2020年广东省梅州市梅县高级中学高二数学文联考试卷含解析

2020年广东省梅州市梅县高级中学高二数学文联考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）
A．x+y﹣2=0B．x+y﹣4=0C．x﹣y+4=0D．x﹣y+2=0
参考答案：
D
略
2. 已知函数，则（）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
A
略
3. 设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
A
【考点】奇函数；函数的周期性．
【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．
【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，
故选：A．
4. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。

四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
参考答案：
C
略
5. 设，则三者的大小关系是
A． B．C． D．
参考答案：
C
6. 函数的图象的一部
分如图所示，则、的值分别是（）
（A）1, （B）1，
（C）2, （D）2,
参考答案：
C
略
7. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
8. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率
为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
9. 已知为等比数列.下面结论中正确的是（）
A．B．
C．若,则D．若,则
参考答案：
B
略
10. “x＞3”是“x2＞9”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既充分又必要条件D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
【考点】充要条件．
【分析】结合不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：解不等式x2＞9得x＞3或x＜﹣3，则x＞3?x2＞9，
而x2＞9推不出x＞3．
故“x＞3”是“x2＞9”的充分不必要条件．
故选A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
参考答案：
.
【分析】
设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.
【详解】设点，则.又，
当时，，
点A在曲线上的切线为，
即，
代入点，得，
即，
考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，
注意到，故存在唯一实数根，此时，
故点的坐标为.
【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
12. 如果直线与圆相交，且两个交点关于直线
对称，那么实数的取值范围是__________________;
参考答案：
略
13. 在一次晚会上，9位舞星共上演个“三人舞”节目，若在这些节目中，任二人都曾合作过一次，且仅合作一次，则
＝。

参考答案：
14. 下列命题
①“am2<bm2”是“a<b”的充分必要条件.
② “矩形的两条对角线相等”的否命题为假.
③在中，“”是三个角成等差数列的充要条件.
④中,若,则为直角三角形.
判断错误的有___________
参考答案：
① ④
15. 设定义在R上的函数满足：,恒成立；且
其中，若，则=▲．
参考答案：
-10
16. 已知抛物线方程，则它的焦点坐标为_______
参考答案：
(0, )
略
17. 在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，
M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；（2）求cos< >的值；（3）求证：A1B⊥C1M.
参考答案：
如图，建立空间直角坐标系O—xyz.
（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）∴|
|=.
（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）
∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，
·=3，||=，||=
∴cos<，>=.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，
={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.
19. 如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，|AB|=4，
|F1F2|=2，直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2，求的取值范围．
参考答案：
【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由，求出a，c，然后求解椭圆的离心率．（Ⅱ）设D（x1，y1），C（x2，y2）通过，结合△＞0推出m2＜4k2+1，利用韦
达定理|CM|=|DN|．求出直线的斜率，然后表示出，然后求解它的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由，可知即椭圆方程为
…..…．
离心率为…．…．
（Ⅱ）设D（x1，y1），C（x2，y2）易知
…．
由消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△＞0?4k2﹣m2+1＞0即m2＜4k2+1，…
且|CM|=|DN|即可知，即，解得…．
，
由题知，点M、F1的横坐标，有，
易知满足m2＜2，
即，则…..
20. 在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．
（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；
（Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．
参考答案：
【考点】平面与圆柱面的截线．
【分析】（Ⅰ）由已知推导出双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4），由此能求出双曲线的标准方程．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线方程为y=k（x﹣x0）+y0，与椭圆联立，再利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能证明线段MN的长为定值，并能求出这个定值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）如右图，O'为双曲线的中心，OO'为轴l与平面α的距离|OO'|=2，
A为双曲线的顶点，∠AOO'=60°，∴．…
在轴l上取点C，使得|OC|=4，过C作与轴l垂直的平面，
交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D、E，DE的中点为B，
由题意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2，
从而双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）．…
设双曲线的标准方程为，将点（2，4）代入方程得b2=4，
所以双曲线的标准方程为…
证明：（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，双曲线Γ的两切线PM、PN都不垂直x轴，…
设点P的坐标为（x0，y0），令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为y=k（x﹣x0）
+y0，
：
…
由△=0，化简得：…
令PM、PN的斜率分别为k1、k2，，…
因点P（x0，y0）在圆Γ'上，则有，得：，∴k1k2=﹣1，…知PM⊥PN，线段MN是圆O的直径，|MN|=4．…
21. （本小题满分16分）
观察如图：
1，
2,3
4,5,6,7
8,9,10,11,12,13,14,15
……
问：（1）此表第n行的最后一个数是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2018是第几行的第几个数？
（4）是否存在，使得第n行起的连续10行的所有数之和为若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（1）由已知得出每行的正整数的个数是1，2，4，8，…，其规律：
由此得出第行的第一个数为：，共有个，所以此表第n行的最后一个数是. .................................... 3分
（2）由（1）得到第n行的第一个数，且此行一共有个数，从而利用等差数列的求和公式得：
第n行的各个数之和........ 6分
（3）由（1）可知第n行的最后一个数是.
当时，最后一个数字为，当时，最后一个数字为，
所以在第行，，故2018是第12行的第995个数；
（4）第行起的连续行的所有数之和
又…………（*），故
时（*）式成立.
时，由（*）可得，
此等式左边为偶数，右边为奇数，不成立.
故满足条件的. ........... ........................... .... 16分
22. (本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准,用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:)，制作了频率分布直方图.
(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；
(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准,则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；
(3）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数，平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表).
参考答案：
解: （1）…………………………………………………3分
（2）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨.………………………………………………7分
（3）这100位居民的月均用水量的众数2.25，中位数2， 9分
平均数为
…………………12分。