七年级数学人教版下册第5章第3节第2部分命题、定理、证明
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〔解析〕根据题意,适当增减词语,将原命题改写成
“如果……那么……”的形式.用“如果”开始的部分 即为题设,用“那么”开始的部分即为结论.
解:(1)题设:两个角是对顶角. 结论:这两个角相等.
(2)题设:两个角不相等. 结论:这两个角不是对顶角.
知识拓展ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
凡是命题都是正确或者是错误的吗?
1.判断下列命题是否正确. (1)如果两个数互为相反数,那么这两个数的商为-1; (2)如果两个角是邻补角,那么这两个角互补; (3)如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0; (4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数; (5)如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数; (6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角.
定理举例：
6、平行线的判定定理： (2)题设:两个角不相等.
(2)题设:两个角不相等. 7、平行线的性质定理：
内错角相等，两直线平行。 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这
样的真命题叫做定理。 (2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角. 例：(教材例2)如图所示,已知直线b∥c,a⊥b.
(2)题设:两个角不相等. (4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数;
(1)过直线AB外一点P,作AB的垂线; (3)如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0;
解:不是真命题,如下图中∠1=∠2, 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这
例：(补充)判断下列语句是不是命题. (1)两条直线相交有几个交点? (2)相等的角是对顶角; (3)画∠AOB=30°; (4)如果x2=y2,那么x=y.
〔解析〕 问句一定不是命题,只有对一件事情 做出判断的句子才是命题,而与是否正确无关.
解:(1)(3)不是命题,(2)(4)是命题.
知识拓展
〔解析〕要证明a⊥c,只需要证
明∠2为90°即可.如果能证明
∠1=∠2,问题即可解决.
证明:因为a⊥b(已知), 所以∠1=90°(垂直的定义). 又b∥c(已知), 所以∠2=∠1(两直线平行,同位角相等). 所以∠1=∠2=90°(等量代换), 所以a⊥c(垂直的定义).
知 识 拓 展
课堂小结
假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 (3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这
如果能证明∠1=∠2,问题即可解决. (2)题设:两个角不相等. “锐角小于钝角,对顶角不相等,股票不是人民币”都对一件事情作出了判断,而“作角A的平分线”描述的是一种行为,没有作出判断,不 是命题. (5)如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数;
2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用 (3)画∠AOB=30°;
(4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数; (2)题设:两个角不相等.
逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以 解:(1)(3)不是命题,(2)(4)是命题.
结论是由已知事项推出的事项. (1)两条直线相交有几个交点?
进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的 (1)两条直线相交有几个交点?
两直公线平行理，同和旁内角定互补。理都可作为判断其他命题真假的依据。
公理举例： 1、直线公理：经过两点有且只有一条直线。
2、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。
3、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条 直线与已知直线平行。
4、平行线判定公理： 同位角相等，两直线平行。
5、平行线性质公理： 两直线平行，同位角相等。
所以∠1=∠2=90°(等量代换), 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这 样的真命题叫做定理。
真命题叫做定理。 (3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这
定义:判断一件事情的语句,叫做命题. 条直线平行; 判断下列命题是否正确.
想一想： 命题的形式多种多样,命题是由哪些部分组成 的呢?
命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项, 结论是由已知事项推出的事项.
命题常写成“如果……那么……”的形式, 这时,“如果”后接的部分是题设,“那么”后 接的部分是结论.
例： (补充)指出下列命题的题设和结论. (1)对顶角相等; (2)不相等的两个角不是对顶角.
2.真命题和假命题.
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命 题叫真命题;
有些命题中,题设成立时,不能保证结论一定 成立,这样的命题叫做假命题.
例： (补充) “相等的角是对顶角”是真命 题吗?如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.
〔解析〕对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是
假命题.若为真命题,可通过讲道理说明,若为假命题,可 通过举一反例说明.
7、平行线的性质定理： 解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直线所截的条件下,B,C,D才正确.
(2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; 〔解析〕要证明a⊥c,只需要证明∠2为90°即可. 〔解析〕 问句一定不是命题,只有对一件事情做出判断的句子才是命题,而与是否正确无关.
两直线平行，内错角相等。 (4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数;
同旁内角互补，两直线平行。 1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题; (3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵. (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式. 像这样判断一件事情的句子叫做什么呢?
七年级数学·下 新课标[人]
第五章 相交线与平行线
5.3.2 命题、定理、证明
想一想
我们学过一些对某一件事情做出判断的语句, 例如: (1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两 条直线也互相平行; (2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (3)对顶角相等; (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式. 像这样判断一件事情的句子叫做什么呢?
像这样判断一件事情的句子叫做什么呢?
条直线平行; (3)画∠AOB=30°;
(3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这
(4)若|a|=-a,则a≤0. 〔解析〕对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题.
〔解析〕对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题. 例： (补充) “相等的角是对顶角”是真命题吗?如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.
2.下列命题中,正确的是 ( A ) A.对顶角相等 B.同位角相等 C.内错角相等 D.同旁内角互补
解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直
线所截的条件下,B,C,D才正确.故选A.
3.请给假命题“一个正数永远大于它的倒数”
1
举出一个反例: 2 .
解析:判断“一个正数永远大于它的倒数”什么 情况下不成立,即找出一个正数小于或等于它的 倒数即可.答案不唯一。
检测反馈
1.下列语句中不是命题的是 ( B )
A.锐角小于钝角 B.作角A的平分线 C.对顶角不相等 D.股票不是人民币
解析:根据命题的定义:对一件事情作出判断的语句叫做命题进
行解答.“锐角小于钝角,对顶角不相等,股票不是人民币”都对
一件事情作出了判断,而“作角A的平分线”描述的是一种行
为,没有作出判断,不是命题.故选B.
1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 (2)题设:两个角不相等. 两直线平行，内错角相等。 〔解析〕对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题.
所以a⊥c(垂两直的定直义). 线平行，同旁内角互补。
例：(教材例2)如图所示,已知直线 b∥c,a⊥b.求证a⊥c.
学习新知
命题的“定真”义“假”:是判对命题断的内一容而言件的. 事情的语句,叫做命题.
(3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵. (6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角. 所以∠1=∠2=90°(等量代换),
想一想:下列语句,哪些是命题?哪些不是? 两直线平行，同旁内角互补。
样 (2)的题(真设2命:两)题个过叫角做不定直相理等。. 线AB外一点P,可以作几条直线与AB平 行? (3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵.
命题的真假是以对事情所作出判断的正确与否来划分的. 解:不是真命题,如下图中∠1=∠2,
七经年过(级 两3数点)学有经·且下只有新过一课条标直直[人线]。线AB外一点P,有且只有一条直线与这
解:不是真命题,如下图中∠1=∠2, 但∠1与∠2不是对顶角.
知识拓展
1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践
中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真 解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直线所截的条件下,B,C,D才正确.
(2)如果两个角是邻补角,那么这两个角互补; 所以a⊥c(垂直的定义).
“如果……那么……”的形式.用“如果”开始的部分 即为题设,用“那么”开始的部分即为结论.
解:(1)题设:两个角是对顶角. 结论:这两个角相等.
(2)题设:两个角不相等. 结论:这两个角不是对顶角.
知识拓展ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
凡是命题都是正确或者是错误的吗?
1.判断下列命题是否正确. (1)如果两个数互为相反数,那么这两个数的商为-1; (2)如果两个角是邻补角,那么这两个角互补; (3)如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0; (4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数; (5)如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数; (6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角.
定理举例：
6、平行线的判定定理： (2)题设:两个角不相等.
(2)题设:两个角不相等. 7、平行线的性质定理：
内错角相等，两直线平行。 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这
样的真命题叫做定理。 (2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角. 例：(教材例2)如图所示,已知直线b∥c,a⊥b.
(2)题设:两个角不相等. (4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数;
(1)过直线AB外一点P,作AB的垂线; (3)如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为0;
解:不是真命题,如下图中∠1=∠2, 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这
例：(补充)判断下列语句是不是命题. (1)两条直线相交有几个交点? (2)相等的角是对顶角; (3)画∠AOB=30°; (4)如果x2=y2,那么x=y.
〔解析〕 问句一定不是命题,只有对一件事情 做出判断的句子才是命题,而与是否正确无关.
解:(1)(3)不是命题,(2)(4)是命题.
知识拓展
〔解析〕要证明a⊥c,只需要证
明∠2为90°即可.如果能证明
∠1=∠2,问题即可解决.
证明:因为a⊥b(已知), 所以∠1=90°(垂直的定义). 又b∥c(已知), 所以∠2=∠1(两直线平行,同位角相等). 所以∠1=∠2=90°(等量代换), 所以a⊥c(垂直的定义).
知 识 拓 展
课堂小结
假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 (3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这
如果能证明∠1=∠2,问题即可解决. (2)题设:两个角不相等. “锐角小于钝角,对顶角不相等,股票不是人民币”都对一件事情作出了判断,而“作角A的平分线”描述的是一种行为,没有作出判断,不 是命题. (5)如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数;
2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用 (3)画∠AOB=30°;
(4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数; (2)题设:两个角不相等.
逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以 解:(1)(3)不是命题,(2)(4)是命题.
结论是由已知事项推出的事项. (1)两条直线相交有几个交点?
进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的 (1)两条直线相交有几个交点?
两直公线平行理，同和旁内角定互补。理都可作为判断其他命题真假的依据。
公理举例： 1、直线公理：经过两点有且只有一条直线。
2、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。
3、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条 直线与已知直线平行。
4、平行线判定公理： 同位角相等，两直线平行。
5、平行线性质公理： 两直线平行，同位角相等。
所以∠1=∠2=90°(等量代换), 2、有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这 样的真命题叫做定理。
真命题叫做定理。 (3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这
定义:判断一件事情的语句,叫做命题. 条直线平行; 判断下列命题是否正确.
想一想： 命题的形式多种多样,命题是由哪些部分组成 的呢?
命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项, 结论是由已知事项推出的事项.
命题常写成“如果……那么……”的形式, 这时,“如果”后接的部分是题设,“那么”后 接的部分是结论.
例： (补充)指出下列命题的题设和结论. (1)对顶角相等; (2)不相等的两个角不是对顶角.
2.真命题和假命题.
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命 题叫真命题;
有些命题中,题设成立时,不能保证结论一定 成立,这样的命题叫做假命题.
例： (补充) “相等的角是对顶角”是真命 题吗?如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.
〔解析〕对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是
假命题.若为真命题,可通过讲道理说明,若为假命题,可 通过举一反例说明.
7、平行线的性质定理： 解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直线所截的条件下,B,C,D才正确.
(2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; 〔解析〕要证明a⊥c,只需要证明∠2为90°即可. 〔解析〕 问句一定不是命题,只有对一件事情做出判断的句子才是命题,而与是否正确无关.
两直线平行，内错角相等。 (4)如果两个数的商为-1,那么这两个数互为相反数;
同旁内角互补，两直线平行。 1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题; (3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵. (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式. 像这样判断一件事情的句子叫做什么呢?
七年级数学·下 新课标[人]
第五章 相交线与平行线
5.3.2 命题、定理、证明
想一想
我们学过一些对某一件事情做出判断的语句, 例如: (1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两 条直线也互相平行; (2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (3)对顶角相等; (4)等式两边加同一个数,结果仍是等式. 像这样判断一件事情的句子叫做什么呢?
像这样判断一件事情的句子叫做什么呢?
条直线平行; (3)画∠AOB=30°;
(3)经过直线AB外一点P,有且只有一条直线与这
(4)若|a|=-a,则a≤0. 〔解析〕对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题.
〔解析〕对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题. 例： (补充) “相等的角是对顶角”是真命题吗?如果是,说出理由;如果不是,请举出反例.
2.下列命题中,正确的是 ( A ) A.对顶角相等 B.同位角相等 C.内错角相等 D.同旁内角互补
解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直
线所截的条件下,B,C,D才正确.故选A.
3.请给假命题“一个正数永远大于它的倒数”
1
举出一个反例: 2 .
解析:判断“一个正数永远大于它的倒数”什么 情况下不成立,即找出一个正数小于或等于它的 倒数即可.答案不唯一。
检测反馈
1.下列语句中不是命题的是 ( B )
A.锐角小于钝角 B.作角A的平分线 C.对顶角不相等 D.股票不是人民币
解析:根据命题的定义:对一件事情作出判断的语句叫做命题进
行解答.“锐角小于钝角,对顶角不相等,股票不是人民币”都对
一件事情作出了判断,而“作角A的平分线”描述的是一种行
为,没有作出判断,不是命题.故选B.
1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 (2)题设:两个角不相等. 两直线平行，内错角相等。 〔解析〕对事情做出判断,若正确,即为真命题,否则,是假命题.
所以a⊥c(垂两直的定直义). 线平行，同旁内角互补。
例：(教材例2)如图所示,已知直线 b∥c,a⊥b.求证a⊥c.
学习新知
命题的“定真”义“假”:是判对命题断的内一容而言件的. 事情的语句,叫做命题.
(3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵. (6)如果两个角互补,那么这两个角是邻补角. 所以∠1=∠2=90°(等量代换),
想一想:下列语句,哪些是命题?哪些不是? 两直线平行，同旁内角互补。
样 (2)的题(真设2命:两)题个过叫角做不定直相理等。. 线AB外一点P,可以作几条直线与AB平 行? (3)命题的内容并非全部为数学语言,还有生活中其他方面更广泛的内涵.
命题的真假是以对事情所作出判断的正确与否来划分的. 解:不是真命题,如下图中∠1=∠2,
七经年过(级 两3数点)学有经·且下只有新过一课条标直直[人线]。线AB外一点P,有且只有一条直线与这
解:不是真命题,如下图中∠1=∠2, 但∠1与∠2不是对顶角.
知识拓展
1、数学中有些命题的正确性是人们在长期实践
中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真 解析:对顶角相等,正确;在两平行线被第三条直线所截的条件下,B,C,D才正确.
(2)如果两个角是邻补角,那么这两个角互补; 所以a⊥c(垂直的定义).