高等数学教案(同济)第二章

I 授课题目:

§2.1 导数概念

II 教学目的与要求:

1. 理解导数的概念，理解导数的几何意义；

2. 会用导数描述一些物理量；

3. 会用导数的定义求函数的导数并会判断函数的可导性。

III 教学重点与难点:

重点：导数的概念

难点：用导数的定义判断函数的可导性

IV 讲授内容:

微分学是微积分的重要组成部分，它的基概念是导数与微分。主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。先讨论导数的概念，而导数的概念的形成与直线运动的速度，切线问题有密切的关系。

一、直线运动的速度，切线问题

1．直线运动的速度

先建立坐标系：

设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻t 在直线上的位置的坐标为s （简称位置），运动完全由位置函数所确定。

位置函数：

)(t f s = （1）

从时刻0t 到t 一个时间间隔，有平均速度为：

000)()(t t t f t f t t s s --=-- （2） 时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻0t 的速度，但动点在时刻0t 的速度的精确概念还得让0t t →，即：

0)()(lim 0t t t f t f v t t --=→ （3） 极限值叫做动点在时刻0t 的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法。

2． 切线斜率问题

建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点的切线的

0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→ （4） 割线斜率的极限就是切线的斜率

二、导数的定义

1.函数在一点处的导数与导函数

讨论知，非匀速直线运动的速度和切

线的斜率都归为一数学形式： 0

0)()(lim 0x x x f x f x x --→ （5） 此处的0x x -和)()(0x f x f -的分别是函数)(x f y =的自变量的增量x ∆和函数的增量y ∆

式（5）写成：

0000()()lim

lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ （6） 由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念。

2.导数的定义

定义 1 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点x x ∆+0仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量y ∆；如果y ∆与x ∆之比当0→∆x 时的极限存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称这个极限为函数)(x f y =在点0x 处的导数 ，记为)(0x f '，

即 000)(,,)()(lim lim

)(00000x x x x x x x x dx x df dx dy y x x f x x f x y x f ===→∆→∆'∆-∆+=∆∆='记 （7） 函数)(x f y =在点0x 处可导有时也说成)(x f y =在点0x 具有导数或导数存在。 导数的定义也可取不同的形式，常见的有：

图2-1

h

x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→ （8） 0

00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ （9） 在实际中，需要讨论有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述。

3. 函数在一点处不可导的定义

定义2 如果式（7）的极限不存在，就说函数在点处不可导，如果，当0→∆x 时，比值∞→∆∆x

y 时，就说函数)(x f y =在点0x 处的导数为无穷大（此时函数不可导）。 4.导函数的定义

定义3 如果函数)(x f y =在开区间I 内的每点处都可导，就称函数)(x f y =在开区间I 内可导。对任意I x ∈都对应着)(x f y =的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做函数)(x f y =的导函数，记作：

dx

x df dx dy x f y )(,),

(,'' （10） 式（7）、式（8）得 h

x f h x f x f h )()(lim )(0-+='→ （11） 导函数)(x f '简称导数，而)(0x f '是)(x f 在0x 处的导数或导数)(x f '在点0x x =处的值。

5.求函数的导数举例

例1 求函数)()(+∈=N n x x f n 在a x =处的导数

解

1

121)(lim lim )()(lim )(----→→→=+++=--=--='n n n n a

x n

n a x a x na a ax x a x a x a x a f x f a f

将a 换成x 得1)(-='n nx x f 即

1)(-='n n nx x

幂函数)(为常数u x y u =的导数公式

1)(-='u u ux x

例2 求函数x x f sin )(=的导数

解

x h h h x h h x h h

x h x h x f h x f x f h h h h cos 22sin )2

cos(lim 2

sin )2cos(21lim sin )sin(lim )()(lim

)(0000=⋅+=+⋅=-+=-+='→→→→ 正弦函数的导数是余弦函数。

例3 求函数x x f =)(在0=x 处的导数

解 00()(0)||(0)lim lim 0

x x f x f x f x x →→-'==- 0000||||lim lim 1,lim lim 1x x x x x x x x x x x x

++--→→→→====-- 所以0||lim x x x

→不存在 即函数x x f =)(在0=x 处不可导

6.单侧导数

根据函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '的定义，导数是一个极限，

h

x f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→ 而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。函数在点处的左、右极限得左、右导数的定义

左导数的定义