专题11 数列求和方法之分组并项求和法(解析版)

专题11 数列求和方法之分组并项求和法

一、单选题

1．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则8

1

i

i a

==∑（ ）

A ．376

B ．382

C ．749

D ．766

【答案】C 【分析】

利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解8

1

i i a =∑即可

【详解】

由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q

，

∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=2

3632

n -++

+⨯1133232312

n n ---⨯==⨯--，

1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，

8

7

128

1

8123(122)2831612

i i

a

a a a =-=++=⨯++

+-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=

故选：C 【点睛】

关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题

2．若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n （2n ≥，*n ∈N ）等分点，沿向量BC 的方向依次为

121,,,n P P P -⋅⋅⋅，记1121n n T AB AP AP AP AP AC

-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，若给出四个数值：①294

；①9110；①197

18；

①

232

33

；则n T 的值可能的共有（ ） A ．0个 B ．1个

C ．2个

D ．3个

【答案】A 【分析】

由题意，存在实数k N +∈，使得1

k AP AB kBP =+，则()111k AP AB k BP +=++，计算数量积，得到

()212

2111,2,...,1,2k k k k k AP AP k n k N n n ++++⋅=-+=-∈，推出252

6n n T n

-=，结合题中条件，由赋值法，分别判断，即可得出结果. 【详解】

由题意，存在实数k N +∈，使得1

k AP AB kBP =+，则()111k AP AB k BP +=++， 所以(

)()1111k k AP AP AB k BP AB k BP +⎡⎤⋅=+⋅++⎣

⎦

()()()22

2

112

2121111,2,...,1,2k k k

AB k AB BP k k BP k n k N n n

+++=++⋅++=-+=-∈， 所以1121n n T AB AP AP AP AP AC

-=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ()()()()()2221

2

1121...11357...2112n n n AB AP n n n ⎡⎤+++++-+-++++-⎣⎦=⋅+--+

()

()()()()()2

22

12

12...112...11112n n n n AB AB BP n n n

+++-++++-⎡⎤-+⎣⎦=⋅++--+ ()()()()()2222

112...1111211cos12012n n n n n n n n n -⎡⎤++++--+⎣⎦=+⨯⨯+--+

()()()()()

22

1211111526112226n n n n n n n n n n n n n

---+--=-+--++=， 令2526294n n -=

，解得n N =；

令25210691n n -=

，解得27350n N ±=∉；

令252619718n n -=

，解得n N =；

令252623233n n -=

，解得464110

n N ±=；

所以n T 的值不可能取所给的四个数值. 故选：A. 【点睛】

思路点睛：

向量数量积的问题，在求解时，可根据向量向量积的运算法则，由转化法求出数量积；也可利用建系的方法，建立平面直角坐标系，得出所需向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解. 3．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=（ ）

A ．45

B ．65

C ．69

D ．105-

【答案】B 【分析】

由题意可得121

1(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，从而可得

1112211112192021()()a a a a a a a a +++=+++++……，进而可得答案

【详解】

因为1(1)(41)n n a n +=-+，

所以121

1(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，

则1112211112192021()()4585a a a a a a a a +++=+++++=-⨯+…… 65=， 故选：B ． 【点睛】

此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题 二、解答题

4．设{}n a 为等差数列，{}n b 是正项等比数列，且112a b ==，322a b =.在①53112b b b -=，①542a b +=，这两个条件中任选一个，回答下列问题：

（1）写出你选择的条件并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）在（1）的条件下，若(

)*

n n n c a b n =+∈N

，求数列{}n

c 的前n 项和n

S

.

【答案】（1）条件选择见解析，31n a n =-，2n

n b =；（2）2

13222

n n n n

S ++=+-.

【分析】

（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为()0q q >，根据所选的条件结合已知条件得出d 和q 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式；