mg

1 4
L0
mg

1 4
L0
mg

3 4
L0 ) 0

mgL0
以弹簧自然伸长时为弹性势能的零点，则弹性势能的改变为：
Es
0
1 2
k L2o
体系动能的改变量：
Ek

1 2
(2m)v
2

1 2
mv
2

1 2
mv2

3 2
mv 2

1 2
mv2

v

1 3
v

2 3
v2

vˆj ，对
z
轴的角动量：
L
2

r2

(2mv2
)

2mrvkˆ
由角动量守恒： L1 L2 L 0 ，得
2mrv mrv mrv 0 v 3v
即：向上弹起的砝码的速率是砝码盘的 3 倍。该式对在燃断轻线后、砝码在弹离弹簧 前的任意时刻都适用。
位失：相对于
A
点：
rA

l sin iˆ
相对于 B
点：
rB
l(siniˆ cosˆj)

l T
T
速度：小球绕 y 轴作匀速圆周运动，速率为： v r l sin
在图中所示位置：
v

vkˆ

l
s in kˆ
重力矩：
A

rA
W

(l sin iˆ) (mgˆj)

4436J
（5）总动能的改变：
Ek

1 2
mv2

1 2
mv2

(
1 2
mv
2

1 2
mv
2
)

8872
J
总动能增加

lT sin
coskˆ


1 2
lT
sin
2kˆ
B AB

rB T (A ˆj) ˆj

l
T
T(B

T ˆj)
0 ˆj 0
角动量：

L
A
LB

rA rB
mv
mv

(l sin iˆ) ml sin kˆ ml 2 sin 2 ˆj l(sin iˆ cosˆj) ml sin kˆ ml 2( cos
mv2
由机械能守恒 Ew Es Ek 0 ，得：
2 3
mv 2
mgL0

1 2
k L20

0
v2 3kL20 3gL0 4m 2
砝码弹离弹簧后作自由上抛运动，设其上升的最大高度为 h，则
1 2
mv 2

mgh
h
v2 2g

3k L20 8mg

3 4
设法码盘向下移动了y，法码向上移动了y：
y
t
vdt
t
t
t
y vdt 3vdt 3 vdt
0
0
0
0
y 3y
由y
+
y
=
L0，得： y

3 4
L0
y

1 4
L0
右侧的砝码和法码盘向上移动了y。 设开始时，体系的重力势能为零，则砝码弹离弹簧时重力势能的改变为：
故运动员的角动量为：mvr。由角动量守恒：
mvr mvr v v r 2v 13m / s r
(3)绳内张力提供向心力：
v2
13 2
T m 70 4732 N
r
2.5
(4)由动能定理：
A
1 2
mv
2

1 2
mv 2

70 (132 2
6.52 )
rA

l sin iˆ
相对于 B
点：
rB

l(siniˆ cosˆj)

l T
T
速度：小球绕 y 轴作匀速圆周运动，速率为： v r l sin