矩阵论复习题 带答案1

矩阵论复习题
1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。

证明: 充分性：
A 与
B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:
A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1
A RBR -=
11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换
111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。

因此A 与B 的特征值相同。

#
2 作出下列矩阵的奇异值分解
10(1)A 0111⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)
632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎣⎦
特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2T
C A A ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
-⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
特征值对应，特征值对应
故26
3 2 6 32
210263 2 203 2 6 3220063 2 20 3
3H
A ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
-⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
特征值对应，特征值对应，特征值对应 010102
2200A 001 2
2020220
2
2H
⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3.求下列矩阵A 的满秩分解
123002111021A ⎛⎫
⎪=- ⎪
⎪⎝⎭
1122110012300
10,0211101021110012300
10,021101100001001230=0
1
0021-11
-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故
4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则3
3B A ≥.
证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。

]43)21)[(())((222233B B A B A B AB A B A B A ++
-=++-=-
由题B A ≥，则
043
)21(,0,021,0222>++≥>+
≥-B B A B B A B A ,则033≥-B A 。

综上：3
3B A ≥成立。

5证明：Hermite 正定矩阵的模最大的元素一定位于主对角线上。

证：设()ij A a =为n 阶Hermite 正定矩阵。

用反证法，若模最大的元素||ij a 不在主对角线上，即i j ≠，不妨设i j <，则有||||,||||ij ii ij jj a a a a >>，选定A 中,i j 两行和,i j 两列，可得A 的二阶主子式
22||0ii ij ii jj ij ij
jj
a a D a a a a a =
=-<，这与矩阵A 正定矛盾。

证毕。

6设n 阶Heimite 正定矩阵有如下分块111221
22A A A A A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，11k k A C ⨯∈，证明：1122||||||A A A ≤⋅ 证明A 为n 阶Hermite 正定矩阵，我们有
H
H
H H H H 11
2111112222211212211122H
H
1222A A A =A =A,A =A A =A A =A A =A A A A A H H ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，故，，，，故正定 H H
11221221112212121212H 112212121122||=||||-||||=||||-||||0,||||0||||=||+||||||||||
A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅⋅⋅⋅>⋅≥⋅⋅≤⋅因此，，所以
7设A 为n 阶Hermite 正定矩阵，对n C y x ∈,，定义Ax y y x H
=),( 证明：（1）在上述定义下n
C 是酉空间；()()
Ay y Ax x Ay x H H H ≤2
证明：()Sy Sx Sy Sx Sy S x Ay x H
H
H
H
≤==
()()()()()()
Ay
y Ax x Sy
S Sxy S x Sy Sy Sx Sx Sy Sy Sx Sx Ay x H H H H H H H
H
H ===≤∴,,2
8证明：在酉空间V 中，,V αβ∀∈，若,αβ正交，则有2
2
2
||||||αβαβ+=+. 证明：
22222222||++;=0=0
==||||αβαβαβαββααβαββααβαβ+=+=+++（），而正交故，原式。

#
9设m n
A C ⨯∈，n m
B C
⨯∈，证明AB 与BA 有相同的非零特征值.
证明：
,m m n n AB C BA C ⨯⨯∈∈
-1-1-1AB AB ==A BA =B =A =A =λααλαβαβαλαλαλβ对于，存在，有，令有。

10.设A 是n 阶矩阵，证明：
（1）如果A 是hermite 矩阵，则A 的特征值均为实数；
（2）如果A 是反hermite 矩阵，则A 的特征值均为零或纯虚数。

证明：（1）由题得，H A A =，H A 是A 的共轭转置，λ是A 的任意特征值，α是相应特征向量。

则A αλα=，两边取共轭转置得'H H H A αλα=，'λ是λ的共
轭复数，两边分别右乘α，则'H H H H
A A ααααλαα==,由A αλα=，得
'H H λααλαα=，由α不为0，H αα不为0（）0）
，故'λλ=，一个复数等于它的共轭复数，它必是实数，故λ为实数。

（2）设A 是反对称矩阵，且A αλα=（α≠0），则2||H
H A ααλααλα==(1)
两边取转置，并注意到A 为实反对称矩阵，则有
2'||H H A ααλααλα-==，'λ为λ的共轭（2）
（1）+（2）得22||'||H
H A A α
αααλαλα-=+=0
则'0λλ+=，由α为特征向量，0α≠，所以'0λλ+=，λ为0或纯虚数。

11 设A ，B 是n 阶矩阵，证明：
（1）1()n
k
k i i tr A λ==∑（2）[()][()],1,2,
.k k tr AB tr BA k ==
(1) 设12,,.......,n λλλ是A 的特征值
则1()n
i i tr A λ==∑
存在可逆矩阵P 使得
11
1............*..
.0..............................*...0.................n k k k n P AP B B λλλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦
所以k B 的全部特征值为12,,...........k k k n λλλ且1k P AP B -= 所以k A 的全部特征值为12,,............n λλλ 由1()n
i i tr A λ==∑得
1
()n
k
k i i tr A λ==∑
得证。

（2）因为A ，B 是n 阶矩阵，所以
1
11
11
1
()()()()
n
n
n
n
n
n
ii ij ji ji ij jj i i j j i j tr AB AB A B B A BA tr BA ===========∑∑∑∑∑∑
反复利用上式可得，[()][()],1,2,............k k tr AB tr BA k ==
12对下列矩阵A ，求F A A A A ,,,21∞
（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221211
411A （2）⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=121011
A
(1)
1
2
30468
8,,6,33
2
F
A
A
A
A
∞
+
==
==
(2)
1
2
3,42,3,22
F
A
A
A
A
∞
==+==
我找的
解：（1）33,6,08.5,821====∞F
A A A A （2）8,3,33.2,321====∞F
A
A A A
13设(a )m n
ij A C ⨯=∈，证明：
（1）22();
F
A A
rank A A ≤≤
11(A)
2
2
22
1
max((AA ))((AA ))(
)()rank H
H
i F i A tr A rank A A λλ==≤==≤∑
（2）
;1
1∞∞≤≤A m A A n
111111
max(||)max(||)max(||);n m n
ij ij ij j i j A a a A m a m A n n ∞∞====≤=≤=∑∑∑
（3）
21
;A A m A n ∞∞≤≤
111222211
11(||)(max((AA )))(||);n n
H
ij ij j j A a A m a m A n n λ∞∞===≤=≤=∑∑
14 设(a )n n
ij A C ⨯=∈ 是严格对角占优矩阵，并且对角元均为正数，证明：A 的特征值的
实部均大于零。

证明：
Gerschgorin 圆盘
对角元均为正数，圆心在正实轴，因为严格对角占优矩阵，半径小于圆心到原点的距离，故
A 的特征值的实部均大于零
(a )n n
ij A C
⨯=∈ 是严格对角矩阵，我们有1
|a ||a
|n
jj ij
n =>
∑ ，且0jj a >。

根据定义6.4.2有1(A)||z a ||a |n n n i ij ij j j i G z C ⨯=≠⎧⎫⎪⎪
=∈-≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭
∑ 。

根据定理6.4.5（Gerschgorin 定理），我们有1
1
11
(A)(A)|a
|n
n
n
n i ij
ii j i i i j i
G a λ====≠⊆
≤
≤
∑
因此，()0R λ> 。

15证明：如果n 阶矩阵A 满足p
A =I （p 是某个正整数），则A 相似于对角矩阵。

证明：H
I
I =
1
11(())()H
P H
H
P
P
P
A A I I A ====
A 为hermite 矩阵。

得证
证明：记()ϕλ=p λ-1，则()ϕλ是矩阵A 的化零多项式，由定理3.6.2知A 的最小多项式()m λ整除()ϕλ，因为()ϕλ=0没有重根，所以()m λ=0也没有重根，据定理3.6.6知矩阵A 相似于对角矩阵。

16对下列矩阵A ，及多项式8
5
4
2
()234g x x x x x =-++-，试计算矩阵()g A 。

311020111A -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
323()det(I A)6128(2)f λλλλλλ=-=-+-=-
k(A)(A 2)0,(x)(A)k(A)432432g j =-==+=
书上例题
设矩阵102011010A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，试计算I A A A A 4322
458-++-
解:由()()()()231
02
det 0
1111210
1f I A λλλλλλλλλλ
--=-=
+-=-+-=-+- 所以有化零多项式()()3=-2+1=0=0A ϕλλλϕ， 设()8542g 234λλλλλ=-++- 又由于
()()
()5322g 245914243710λλλλλϕλλλ=+-+-+-+
其中()=0ϕλ 所以()2=24-37+10g λλλ 即有
()85422=23424371010
210
21021240
1101137011101001001011221
021240
213701110110
10134826095610
6134g A A A A A I A A I -++-=-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
--⎡⎤⎢=-⎢⎢-⎣⎦⎥⎥
⎥ 17求下列λ矩阵的不变因子和初等因子。

10
00100015432λλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦
变换为4321
00001000010
02345λλλλ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
++++⎣⎦
不变因子：1 1 1 4
3
2
2345λλλλ++++ 初等因子：4
3
2
2345λλλλ++++
18对下列矩阵A ，求At
e ，sin At ，cos At ，200111113A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
1
011210011100020100101002101A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1
10112
200111000201001010
02101n n n n n n A --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
221
1
2!
!
At n n e I At A t A t n =++
++
+
1
1
1
22212222222201122
0011011100111100(I 020t )10010000100!10100210110100101001111n n t t At n n t
n n t t t t t t t t n e te e e n e e te e te te te te ---+∞=⎡⎤⎡⎤---+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+--++--∑2211t t e te ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦
1
33
21011sin 2t 2cos 2001111
sin (1)()1000sin 2t 01003!
(2n 1)!
10100sin 2t 101sin2t 002cos 2sin2t 2cos 22cos 22cos 22cos 2sin 22cos 2n
n t t
At At A t At t t t t t t t t t t t t t -+--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-
++-+
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦
1
22011cos 2t 2sin 200111
1
cos 1()(1)()1000cos 2t 01002!
(2)!
10100cos 2t 101cos 2002sin 2cos 22sin 22sin 22sin 22sin 2cos 22sin 2n
n t t
At At At n t t t t t t t t t t t t t t t ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-
++-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦
另一种
19设变量矩阵X及数值矩阵A如下：
11
121321
22
23x x x X x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，
123a A a a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
求()d XA dX ，()T d XA dX。

[]111122133111122133
211222233211222233,()T x a x a x a XA XA x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++⎡⎤
==++++⎢⎥++⎣⎦
102030()010203a a a d XA a a a dX =⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
123000()0001
2
3T
a a a d XA dX
a a a ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦
20求解如下初值问题(0)dx
Ax dt x b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，其中2615115126A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，111b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦。

1
1315(1)
n(1)03151000(1)010010100(1)101n
n n n n A --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1
3150315361510000100251010
10125t t
t t t t At t t t t
t t t t
t t e
te e te te te e e te e te te e te te e te -----------------⎡⎤⎡⎤
+-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥==+-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
361516(t)e 25122512t t
t t t t At t
t t
t t t t t
t t t t e te te te e te x b te e te te e te te te e te e te ------------------⎡⎤⎡⎤
+--⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥==+-=-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣
⎦⎣⎦
我做的
2
6
15
1
1
5(1)(1)(1)1
2
6
A λλλλλλλ---=--=-+++--+ ()3615125125I A --⎛⎫ ⎪--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，rank(-I-A)=1,dim(-I-A)=3-1=2,100011001J -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
,
P=(P1,P2,P3)J,0)(=--X A I ,12336151250125x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪
--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭,052321=+--x x x ,
1121ε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2210ε-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,11P ε=,122
112212122k k P k k k k k εε-⎛⎫
⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
,23)(P P A I -=--,
11221231361521252125x k k x k k x k ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪--=-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1212k k k +=,120k k +=,132152k x x x -=+--,取K1=1,则152321-=+--x x x ，2311P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,3100P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦,130210111P ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,
xt e x f =)(，1)1(-=-e f ，t te f -=-)1('
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++=⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=------------------------t t t t t t t t t t t t t t t t
t
t
t t
t t
At
e te te te e te e te te e te te e te e te e e P e te e e P e 3524521215631110120310
00
00111012031000
001
1,
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+++==------t t t
t t t At e te e te e te x e t x 38581324)0()(。